(完整版)中考二次函数-动点专题内含答案(可编辑修改word版)

1、 中考二次函数-动点专题内含答案模式 1：平行四边形18 / 18分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点 p 使得 a、 b、c、 p 四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1） 当边 ab 是对角线时，那么有 ap / bc（2） 当边 ac 是对角线时，那么有 ab / cp（3） 当边 bc 是对角线时，那么有 ac / bp例题 1：（ft东省阳谷县育才中学模拟 10）本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 a(-4，0)，b(0，-4)，c(2，0)三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点 m 为第三象限内抛物线上一动点，点 m 的横坐标为 m，amb

2、的面积为 s.求 s 关于 m 的函数关系式，并求出 s的最大值；(3) 若点 p 是抛物线上的动点，点 q 是直线 y=x 上的动点，判断有几个位置能使以点 p、q、b、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 q 的坐标.练习：图 1，抛物线 y = -x 2 + 2x + 3 与 x 轴相交于 a、b 两点（点 a 在 b 的左侧），与 y 轴相交于点 c，顶点为 d（1） 直接写出 a、b、c 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2） 连结 bc，与抛物线的对称轴交于点 e，点 p 为线段 bc 上的一个动点，过点 p 作 pf/de 交抛物线于点 f，设点p 的横坐标为 m用含 m

3、 的代数式表示线段 pf 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 pedf 为平行四边形？设bcf 的面积为 s，求 s 与 m 的函数关系模式 2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p 使得 a、 b、c、 p 四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1） 当边 ab 是底时，那么有 ab / pc（2） 当边 ac 是底时，那么有 ac / bp（3） 当边 bc 是底时，那么有 bc / ap例题 2：已知，矩形 oabc 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 a 的坐标为(4,0)，点 c 的坐标为(0，- 2) ，直线y = - 2 x 与边 bc 相交于点 d3(1)

4、 求点 d 的坐标；(2) 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 a、d、o，求此抛物线的表达式；(3) 在这个抛物线上是否存在点 m，使 o、d、a、m 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 m 的坐标；若不存在，请说明理由练习：已知二次函数的图象经过 a（2，0）、c(0，12) 两点，且对称轴为直线 x4，设顶点为点 p，与 x 轴的另一交点为点 b（1） 求二次函数的解析式及顶点 p 的坐标；（2） 如图 1，在直线 y2x 上是否存在点 d，使四边形 opbd 为等腰梯形？若存在，求出点 d 的坐标；若不存在， 请说明理由；2（3） 如图 2，点 m 是

5、线段 op 上的一个动点（o、p 两点除外），以每秒个单位长度的速度由点 p 向点 o 运动， 过点 m 作直线 mn/x 轴，交 pb 于点 n 将pmn 沿直线 mn 对折，得到p1mn 在动点 m 的运动过程中，设p1mn 与梯形 omnb 的重叠部分的面积为 s，运动时间为 t 秒，求 s 关于 t 的函数关系式模式 3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得 a、（1） 当a 为直角时， ac ab（2） 当b 为直角时， bc ba（3） 当c 为直角时， ca cbb、 p 三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况例题 3：如图 1，已

6、知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 左侧），与 y 轴交于点 c(0，3)，对称轴是直线 x1，直线 bc 与抛物线的对称轴交于点 d（1） 求抛物线的函数表达式；（2） 求直线 bc 的函数表达式；（3） 点 e 为 y 轴上一动点，ce 的垂直平分线交 ce 于点 f，交抛物线于 p、q 两点，且点 p 在第三象限当线段 pq = 3 ab 时，求 tanced 的值；4当以 c、d、e 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 p 的坐标练习：如图 1，直线 y = - 4 x + 4 和 x 轴、y 轴的交点分别为 b、c，点 a 的坐标是（-2，

7、0）3（1） 试说明abc 是等腰三角形；（2） 动点 m 从 a 出发沿 x 轴向点 b 运动，同时动点 n 从点 b 出发沿线段 bc 向点 c 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 m 运动 t 秒时，mon 的面积为 s 求 s 与 t 的函数关系式； 设点 m 在线段 ob 上运动时，是否存在 s4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当mon 为直角三角形时，求 t 的值模式 4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得 a、（1） 当a 为顶角时， ac =

8、ab（2） 当b 为顶角时， bc = ba（3） 当c 为顶角时， ca = cbb、 p 三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况例题 4：已知：如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 oabc 的边 oa 在 y 轴的正半轴上，oc 在 x 轴的正半轴上，oa2，oc3，过原点 o 作aoc 的平分线交 ab 于点 d，连接 dc，过点 d 作 dedc，交 oa 于点 e（1） 求过点 e、d、c 的抛物线的解析式；（2） 将edc 绕点 d 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 f，另一边与线段 oc 交于点 g如果df 与（1）中的抛物线交于另一点 m，点 m

