立体几何大题练习题答案

1、立 体 几 何 大 题 专 练1、如图，已知 PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点;求证:2Q.证明江1取FD的中点AE,NEt丁 Nft PC 的中点.A NEXCD .又四边形ABCU为矩形且M星BA中点MN:* 寺CD垒MA ,： NEXMA.KP四边形MAEN是平行四也形, 昇 MNAE*由于 AEU罕面 PAD,MN(Zffi PADA MN平廊 PAD,(2V FA 丄平ABCD，ZPDA-45 代 APAD是等B?三肃形桩AEPH 由题意，CD丄AD,CD丄叭:.CD丄平面PAD.从而 AE_LCD,代 AE丄平面PCD,故 VIN丄平而PCH .Ml、If

2、： 1)1 的方程为(x a)* + (y一 h J pf(2a+ b0*IQ*V V 12*rABC PA PC ABC 90 PEFPBC EFQE F AC BCEF / AB.2 分又EF平面PAB，AB 平面 PAB，EF /平面PAB.5分(2)Q PAPC，E为AC的中点，PEAC-6分P ABC E,F AC, BC EF / PAB PAC又Q平面PAC 平面ABCPE 面 ABC 8分PE BC 9分又因为F为BC的中点，Q ABC900, BC EF 10分BC 面 PEF 11分又Q BC 面PBC面PBC 面PEF 12分3.如图，在直三棱柱 ABC-ABQ中，AC=

3、BC点D是AB的中点(1)求证:BGPA矩形ABGD所在的平面，M、N分别是AB、PGF N- EN= a,NP=2.2a.MN /平面PAD MN GD图，正方形ABGD所在的平面与三角形A DE所在平面互相垂直，AAEE是等腰直角三角形，且AE = ED设线段BG AE的中点分别为F、M，求证：(1) FM II平面EGD ；(2)求二面角E-BD A的正切值.(1)证明：取 AD的中点 N,连结FN,MN,则MN I ED，FN II GD平面 FMN I平面 EGD./ MF在平面FMN内， FM I平面EGD5分(2)连接EN, v AE=ED，N为AD的中点， EN 丄 AD.又面

4、 ADE 丄面 ABGD， EN 丄面 ABGD.作NP丄BD,连接EP,贝U EP丄BD， / EPN即二面角 E-BD-A 的平面角，设AD=a, / ABGD为正方形，/ ADE为等腰三角形, tan/ EPN= . 2 10分X cm的内接圆柱7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为试用X表示圆柱的侧面积；(2)当X为何值时，圆柱的侧面积最大.r则有一26 x,即r62X3.s圆柱侧2 rx 2(22X)x4 x 2 x2.33.5分19. (1)解：设所求的圆柱的底面半径为r（2）由（1）知当所以当圆柱的高为8.( 10 分)x纟2 3时，这个二次函数有最大值

5、为62（厅）23cm时，它的侧面积最大为6 Cm10 分如图，在三棱锥PABC 中，/ PAB是等边三角形，/ PACK PBC=90 o.(1)证明：AB丄PC;若PC 4，且平面PAC丄平面PBC，求三棱锥PABC体积.解:(1)因为 PAB是等边三角形，PAC PBC 90 ,所以RtPBC Rt PAC ,可得 AC BC如图，取AB中点D，连结PD , CD ,则PDAB , CD AB,所以AB平面PDC ,所以ABPC(2)作BE PC，垂足为E，连结AE .因为Rt PBC Rt PAC所以AE PC，AE BE .由已知，平面PAC 平面PBC，故AEB 90 .都是等腰直角

6、三角形。因为 Rt AEB Rt PEB，所以 AEB, PEB, CEB由已知PC4，得AE BE 2， AEB的面积S因为PC平面AEB，1所以三角锥10P ABC的体积v S PC39.（本题满分12分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ ADC = 45 AD = AC = 1，O 为 AC 的中点，P0丄平面 ABCD，P0= 2，M 为PD的中点.(1)证明PB /平面ACM ;证明AD丄平面PAC ;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.解析：(1)证明：如图，连接 BD , MO,在平行四边形 ABCD中，因为O为AC的中点，所以0为BD的中点

7、.又M为PD的中点，所以 PB / M0.因为PB?平面ACM , MO?平面ACM , 所以PB /平面ACM .(2)证明：因为/ ADC = 45 且 AD = AC = 1,所以/ DAC = 90 即 AD 丄 AC. 又PO丄平面 ABCD , AD?平面ABCD，所以PO丄AD.而AC APO = O,所以AD丄 平面PAC.如图，取DO中点N，连接MN , AN.因为M为PD的中点，所以 MN / PO,1且MN = 2卩。=1，由PO丄平面 ABCD，得 MN丄平面 ABCD，所以/ MAN是1直线AM与平面 ABCD所成的角.在 Rt DAO中，AD = 1, AO =，D

8、O =扌从而 AN = *DO =于在 Rt ANM中,tan / MANMN _ 丄 _4/5AN _ 5_ 5 ，T即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为10 (本小题满分12分)如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC B1C1中，AC 3, AB 5, BC 4, AA 4，点 D 是占八、(I)求证：AC BC1 ；(II )求证：AC,/ 平面 CDB1 ；(III )求三棱锥 A B1CD的体积.证明：（I）在厶 ABC中， AC 3, AB 5, BC 4, ABC为直角三角形， AC BC , AC 平面 BCC1 AC BC1.(II )设BiC与BCi交于点E,则E为BCi

9、的中点，连结DE则在 ABCi 中，DE /ACi，又 DE面 CDBi ,ACi / 平面 BiCD .(Ill )在厶ABC中，过C作CFAB，F为垂足,平面ABBiA 平面 ABCAC CF 平面 ABB1AI，而 CFBCAB3 412VA BiCDVC A|DB1 ,io分而 SVDA1B1VA BiCD1A|Bi gAAi 21110 ,2ii分311.(本小题满分12分)ioi2i2分如图，在四棱锥 P-ABCD中,平面PADL平面 ABCD AB=AD,Z BAD=60 ,E、F 分别是 AP、AD的中点求下：(1)直线 EF12.(本小题满分如图所示，在四棱锥 P ABCD中

10、，底面ABCD是正方形，侧棱i2 分)ABCD , PD CD, E 是 PC 的中点，作 EFPB交PB于点F。(I) 求证：PA/平面EDB ；(II) 求证：PB 平面EFD ；(Ill )求二面角P BC D的大小。13.(本小题满分如图，四棱锥i2分)P ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形,PA PBPC PD ,5DPD 底面求二面角P AB C的度数若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值(1)(2)14 .(本小题满分 12分)若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形,PD 平面 ABCD EC/PD, 且PD=2EC(i)求证：BE/平面PDA(2)若N为线段PB的中点,求证:EN 平面PDB(1)(2)i5.证明：EC/ PDA EC/面证明：取