基本不等式知识点和基本题型

1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a, b R，则 a2 b22ab(2) 若 a,b2 b2R，则 ab a b22、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,bR ,则 a b 2 . ab3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,b R*，则 a b.ab(2) 若 a,b2R*，则 ab a b22总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求取值的条件:5、常用结论(1)2 （当且仅当x 1时取“=”）(2)当且仅当X(3)ab0，则ab当且仅当a(4)a, b

2、(5)a, b特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式2 2 2 2(1) 若 a, b,c,d R，则(a b )(c d )2(2) 若 a1,a2,a3,bi,b2,b3 R，则有： 佝(ac bd)2 a22 a32)(1d21时取“=”)b时取“=”)玄2匕2ai,a2, an与d,b2, ,bn是两组实数，则有(3)设二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式4、设a，b均为正数，证明不等式b !2!aa,b, c为两两不相等的实数，求证：3、已知 a b c 1，求证：a2 b2 c2-34、已知 a,b,c R，且 a b c 1，求证：(1a)(1 b

3、)(1 c) 8abc5、已知 a, b, c R，且 a bc 1，求证:1 1a1 b1 1c1 86、选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数，且a b c1,证明:(I)ab bcca1;(2 . 2 2 a b c , n)13b c a7、选修4 5:不等式选讲：已知a b0 ,求证：2a3b32ab2 a2b1题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1) y 3x2题型三：利用不等式求最值(2) y x(4 x)(3) y1x (x 0)x(4) yx -(x 0)x(一)(凑项)1、已知x 2，求函数y2x 4的最小值;2x 4变式1 :已知x2，求函数y变式2:已知

4、x2，求函数y2x2x丁的最小值;的最大值;2x 4练习：1、已知x5，求函数y 4x 2 的最小值;44x 55A2、已知x ,求函数y 4x 2 的最大值；44x 5题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、 当时，求y x(8 2x)的最大值；变式1：当，时，求y 4x(8 2x)的最大值；3变式2：设0 x，求函数y 4x(3 2x)的最大值。22、若0 x 2，求y x(63x)的最大值；变式：若0 x 4，求y , x(8 2x)的最大值；3、求函数y 2x 15 2x(1 x 5)的最大值；(提示：平方，利用基本不等式)2 2变式：求函数y 4x 3 V11 (- x 口)的最

5、大值;44题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题1 11、已知a, b 0, a 2b 1，求t 的最小值;a b法一：法二：变式1:已知a,b0, a :2b12，求 t11的最小值；8ab变式2：已知x, y0,21，求xy的最小、值；xy19，求 x变式3：已知x, y0,且y的最小值。xy变式4：已知x, y0，且94，求xy的最小值；xy变式5：(1)若x,y 0且2x1y 1，求丄1的最小值；(2)若 a, b, x, yR且卫xyx变式6：已知正项等比数列an满足：a7 a6 2a，若存在两项am, an，使得amanb ，求x y的最小值;y144a1，求的最小值；m n题型六:

6、1、求函数y分离换元法求最值(了解)x2 7x 10/(x 1)的值域;x 12、求函数y的最大值；(提示：换元法)2x 5变式：求函数y -8(x 1)的值域；x 1V x 1变式：求函数y的最大值;4x 9题型七：基本不等式的综合应用1、已知log 2 a log 2 b 1，求3a 9b的最小值2、（2009天津）已知a,b 0，求1 1 2、ab的最小值;a b变式1：（2010四川）如果a b 0，求关于a,b的表达式a2 -1的最小值;ab a（a b）变式2 :（2012湖北武汉诊断）已知，当a0,a1时，函数y loga(x 1)1的图像恒过定点 A，若点A在直线mx yn 0

7、上，求4m 2n的最小值；3、已知x, y 0, x 2y 2xy8，求x2 y最小值；变式1:已知a,b 0 ,满足aba b3,求ab范围；变式2：（2010山东）已知x, y0, 111-，求xy最大值；（提示：通分或三角换兀）2x2 y3变式3：（2011浙江）已知x,y0 , x2y2xy1，求xy最大值；-的最大值为（1） y z4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y, z满足x2 3xy 4y2 z 0,则当 里 取得最大值时 上 1zx（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）2变式：设x, y,z是正数，满足x 2y 3z0，求的最小值;xz题型八：利用基本不等式

8、求参数范围1、（ 2012沈阳检测）已知 x, y(x1y)(xa）9恒成立，求正实数 a的最小值;y12、已知x y z 0且x（提示：分离参数，换元法）1变式：已知a, b 0满则1a题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式2，若n 恒成立，如果n N，求n的最大值；（参考:x za b c恒成立，求c的取值范围;4）a b（a, b, e, d R,当且仅当一 e d2、二维形式的柯西不等式的变式（1）va2 b2 ve2；即ad be时等号成立）若a,b,c,d2 2 2R，则(a b )(e2 2d ) (ae bd)ae bd，(a,b,e,d R,当且仅当 a e(a b)

9、(e d) ( . ae 、bd)2，(a,b,e,d 0,当且仅当 aed2bd ；bd ；即ad be时等号成立）即ad be时等号成立）3、二维形式的柯西不等式的向量形式，（当且仅当0,或存在实数k,使ak时,等号成立）4、三维柯西不等式2右 a1,a2,a3, bi,2,3 R，则有：5、一般n维柯西不等式设a1,a2, an与d,b2, ,bn是两组实数，则有题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, 析: （x 此时x12a22 2 2 a3 )(1d b2z 22:佝a22 2 bs ) (ab a?b2 asd)a2) (b2 b22bn2) (aQ a2b2an

10、d)2y,z2yy2R，若2z)2z22x(x22y2y6-、2z24,z2)12则x(2)2212 ( 2)2 2232y 2z的最小值为224 9 362，y，x4,z3时，(x, y, z) -2y 2z最小值为642、设 x, y, z R , 2xAns : m 4;(x, y,z)3、设 x, y, z R , 2x(析：2x 3y z 34、(2013年湖南卷(理)5、(2013年湖北卷(理)6、求 2sin , 3 cos2y 2z 6，求 x2 2y z的最小值 m，并求此时x, y,z之值。3y z 3，求 x2(y1)2z2之最小值为，此时y2x 3(y 1) z0)已知 a,b, c , a2b3c6,则 a24 b29 c2