高等数学-常微分方程ppt课件

1、微分方程,第十二章,习题课,二、一阶微分方程求解,三、可降阶的高阶微分方程求解,一、微分方程的概念,四、常系数齐次线性微分方程求解,例,一、微分方程的概念,常微分方程,偏微分方程,含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程,本章内容,分类,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶,n 阶显式微分方程,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,或,分类1】常微分方程, 偏微分方程,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2,分类3】线性与非线性微分方程,分类4】单个微分方程与微分方程组,使方程成为恒等式的函数,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件,n 阶方程的

2、初始条件(或初值条件,的阶数相等,特解,通解,特解,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线,待定系数法,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,欧拉方程,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,高阶方程,特征方程法,主要内容,作变换,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程 非变量可分离,幂级数

3、解法,降阶,作变换,积分因子,转化,1、可分离变量微分方程,解分离变量方程,可分离变量方程,二、一阶微分方程求解,两边积分, 得,则有,2、齐次方程,的微分方程称为齐次方程,2）. 【解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1）.【定义,属于一阶微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的,3、线性方程,例如,线性的,非线性的,一阶线性微分方程的解法,1）. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,2）. 解非齐次方程,对应齐次方程通解,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,用常数变易法,则,故原方程的通解,即,即,作变换,非齐次方程,两端积分得,伯努利(B

4、ernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程,方程为非线性微分方程,3）、伯努利方程,解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解,关于z , x的一阶线性方程,例1】求下列方程的通解,提示(1,故为分离变量方程,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y = u x ,化为分,离变量方程,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解,化为,方法 1 这是一个齐次方程,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程,例2】求下列方程的通解,提示(1,令 u = x y , 得,2) 将方程改写为,贝努里方程,分

5、离变量方程,原方程化为,例3,解,识别下列一阶微分方程的类型，并求解,可分离变量的微分方程,齐次方程,一阶线性齐次方程,全微分方程,通解为,所求通解为,解,所求通解为,齐次方程,解,解,作业: P268; 同济p304、p309、 同济p315,特点,方程右端仅含有自变量 x,解法,连续积分 n 次就可得到方程的通解,三、可降阶的高阶微分方程求解,方程特点】方程右端不显含未知函数 y,则,为所求方程的通解,例3,解,方程不显含自变量x,代入方程得,两端积分得,一阶线性齐次方程,故所求通解为,1、定义,n 阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程

6、的标准形式,四、常系数齐次线性微分方程求解,2、二阶常系数齐次线性方程解法,特征方程法,称为微分方程的特征方程,1）. 当,特征方程有两个相异实根,因此方程的通解为,则微分,其根称为特征根,2）. 当,特征方程有两个相等实根,则微分,因此方程的通解为,3）. 当,特征方程有一对共轭复根,则微分,因此方程的通解为,例1,的通解,解】 特征方程,特征根,因此原方程的通解为,例2】求解初值问题,解】特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,3.二阶常系数线性非齐次微分方程,根据解的结构定理 , 其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数,待定系数法,f(x)常见类型,对应齐次方程,通解结构,难点】如何求特解,对非齐次方程,则可设特解,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1,可设特解,例4,的通解,解】本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,