北大版_线性代数第一章部分课后答案详解

1、解：由行列式的定义可知习题1.2 :a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42印3a44含有因子a11a23的项1 .写出四阶行列式中，第三行只能从a32、a34中选，第四行只能从a42、a44中选，所以所有的组合只有一1la11a23a32a44或-1如a11a23a34a42，即含有因子a11a23的项为ana23a32a44 和 aiia23a34a4235a21a22323a24a252.用行列式的定义证明a31332000=0a41342000a51352000证明：第五行只有取玄51、玄52整个因式才能有可能不为

2、0，同理，第四行取玄41、玄42，第三行取a31、a32，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有a51的因式必含有0，同理，含有a52的因式也必含有0。故所有因式都学习参考010IH002IH解：（1）+卜000IHn00IH为0原命题得证.。3求下列行列式的值010III00III010002川00川200(1)+1+d1h1FhF；（2）+1+b4qiq000IIIn Tn TIII000n00III00III00n0j = (1胃234皿)1汉2汉3糾|図n十1厂n!n T000III 川0210(2)+4+bn -1III000III0000

3、 n n:=(1)W212|X n = (1 尸戶)门!A=a11+III+fa1ni，B=a11a21bra221an1IIIannfa*J 4 ambdJ-2 an2b4设n阶行列式amba2nb2HIann0证明：A=B 。证明：ai1a12b JIII1 _nambB=a21ba22III2a2nb、-1 gasiibaszzb川 asnnbs_S|S2l|Sn 三 n !n -1ambn-2an2bHIannZ(-1产剛壮皿沙山asnn(b2bS2THbSn) =送(_1)WbS|S2“|S 司S|2 川 aS nSiSjIlSn 三n J-1如、)/)“)S|SIISn 司!命题得

4、证。5证明：如下2007阶行列式不等于 0 :D=122332III2006200732III200722OO8243川20083200832OO820072OO72007 2OO82007 川 20082007证明：最后一行元素，除去20072007是奇数以外，其余都是偶数，故含2OO82007的因式也都是偶数。若最后一行取2007，则倒数第二行只有取 2007才有可能最后乘积为奇数，以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。习题1.31求下列行列式的值(1)311101111311；(2)10111131110111131110；(3.)bdaca b+c

5、 dA=2a b3a 2b c4a 3b 2c d解:(1)3a b6a 3b c10a+6b 3c d3 111T31116321-打+打13 1134-22 0 0-C4 十C30 2 0 01131-上2 +九30-220c3化20 0 2 01113-対乜20 0-22C2 +G0 0 0 2=480 1110 1113321、10 11 T_人3 +打1-100C4+C30-100110 1f 2 *、30 1-10C3+C20 0-101110H20 0 1-1C2+C10 0 0 -1=-3；a b+c d(3.) .A=2a b3a 2b c4a 3b 2c dabcda0cd

6、aa +ba +b +ca +b+c +daaa +b + ca + b + c + da2a +b3a +2b+c4a+3b+2c+da2a3a+2b+c4a+3b + 2c+da3a +b6a+3b+c10a+6b +3c+da3a6a+3b+c10a+6b+3c + d3a b6a 3b c10a+6b+3c+da+abcda00daba+b+ca+b+c+daaa +ba +b + c + dab3a+2b+c4a + 3b+2c+da2a3a +2b4a +3b +2c +dab6a+3b+c10a+6b+3c+da3a6a +3b10a+6b + 3c + d000aaa +b2a

7、3a4a +3b3a6a10a+6ba a a aa a a aa a a a00aaa+a3a4aa6a10aa0a2a3a0 0 0a a b2a 3a 3b3a 6a 6ba a a a0 0a a2a 3a3a 6aa4a10aa1-a2aa01a62a3a003a6a04a10=a1a23a5a01a64 _a53a3 a 056a 10a0cda000aaca +b +c +daaa +ba +b +ca2ac4a +3b +2c + da2a3a +2b4a + 3b + 2ca3ac10a+6b +3c +da3a6a +3b10a+6b + 3c+a00da000a000aa

8、a +bdaaaa +b +c+aaba +b + ca2a3a +2bda2a3a4a + 3b + 2ca2a2b4a + 3b + 2ca3a6a +3bda3a6a10a+6b +3ca3a3b10a+6b +3c+13“4a a a 10a = a652求下列n阶行列式的值：12II1 n322川2n +1n+2H1 2n232川2(1)2n+1+2n+2|F|1 3nd；(2)2+23川2 +(n 1 )n +1F(n -1)n+2 HIn2I224+F2川3；(3)123川-103川-1+-20川+-1-2七IIInnn0解:(1 ) Dn =(4)1n 12n 12n 22n

