最全圆锥曲线知识点总结,推荐文档

1、直线 l：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为；x 2 + y 26高中数学椭圆的知识总结（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 43 = 1上有不同的两点关于直线 y = 4x + m 对称；1. 椭圆的定义：平面内一个动点 p 到两个定点 f1, f2的距离之和等于常数（ pf1 + pf2= 2a f1f2 ），特别提醒：因为d 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验d 0 ！这个动点 p 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.椭圆知识点的应用注意：若 pf1 + pf2 = f1f2 ，则动点 p 的轨迹为线

2、段 f1f2；若 pf1+ pf2 b 0 ）。b 2焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量 a, b, c 的几何意义（1）椭圆（以a 2b 2 = 1（ a b 0 ）为例）：范围： -a x a, -b y b ；焦点：椭圆标准方程中， a, b, c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。两个焦点(c, 0) ；对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），四个顶点c分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(a, 0),(0, b) ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ；

3、离心率： e =e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。，椭圆 0 e b 0) ， (a c 0) ，且(a 2 = b 2 + c 2 ) 。 0y1（2）.点与椭圆的位置关系：点 p(x , y ) 在椭圆外 0 +x22；可借助右图理解记忆：00a2b2a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。11点 p(x , y ) 在椭圆上 0 x+2 0 y 2 ；点 p(x , y ) 在椭圆内 0 + 0 0 直线与椭圆相交；（2）相切： d = 0 直线与椭圆相切；（3）相离： d 时，椭圆的焦点在 x 轴上；当 b 0) 相交于 a、b 两

4、点，且线段 ab 的中点在ab6. 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异x+2共焦点，则 c 相同。与椭圆a 2y 2b 2 = 1 (a b 0) 共焦点的椭圆方程可设为(x - 3)2 + y2 = 4 上的点，则 pm+题型 2： 求椭圆的标准方程pn 的最小值为 +x 2a 2 + my 2b 2 + m = 1 (m -b 2 )，此类问题常用待定系数法求解。例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点 a( 3, -2), b(-2 3,1) ；(2) 经过点(2，3)且与椭圆9x2 + 4 y2 = 36 具有共同的焦点；7. 判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的

5、依据： 若把曲线方程中的 x 换成- x ，方程不变，则曲线关于 y 轴对称； 若把曲线方程中的 y 换成- y ，方程不变，则曲线关于 x 轴对称； 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成- x 、- y ，方程不变，则曲线关于原点对称。8. 如何求解与焦点三角形pf1f2（p 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形pf1f2 有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余(3) 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为44.2题型 3:求椭圆的离心率例 1、 dabc 中， a = 30o , ab = 2, sv abc =3, 若以 a, b 为焦

6、点的椭圆经过点c ，则椭圆的离心率为.dpfpf f121 2弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式s=1 pf sin f pf 相结合的例 2、过椭圆的一个焦点 f2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 p，若df1pf2 为等腰直角三角形，则方法进行计算解题。1 22椭圆的离心率为题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）将有关线段pf1 、pf2 、f1f2，有关角f1pf2( f1 pf2 f1 bf2 )结合起来，建立例 1.已知实数 x, y 满足 x2y2+ = 1, 则 x2 + 2 -pf1pf2 、 pf1 pf2 之间的关系.+42yx 的范围为 9. 如何计算椭圆的扁圆

7、程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e =c (0 e 0, n 0 ）上两点,且 ao = abo , 则a= a题型 5：焦点三角形问题x2y2c 2 = a 2 - b 2 ， a c 0 ，用a、b 表示为e = bb 21 -( ) (0a e 1) 。b例 1.已知 f1, f2为椭圆 9 + 4= 1的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知 p, f1 , f2 为一个直角e(0 e 1)e(0 e pf , 求 pf1 的值.12显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，aa椭圆形状越趋近于圆。pf2题型 1:椭圆定义的运用例 2.已知 f , f2

