张华芳选修2-3复习12月25日

1、 计数原理、概率、随机变量及其分布出题人：张华芳【章节知识网络】【章节强化与训练】一、选择题1把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件答案：C2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ()A14 B24 C28 D48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两

2、种情况，故不同的选派方案种数为CCCC241614.法二：从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为CC15114.答案：A38的展开式中x4的系数是 ()A16 B70 C560 D1 120解析：由二项展开式通项公式得Tk1C(x2)8kk2kCx163k.由163k4，得k4，则x4的系数为24C1 120.答案：D4某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ()A. B. C. D.解析：P.答案：B5某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出

3、5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数XB，则E(2X1)等于()A. B.C3 D.6一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的数学期望是()A. B.C. D.7某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X，则X的数学期望是()A. B.C. D.8从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求

4、其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ()A70种 B80种 C100种 D140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：CCCC70种答案：A9从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有（ ）A种 B.种 C.种 D.种解析：分两类：（1）甲型台，乙型台：；（2）甲型台，乙型台：10从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为AxByC0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ()A. B. C. D.解析：P.答案：B11. 若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为

5、二次函数yax2bxc的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是 ()A. B. C. D.解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有CA100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b24ac，当c0时，a，b只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A个，当c0时，若b3，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b4时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b5时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3

6、,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有2024834种情况满足题意，故其概率为.答案：A122010广东卷 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2X4)0.6826，则P(X4)()A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.158512的展开式中的项的系数是（ ）A. B C D解析：13在(x2)n的展开式中，常数项为15，则n ()A3 B4 C5 D6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k1项Tk1C ()kC应有2n3k0，n，而n是正整数，故k2,4,6.结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k4，n6.答案：D14.一只小蜜蜂在一个

7、棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行 若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A B C D【解析】 C；容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的于是安全飞行的概率为15.若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）A3B5C7D1016.在的展开式中，x的幂指数为整数的项共有（ ）A、3项 B、4项 C、5项 D、6项【答案】D【解

8、析】幂指数为整数时，r是6的倍数，即r=0,6,12,18,24,30，共6项17.设，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）将（3）代入得：二、填空题1某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)_.2体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮某位同学每次投篮的命中的概率为，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)_.3袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜

9、色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)_.4据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是_11.4解析 X0,1,2.P(X0)0.20.40.08，P(X1)0.80.40.20.60.44，P(X2)0.80.60.48.所以E(X)00.0810.4420.481.4.2.解析 试验次数X的可能取值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3).随机变量X的分布列为X123P所以E(X

10、)123.32解析 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数XB，故D(X)82.4(1 000,20 000)解析 X表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为X100100aP0.9950.005E(X)0.995100(100a)0.005100.若保险公司获益，则期望大于0，解得a20 000，所以a(1 000,20 000)5在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是_解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部

11、(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P=答案：6已知离散型随机变量X的分布列如下表若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.X1012Pabc解析：由题意解得a，bc.答案：7.展开式中不含项的系数的和为 。【答案】0【解析】，含项的系数为，所有项的系数为1，不含项的系数为0三、解答题1. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数。（）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自

12、然数的个数。【答案】（）共有30个符合题意的三位偶数。（）共有20个符合题意的“凹数（）共有28个符合题意的五位数【解析】本试题主要是考查了排列组合在实际生活中的运用。（1）将所有的三位偶数分为两类，个位数是0，个位数是2，或者4.来讨论得到。（2）将这些“凹数”分为三类：若十位数字为0，则共有12（种）；若十位数字为1，则共有6（种）； 若十位数字为2，则共有2（种）（3）将符合题意的五位数分为三类：若两个奇数数字在一、三位置，则共有12（种）； 若两个奇数数字在二、四位置，则共有8（种）； 若两个奇数数字在三、五位置，则共有种得到结论。2 已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系

13、数的比为.（I）求的值；（II）求含的项的系数；（III）求展开式中系数最大的项2解：（I）=6（II）4320；（III）展开式中系数最大的项.3.某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名(1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有CCC种选法工人的配置合理的概率.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均

14、为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C(1).4如图，已知AB是半圆O的直径，AB8，M、N、 P是将半圆圆周四等分的三个分点(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率解：(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P.(2)连结MP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD

15、2，当S点在线段MP上时，SABS=28=8，所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而S阴影=S扇形OMP-SOMP=42-42=4-8，所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=5.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示已知生产的产品数量在之间的工人有6位求；工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人不在同一组的概率是多少？【解析】 根据直方图可知产品件数在内的人数为，则（位） 根据直方图可知产品件数在，组内的人数分别为2，4，6， 5，3设选取这5人不在同组为B事件

16、，则答：选取这5人不在同组的概率为6某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题求全班人数及分数在之间的频数；估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率【解析】 由茎叶图知，分数在之间的频数为，频率为，全班人数为 所以分数在之间的频数为 分数在之间的总分为；分数在之间的总分为；分数在之间的总分数为；分数在之间的总分约为；分数在之间的总分数为；所以，该班的平均分数为 估计平均分时，以下解法也给分：分数在之间的频率为；分数在

17、之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；所以，该班的平均分约为频率分布直方图中间的矩形的高为 将之间的个分数编号为，之间的个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，共个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有个，故至少有一份分数在之间的概率是7 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次设两次取出的小球上的数字之和为X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的期望E(X)4解答 (1)由题意知随机变量X的取值为2

18、,3,4,5,6.P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以随机变量X的分布列为X23456P(2)随机变量X的期望为E(X)23456.8.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；若投篮命中一次得1分，否则得0分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望【解析】 记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件由题意，得答：3次投篮的人