9、2IHIHIHn -1 n 1n1 n 2IH(1)若 n=1;则 Dn=1 ；(2)若 n=2;则 Dn =-2;(3)若n -3 ,则Dn =1n 12n 12n 22n 2IHIH川n2n3n综上:(n -1) n +11n -1 n 22IHIHIH=0 ；IIIIIIIIIIIIn2n3nn -1 n 11Dn=-20n -1 n 2IH(2)i依次取n,n-1川2、ci q _i3 + 2 ( n _1)2(n-2)IH2x2 2010川 0001川 0=2n+10+4*ih+r10000 13 2 2 川 2322 川 22 3 2 川 2其中，i先后取n,n-1,汕2 丁-11

10、 o 川 02 23 川 2+*一i_1 +州0-11 川 o+ * +4-1+r2 2 2 川 3+r14+0 0 0 -1 1(3)123 川 ni依次取n,n-1川2-123 川 n-103 川 n22父3川 2n-1-20 川 n+9PF1i3 川 2n+ r+HF4r-1-2-3 川 04rn=n!(4)HIHI川i依次取2、n_ q1231 x 1312 x 1 pr bb pr12311 x -11x2= (x T X x 2 Mj(x n + 1);x n 1习题1.41.计算下列行列式：(1)(3)y00cz0hku000cdflv(2)1+x；X2IIIX1Xn%Xfr1+

11、x；III*X2XFrrXnXXnX2IIIr2a0765432978943749700536100005600006800(4)00川01a0川000a川00I-I-I-I-bhbPFf00川a000川0aXab0cX0bac0y00dgukhl0cz0f TC2 C400zcfghkul&2打000y00000v0000vugkhl0Xbac00zcf=xyzuv;000y00000v解：（1）(2)1+xfNX2IIIxx1+x；为X2卅01+xfX1X2IIIxxD=x2x1rrr1FFIII$pX2Xnrrr=X2X1*f1+x；qqqIIIFV0+x2x1*f1 + x|qq-II

12、I+X2XnqqXnX1XnX2III1+XnXXnXIII1XnX1XnX2III2Xn n -+i(T)1+xfX1X2HIXn1+x2x1x2IIIX1x2x1申r1+x； HIfrr+ X；X2X1*1+x；III十FX2rXnMFF4X2 川*1 +x|L*X1+X2III11+xfX1X2III納41+X：X1X2卅X1%/x2x11+x；III丄2 _X2X11+x；IIIX2ndrrR qFFr r+ Xn =卡fFRXn 斗 X2III1 + x21入n4XnMXn/XIII1 + x；,2 2+ $1+ Xn =1 +2 2 2XiX2I 11 Xn ；(v1+x：X2X1

13、X21 x2IIIIIIX1X2i 依次取 1、2、| n-1 -X1XiX2III=1)X2X3III(3)6743007975005896564971683400002300007975674334002300-1=4；(4)IIIIIIIII-1.n23川 n1 1 an_2二 an2 a2 一 ；IIIIIIn：n2试用拉普拉斯定理计算：A=11000121X2XI131X2001X3001X4解:1110012300011110%X2x3X402222x1X2x3X4二-1111：11XX2X3X412222X2X2X42 1 211111XX1X3X413kJ222X1X3X4+

14、(-1)严+俨)0111123a-1IIIa -n1III111III(-1)7+rr+r1a a1 III1a_n厂一同性rra n1 川 a-1川a-1n 川1a -ni4ina nn n-1-1 2 丨丨n 1_i j-1j-ina1na2申a；1a； Jb2*IIIIIIqa1b；A a?*rrnan+*a 半 bn -1qIIIRfan 41 bn*2)b：b行轮帕丿bn第bi aia2basIIIIIIIII=a&llt an 1nn 1.j_1bibaj1bn卅f一冬f 一、bn卅III ,bn +an +lan + jlan + 丿n (baj _ aibj)n 1_i j _

15、1习题1.51.用克莱姆法则解下列方程：2x1 X2 -5x3 X4 二 8X1 - 3x2 - 6x4 = 92x2 -x3 2x4 二-5為 +4x2 _7x3+6& =0解:D=21-5121-511-30-6 鶯1-30-602-1202-1214-7607-712T 34 2 42 -1217 -7 1-634 2 3222-5+ (T-12712 10-712211=27同理：Dx=91 , Dy= -108, Dz=-27,Dw=27；人=坯=巻=-仆=罟=-1；DwD=1；总复习题一1计算行列式d=2计算行列式D=3计算行列式D=4计算行列式D=2111421-1201102-