8、x为椭圆 c:+y2=1的两个焦点，在 c 上满足 pf pf 的点的个数为.x2 + y2 =12841211 的两个焦点，过 f 的直线交椭圆于 a、b 两点若例 3.已知椭圆的焦点是f (0,-1), f (0,1) ,且离心率e =例 1.已知 f1, f 为椭圆 2591122 求椭圆的方程; 设点 p 在椭圆f2a + f2b =12 ，则 ab =.上,且 pf1- pf2= 1 , 求 cos f1pf2 .例 2.如果方程 x2 + ky2 = 2 表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是.x2 + y2 = 1 上的一点， m , n 分别为圆(x + 3)2

9、+=2题型 6: 三角代换的应用例 3.已知 p 为椭圆 2516y1 和圆x2y2x2y2 =例 1. 椭圆= 1上的点到直线 l: x + y - 9 = 0 的距离的最小值为3. 椭圆 1 的一条弦被 a(4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 16 + 936 + 9例 2.椭圆x2 + y2169= 1的内接矩形的面积的最大值为4. 若 f1, f2 为椭圆的两个焦点,p 为椭圆上一点,若pf1f2 : pf2f1: f1pf2 = 1: 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为 题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断x2y222xy5. 在平面直角坐标系中，椭圆+= 1(a b 0)

10、的焦距为 2c，以 o 为圆心， a 为半径的圆，a2b2例 1.当 m 为何值时，直线 y = x + m 与椭圆+= 1相交？相切？相离？169x2y 22ae过点(, 0) 作圆的两切线互相垂直，则离心率c=例 2.若直线 y = kx + 1(k r) 与椭圆= 1恒有公共点，求实数 m 的取值范围；题型 8：弦长问题5 + m双曲线例 1.求直线 y = 2x - 4 被椭圆 4x2+ y2= 1所截得的弦长.基本知识点双曲线标准方程（焦点在 x 轴）x 2y2 -= 1(a 0, b 0)a 2b 2标准方程（焦点在 y 轴）y 2 - x 2 = 1(a0, b0)a 2b 2定

11、义定义：平面内与两个定点 f1 ， f2 的距离的差的绝对值是常数（小于 f1f2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。m mf - mf = 2a12(2a 1)aa2渐近线方程y = b xay = a xb共渐近线的双曲线系方程x 2 - y2 =k （ k0 ）a 2b 2y 2 - x 2 =k （ k0 ）a 2b 2直线和双曲线的位置x 2y 2双曲线-= 1与直线 y = kx + b 的位置关系：a 2b 2 x2 - y2 = 1利用 a2b2转化为一元二次方程用判别式确定。 y = kx + b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交

12、弦 ab 的弦长 ab = 1+ k 2 (x + x )2 - 4x x121 2x2y2x2 y2-= 1 916 -+ = 1169x2y2x2 y2 -+= 1( y3)169-+ =1691( y-3)同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为 y = 3 x ，则离心率为（）435555 或3434例 2、已知双曲线 -12 k 1x2 + y2 = 4k1的离心率为e k 02 ，则 k 的范围为（）-5 k 0x2同步练习二:双曲线a2 -12 k 0)y 2 = -2 px( p 0)x 2 = 2 py( p 0)lyyylx 2 = -2py( p 0)ylofxfoxfxxl

13、fp焦点到准线的距离p2顶点到准线的距离准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。2 y = p2 y = - p2 x = p2 x = - p准线方程e =1离心率o(0, 0)顶点焦点在对称轴上(0, - p )2(0, p )2( - p ,0)2( p ,0)2焦点关于 y 轴对称关于 x 轴对称对称性x r, y 0x r, y 0x 0, y rx 0, y r范围平面内与一个定点 f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点f 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 m mf =点 m 到直线l 的距离定义oo抛物线（1） 求|ab|.（2） f1 是双曲线的左

