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1、1,第八节 常系数非齐次线性微分方程,一、 型 二、 型 三、小结,2,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解,方法：待定系数法,一、 型,3,二阶常系数非齐次线性方程,一、 型,对应齐次方程,设非齐方程特解为,代入原方程,分析,4,二阶常系数非齐次线性方程,一、 型,对应齐次方程,设非齐方程特解为,代入原方程,分析,5,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,设非齐方程特解为,代入原方程,分析,6,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,7,解,二阶常系方程,所以设特解 y* =

2、b0 x+b1,代入原方程得,b0 x 2b0 3b1=3x+1,则b0=1, b1=1/3,所以特解 y* = x+1/3,P342-1,8,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例2,P343-2,9,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,共轭,10,利用欧拉公式,11,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程,12,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例3,P345-3,13,所求非齐方程特解为,原方程通解为,取实部,注意,14,例3,

3、的一个特解,解: 本题,特征方程,故设特解为(课本方法,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,15,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,取虚部,练习,16,解 对积分方程两边求导,再求导得,初始条件为,特征方程和特征根为,17,解得 a =1/2,再代入初始条件可得,18,1. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ),解: 特征方程,特征根,对应齐次方程通解,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,练习,19,2. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解,原方程通解为,20,三、小结,待定系数法,只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解,作业：P347: 1-(1)(3)(5)(7)(9)；2-(2)(4),21,思

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