16、9998121-22464273271014543443-3427216211 +x11111 -X11111 + y11111-y1-11X11-1x +1-11x11-1X +1-11-15计算行列式D=6计算行列式A=7计算行列式133川3323川3333川3 ；+耳4F+4Jhk+耳1F3 3 3 |l|na dab2IIIa1bna2bhr*a2IhIIIfa2bn*ranb1an*III2川 ai bna2b|a2b2川 a2 bnfrr+w*f+anblanb2川 a. g1)若 n=1,则 A=b；+b|耳 +b22)若 n=2,则 A=2a2 +b a2 +b23) 若 n

17、3,则 A=aibiab2a2bia2b2申4rianbanb2HI ai +bnHI a2+bn*4*HI an+bnb-aa- ab-aa- a -9 -rd b2p dHI a弋HI +h；HI an+bn4 Bn =1二 A = * (a2Y t| b2 ) n = 20n A37计算行列式D=-门-1_n- n-1-n1 n +1-1- n-1_n2 00 3-1-2-1. J+n41=(-1)1+n -+1-1 2（_1 $卡）6x8证明_n- n -1_nn+3 (n+4)n(n -1)3!n!= -13!n!11III11a21III11+1a3qIIIF1+1R11IIII1

18、 an1 y1D= 11品|1( an = 0( n 1aHlan 11 + 送II yq 丿,111III111 +a21III1D=1+1+1 +比III1+1+111IIII1 +ani依次取 n-1、n-2、卜2、1 , i i +11+a11 1III1 1_aia2-a? a311+an 2an 4-a* 4 ai依次取 n、n- 1、l、2,11 川 11+an11 川 1111 川1an-a0 川 0an-q 0 川 00-a10 川 0ana?* *:an=_a2:C+a2*an+ 0 :+ 0 :0 ian-1an一a n-10an-1an=-11+n -1na2“lan,

19、1 1IH1110IH01ana2+11+401q-3 n-11i依次取2、3、n一一鼻aq*5a2111 an_i +11 III 11+a +32 +i|l + an_1-a0川0an_a24-+0_an-100=aa2 川 an+tf0an1iin-1（1 y T+川+a云）（_1）仁丄 iT ai 丿2cos x10III0012cos x1III00012cos xIII00=si n（ n +1）x+iq411+far+sin x000III2cos x1000III12cos xa1a l| an = a1a2111 an9证明：2cosx1012cosx1012cos xIII

20、IIIIII丁 Dn =11qfa000III000III000000II*n2cos x112cs x 倾2cosx1012cosx1012cosxIIIIIIIII0002cosxII11*r0 HI 2cosx 10 I 12。心（2护11III0002cosx10001+4+=2cosx Dn一 Dn/+2cosx100III12cosx/n-2jkn_2当n=2时,D2 =2cosx112cosx2=2cos x + cos2x =sin3xsin x下面用归纳假设法证明:1):当 n=1 时，D1 = 2cosx = sin2x ； si nxz sin3x sin 2xcosx

21、+ cos2xs inx 小 2=2cos x+ cos2x )si nxsi nx2cos x1当 n=3 时，d3=1 2cos x010sin 4x1= 8cos3 x -4cos x =(同理可证)sin x2cos x3乂 D3= 2cosx D2 -D1 = 8cos x 4cosx= sin x2)：假设，当n=k k-3时，有Dk=如血；D沁成立 sinxsinx则当n=k+1 时。有2cos x 10|l|1 2cos x 111|01 2cos x |l|=2cos x Dk _ D k j =000IH000IH2cos x 112cos x (k 比 $ 出)2cosx

22、sin k+1 xsin xsin kx 2cos x sin(k 1)x -sin(k 1)xcosx-cos(k 1)xsin x 1sin xsin xsin(k 1)x cos x cos(k 1)xs inxsin x2上；满足。则原命题得证。sin x10试证明ai i(t)a 2(t)IHai n (t )a2 i(t)a22 (t )1iIH1a2n(t)Rani(t)qan2(t )IHVann (t )nzj丄dt10.证明：ai i (t )ai 2 (t)IHai n (t)a2 i(t)1a22 (t )1iIH1a2n(t)Rani(t)qan2(t )IHVann (t )dtda i t -aj t dtd .时j ta2i t 川dani t川畀tHIHIHIain(t)a2n(tann(t )肝可as i t 2 t ”11% t =迟（T严川“也aqi（t ）比22山11血沁）+dt Y心2t川必t+川Wi心* =d .aii t dt：a2i