最好的高数下册同济六版)复习提纲

1、第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向记作a或ABa= axi +ayj +azk =血旦屣)4j4a* = prjxa,ay = prjya,az = prjza模向量a的模记作ia = Jax +ay +az和差bc=a+bc=abc = a + b = ax 土 bx, ay 土 by, az 土 bz单位向量aa 式 0 ,贝 U ea =-a(ax , ay , az)222 寸a* +ay 十 az方向余弦设a与x, y,z轴的夹角分别为P 则方向余弦分别为 cos。, cos P, cos /cosot =ea = ( co;

2、2cos a+c聲,cos P = as, cos P, c :os2P +cos2?, COS f =霑 a忖os ?)=1点乘（数量积）a b = a b cosT，日为向量a与b的夹角a b = axbx +ayby +azbz叉乘（向量积）c =a 汇 bc| =卜 b sinT日为向量a与b的夹角 向量c与a , b都垂直a汇b= iIijk9xayaz3xbybz定理与公式垂直a 丄 b 二 a b = 0a 丄 bu axbx+ayby + azbz = 0平行a/b 二 a 5 = 0“axayaza / bu-bxbybz交角余弦a b两向量夹角余弦 COS日同baxbx+a

3、yby+ azbzcost* 血2 +ay2 + az2 寸b/ +by2 + bz2投影向量a在非prjba = a零向量b上的投影i cosah =晋axbx+ayby+azbzPja222Jbx2+by2+b；平面直线法向量 n= A, B,C点 Mo(X0,yo,Z0)方向向量 T =m, n, p 点 Mo(xo,yo,zo)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax +By +Cz + D = 0一般式Atx + Bty+Ctz+Dt = oIA2X + B2y+C2z+D2=o点法式A(xx)+B(y y) +C(z Zo) =0点向式x xo y yoz zomnp

4、三点式xx iy 比z 乙x 2 xiy 2 yiz2 乙x3 xiy3 - yiz3 - zi=0参数式x = x0 + mt y = y。+ nt z = z。+ pt截距式xyz ,一+工 +_ =iabc两点式x x。y y。z z。xi x0yi y0乙 一 z0面面垂直Ai 民 +CQ2 =0线线垂直mim ni n2 + 5 p2 = 0AiBiCi 1A2B2C2线线平行0 _ n i _ 口m2应P2面面平行线面垂直ABC m n p线面平行Am + B n +Cp = 0点面距离M 0 (x0, y0, z0)Ax 十 By + Cz + D = 0面面距离Ax + By

5、+ Cz + Dr = 0 Ax + By + Cz + D2 = 0D1 - D2d =Ax0 By0 Cz0 D、.A2 B2 C2d 二 Ja2 + b2 + c2线面夹角s= m, n, p n = A, B,C面面夹角n = A, B Q n = A2, B2Q2线线夹角Si =mi,ni，PiS2 二m)2,n?, P2IAA +BB2 +CC21coe222222A Bi Ci L1 A B2 C2mi m2 亠 ni n2 亠 pi p2COS = 222222minipi. m2n2p2IAm 亠Bn 亠Cp2 2 2Sin厂2二2二|J A+B+Cm+ n+ p空 间 曲

6、线 rX 二(t),(t),Z =CO(t),C _t _ ：)切向量T W(to)(to)(t。)切“线”方程：x -x. = y - y。= z-z。tT(t。)（t。） （t0）法平“面”方程：:(t) (x -X。)(t) (y - y) (t)(z - z) = 0y= (x) z(x)切向量T =(1, ：(x)(x)法向量F(x,y, z) =0切“线”方程：X _x。= y _ y。 z _ Zoi（X。）S（X。）法平“面”方程：(x -x) (x) (y-y) - (X0)(z-z) =0空间曲面匕:n =( Fx(x), y,Z0),Fy(x, y,z),Fz(x, y,

7、z)切平“面”方程：Fx(x, y,Z0)(x -x) Fx(x, y0,z)( y- y)Fx(x, y, z)(z - z) = 0法“线“方程:X 一 X0Z 一 Z。z 二 f (x, y)n = ( - fx(x, y),-f y ( x0, y0 ) , i )或y 一 y。Fx(X。，y。，Z。)Fy (x。, y。, z。)Fz(x。，y。，z。)切平“面”方程：fx(Xo,y)(xXo) fy(Xo,yo)(y y) -(zZo) =0n = ( fxgy。), fy(x0，y。)，T)法“线“方程：x x。y 一 yz-z。fx(x0,y。)fy(x,y)T第十章重积分重积

8、分积分类型计算方法(1)利用直角坐标系典型例题X 型f (x, y)dxdy -DY型f(x, y)dxdy 二Db2 (x)adX 1(刈 f(X,y)dydL(y)cdy1(y)f(x,y)dxP141例 1、例 3(2)利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2亠y2)：,、为实数)重积分I ! f x,ydcD平面薄片的质 量质量=面密度汇面积I l f (: cosd sin 二)，d，DP c 舉(B= d71% 如。f (cosd 亍 sin 二)亍 dD0 ： V : 2 二(3)利用积

9、分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有类似结论)f (x, y)对于x是奇函数， 即f (-x,y)二-f (x, y)I = 2 f (x, y)dxdy f (x, y)对于 x是偶函数,DiP147例 5P141例 2 应用该性质更方便即f (x, y) = f (x,y)l。1是D的右半部分计算步骤及注意事项画出积分区域选择坐标系标准:确定积分次序确定积分限计算要简便原则 方法 注意域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离积分区域分块少，累次积分好算为妙 图示法先积一条线，后扫积分域 充分利用对称性，奇偶性三重积分I =Mf(x,y,z)d

10、vQ空间立体物的 质量质量=密度x 面积壬击存.小土- ”投影法(1)利用直角坐标丿幷由汁 截面法b投影”f f (x,y,z)dV = a dxQy2(x)Z2(x,y)y1(x)dyL,y) f(X，y,z)dzP159-例 1P160-例 2x = r cos8、一I(2)利用柱面坐标y=rsin日1lz = z相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围：积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体被积函数 用柱面坐标表示时 变量易分离.如f(x +y)f(x +z ) b0川 f (x,y, z)dV =dzj d叮f(Pcos8,Psi n0,z)PdPQ1P161例 3x

11、 = P cosT = r sin 申 cos日(3)利用球面坐标0 ;后侧取“ Qdzdx二p(x, y(x, z),z)dzdx壬Dyz二:y = y(x, z),:为二的法向量与右侧取“ + ”，cos 一： 0 ;左侧取“ - Qdxdy ： iiQ(x,y,z(x,y)dxdy丈Dyz7 : x =x(y, z)，为7的法向量与上侧取“ +”， co0;下侧取“ R2)高斯公式右手法则取定a的侧!件：a封闭，分片光滑，是所围空间闭区域门的外侧P, Q, R具有一阶连续偏导数Dyzz=z(x,y)， 为的法向量与x轴的夹角 ”一仆 “”，cos,0y轴的夹角，cos ： : 0x轴的夹角_”，COSG 0结论:应用:FP 尸Q 曲RI l Pdydz Qdzdz - Rdxdy =( 亠 亠 )X : y : zj满足条件直接应用不是封闭曲面，添加辅 助面P226-例 2P231-例 1、例 2 两类曲面