14、焦点，求f1ab 的周长同步练习七过点（0，3）的直线 l 与双曲线x2 - y243= 1只有一个公共点，求直线 l 的方程。高考真题分析31. 【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线c 的中心在原点，焦点在 x 轴上， c 与抛物线y 2 = 16x 的准线交于 a, b 两点， ab = 4；则c 的实轴长为（）22( a)(b) 2(c) 4(d) 8x2 - y2 =2. 【2012 高考山东文 11】已知双曲线c1 ： a21(a0, b0) 的离心率为 2.若抛物线b2c2: x2 = 2 py( p 0) 的焦点到双曲线c 1的渐近线的距离为 2，则抛物线c 2 的方程为(

15、a) x2 = 8 3 y3(b) x2 = 16 3 y3(c) x2 = 8 y(d) x2 = 16y3. 【2012 高考全国文 10】已知 f 、 f 为双曲线c : x2 - y2 = 2 的左、右焦点，点 p 在c 上，12| pf |= 2 | pf |， 则cos f pf =121（a）4123（b）53（c）4x2y24（d）54.（2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线a2-= 1(a 0) 的渐近线方程为3x 2 y = 0, 则9焦半径a(x1, y1)af = x + p 12af = -x + p 12af = y + p 12af = - y1+ p2焦 点

16、 弦长 ab(x1 + x2 ) + p-(x1 + x2 ) + p( y1 + y2 ) + p-( y1 + y2+pya(x1, y1 )ofx焦点弦b (x2 , y2 )ab 的几以 ab 为直径的圆必与准线l 相切条性质a(x1 , y1 )若 ab 的倾斜角为a，则 ab =2 psin2 a若ab 的倾斜角为a，则 ab =2 pcos2 ab(x2 , y2 )p2 x1 x2 = 4y1y2 = - p21 + 1 = af + bf = ab= 2afbfaf bfaf bfp切线方程1、直线y0 y = p(x + x0 )与抛物线的位置关系y0 y = - p(x

17、+ x0 )x0 x = p( y + y0 )x0 x = - p( y + y0 ) y = kx + b y2 = 2 px k 2 x2 + 2(kb - p)x + b2 = 0设交点坐标为 a(x , y ) , b(x , y ) ，则有d 0 ,以及 x + x , x x，还可进一步求出1122121 2y1 + y2 = kx1 + b + kx2 + b = k (x1 + x2 ) + 2b ，y1 y2 = (kx1b)(kx2+b) = k 2 x1x2+kb(x1 + x2) + b2+在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如(1) 相交弦 ab 的弦

18、长ab =或ab =x1 - x21+ k 21+ 1 k 2y - y=1+ k 2(x1+ x 2)2 - 4x 1x21+ k 2da1+ 1 ( y + y )2 - 4 y yk 2121 2 d= 1+ k 2a12x + xy + y（2）. 中点m (x0点差法：, y0 ) ,x0 = 12 ，2y0 = 12 2设交点坐标为 a(x1 , y1 ) ， b(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得1122121212y 2 = 2 pxy 2= 2 px 将两式相减，可得( y - y )( y + y ) = 2 p(x - x )y1 - y2 =2 p y = kx

19、+ bx1 - x2y1 + y 2（1） 在涉及斜率问题时， k= 2 p 直线l : y = kx + b ，抛物线c : y2 = 2 px ， 由 y2 = 2 px，消 y 得：aby1 + y 2（2） 在涉及中点轨迹问题时，设线段 ab 的中点为m (x0 , y0 ) ，（1） 当 k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；y - y =2 p= 2 p =p ，即k= p ，（2） 当 k0 时，0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点；12x - xy + y2 yyaby=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点；12120000，直线l 与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）同理，对于抛物线 x2 = 2 py( p 0) ，若直线l 与抛物线相交于 a、b 两点，点1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法m (x , y ) 是弦 ab 的中点，则有k= x1 + x2 = 2x0 = x0 （注意能用这个公式的条件： 直线l ： y = kx + b抛物线c : y2 = 2 px ， ( p 0)00ab2 p2 pp联立方程法：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）“”“”at the end, xiao bian gives you a pas