19、依次是甲、甲、乙的概率是由题意的可能有取值为0，1，2，3，则，所以的分布列为0123的数学期望9.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置 若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券 例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）求随机变量的分布列和数学期望【解析】 设指针落在、区域分别记为事件、则， 若返券金额不低于元，则指针落在或区域 即消费元的顾客，返券金额

20、不低于元的概率是 由题意得，该顾客可转动转盘次随机变量的可能值为，；所以，随机变量的分布列为： 0306090120其数学期望10.如图，两个圆形转盘，每个转盘阴影部分各占转盘面积的和某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到转盘阴影部分时，分别赢得积分分和分先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动记先转转盘最终所得积分为随机变量，则的取值分别是多少？如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由【解析】 的取值分别是：0分，1000分，3000分由已知得，转动盘得到积分的概率为，转动盘得到积分的概率为设先

21、转盘所得的积分为分，先转盘所得的积分为分则有，同理：，故先转盘时，赢得积分平均水平较高11.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件个，是否加工出精品均互不影响已知师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工个零件都是精品的概率为求徒弟加工个零件都是精品的概率；求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；设师徒二人加工出的个零件中精品个数为，求的分布列与均值【解析】 设徒弟加工个零件是精品的概率为，则，得，所以徒弟加工个零件都是精品的概率是 设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为，由知，师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：12徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：012P所以的分布列为012

22、34P的期望为12.某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路214记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润销售收入运费）【解析】 汽车走公路1时不堵车时获得的

23、毛利润万元堵车时公司获得的毛利润万元汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为万元 设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润万元堵车时的毛利润万元汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为万元选择公路2可能获利更多13设A(x，y)|1x6,1y6，x，yN*(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；(2)从A中任取一个元素，求xy10的概率；(3)设Y为随机变量，Yxy，求E(Y)解：(1)设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B，则P(B)，所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为.(2)设从A中任取一个元素，xy10的事件为C，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)

24、，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P(C)，所以从A中任取一个元素，xy10的概率为.(3)Y可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.P(Y2)，P(Y3)，P(Y4)，P(Y5)，P(Y6)，P(Y7)，P(Y8)，P(Y9)，P(Y10)，P(Y11)，P(Y12).则E(Y)234567891011127.14某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的

25、值；()求数学期望。解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，（II）由题意知 整理得 ，由，可得，.（III）由题意知 = = =15某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（

26、）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求、的分布列及E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）解答：（）52.5P0.680.322.51.5P0.60.4（）解：随机变量、的分别列是 （）解：由题设知目标函数为 作出可行域（如图）：作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时 取最大值. 解方程组得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .【

27、思想与方法导读】例谈“概率与统计”解题策略纵观近几年的高考试题可以看出，概率与统计这部分内容在高考中占据十分重要的地位。由于它的应用性较强，取代了传统高考中的函数及数列应用题，每年高考必有一道大题。由于文、理科在此内容要求不同，高考所考查的重点也不同：文科重点考查五种事件的概率，即随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率以及独立重复试验恰好发生k次的概率，而理科试题则在五种事件的基础上侧重考查离散型随机变量的分布及其期望与方差的应用。在高考中如何解答好这部分题目呢？现从以下几个方面来谈一下解题策略,希望大家能够结合这些策略找到相应的例题（试题）进行仔细的推敲和琢磨，以

28、求真正掌握最终达到运用自如的目的。策略一:兵马未动,粮草先行大家知道,解答概率题多数都离不开排列与组合的有关知识,尤其是理科高考试题.因此,首先要复习好排列、组合的应用题.因为这部分知识是解答概率题的基础。策略二：结合实际，读懂题意据近几年考生反映，概率与统计这部分题做不对的主要原因在于读不懂题意。由于这部分题目多数与实际生活相关，因此，读题时要结合实际生活以及相关学科的知识来理解题意。策略三：根据概念，辨清事件1等可能性事件的概率如果随机试验具有如下两个特征：（1）基本事件的全体元素只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件的概率相等（等可能性）。则称该试验所对应的模型为古典概型。在古典概型中

29、，设基本事件的总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A的概率计算公式为。因此，对古典概率的计算，首先应当判断对于每个随机试验来说可能出现的试验结果是有限的，其次要判断所有不同的试验结果的出现是等可能的。一定要在等可能的前提下计算基本事件的总数n和事件A所包含的基本事件数m的值，两者相除即可。计算m,n的方法灵活多样，没有固定的模式。但m,n的数值一般是排列数、组合数，因此要用到分类加法计数原理、分步乘法计数原理及排列、组合的思维分析方法。2互斥事件有一个发生的概率在应用题背景下，能准确判断事件之间是否互斥，理解和事件的意义，是高考考查的又一个重点内容。把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的事

30、件，要既不重复又不遗漏。互斥事件与对立事件的联系与区别主要体现在以下几个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立。因此，两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件。（2）互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件。（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只有发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。对任意事件A，有P（A）=1-P（）。这个公式虽然很简单，但很有用，当所求概率的事件用“至少、至多、不多于、不少于”等词语表述时，如果直接计算P（A）很麻烦，而计算P（）又比较方便时，常先计算P（），再用此公式计算P（A）。3独立事件的概率事件间

31、的互斥与相互独立是理解的一个难点，也是高考考查的重点，学生常常因为把它们弄混而发生计算错误。在同一随机试验中，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。考查学生鉴别互斥与相互独立的能力是考查学生分析和解决问题能力的重要一环。那种认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的，因为在P（A）0、P（B）0的条件下，若A、B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）0；而若A、B互斥，则P（AB）=0，因此，两个概念出现矛盾。这就说明在P（A）0、P（B）0的情况下，相互独立不能互斥。所以，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价、完全不同的概念。应用事件的独立性有助于简化概率计算。（1）简化独立事件积的概率计算。有限个相互独立事件积的