9、 的横坐标为 6 ，那么 ef2go 是否成立？若成立，请给予证明；若不成5立，请说明理由；（3） 对于（2）中的点 g，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 q，使得直线 gq 与 ab 的交点 p 与点 c、g构成的pcg 是等腰三角形？若存在，请求出点 q 的坐标；若不存在成立，请说明理由练习：（2012 江汉市中考模拟）已知抛物线 yax2bxc(a0)经过点 b(12，0)和 c(0，6)，对称轴为 x2(1) 求该抛物线的解析式(2) 点 d 在线段 ab 上且 adac，若动点 p 从 a 出发沿线段 ab 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点 q 以某一速度从

10、 c 出发沿线段 cb 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 pq 被直线 cd 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t(秒)和点 q 的运动速度；若存在，请说明理由ypodabxqc(3) 在(2)的结论下，直线 x1 上是否存在点 m，使mpq 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 m 的坐标；若不存在，请说明理由模式 5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角例题 5：（据荆州资料第 58 页第 2 题改编）在梯形 abcd 中，adbc，baac，b = 450，ad = 2，bc = 6，以 bc所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 a 在 y 轴上。（1） 求过 a

11、、d、c 三点的抛物线的解析式。（2） 求adc 的外接圆的圆心 m 的坐标，并求m 的半径。（3） e 为抛物线对称轴上一点，f 为 y 轴上一点，求当 edecfdfc 最小时，ef 的长。（4） 设 q 为射线 cb 上任意一点，点 p 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点 p、q，使得以 p、q、c 为顶点的与adc 相似？若存在，直接写出点 p、q 的坐标，若不存在，则说明理由。yadxboc模拟题汇编之动点折叠问题1.（2012 深圳模拟）（本题 12 分）已知二次函数 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于 a（1，0）、b（1，0）两点.（1） 求这个二次函

12、数的关系式；（2） 若有一半径为 r 的p，且圆心 p 在抛物线上运动，当p 与两坐标轴都相切时，求半径 r 的值.（3） 半径为 1 的p 在抛物线上，当点 p 的纵坐标在什么范围内取值时，p 与 y 轴相离、相交？2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 a、b 两点， a 点在原点的左侧，b 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 c（0，-3）点，点 p 是直线 bc 下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；（2）连结 po、pc，并把poc 沿 c o 翻折，得到四边形 popc， 那么是否存在点 p，使四边

13、形 popc 为菱形？若存在，请求出此时点 p 的坐标；若不存在，请说明理由.解：将 b、c 两点的坐标代 y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-31 分3b + c = 0将 b、c 两点的坐标代入得：c = -3b = -2，解得：c = -3所以二次函数的表达式为： y = x 2 - 2x - 3.3 分（2）存在点 p，使四边形 pop / c 为菱形.设 p 点坐标为（x， x 2 - 2x - 3 ），/pp 交 co 于 e.若四边形 pop c 是菱形，则有 pcpo5 分/3连结 pp则 peco 于 e，oe=ec= 2 y = - 3 . x 2 - 2x -

14、 3 = - 3.6 分21解得 x = 2 +210 ， x22 - 102=（不合题意，舍去）22 +p 点的坐标为（210 ， - 3 ）9 分23.（2012 江西模拟）已知抛物线 y = -x2 + 3x + 4 交 y 轴于点 a，交 x 轴于点 b,c（点 b 在点 c 的右侧）.过点 a 作垂直于 y 轴的直线 l. 在位于直线 l 下方的抛物线上任取一点 p，过点 p 作直线 pq 平行于 y 轴交直线 l 于点 q.连接 ap.（1） 写出 a，b，c 三点的坐标；（2） 若点 p 位于抛物线的对称轴的右侧：如果以 a，p，q 三点构成的三角形与aoc 相似，求出点 p 的

15、坐标；若将apq 沿 ap 对折，点 q 的对应点为点 m.是否存在点 p，使得点 m 落在 x 轴上.若存在，求出点 p 的坐标； 若不存在，请说明理由.na db cmp4.（2012 安庆模拟）在直角梯形 abcd 中，b90，ad1，ab3，bc4，m、n 分别是底边 bc 和腰 cd 上的两个动点，当点 m 在 bc 上运动时，始终保持 ammn、npbc(1) 证明：cnp 为等腰直角三角形；(2) 设 npx，当abmmpn 时，求 x 的值；(3) 设四边形 abpn 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 取何值时，四边形 abpn 的面积最大，最大面积是

16、多少解：（1）过 d 作 dqbc 于 q，则四边形 abqd 为平行四边形dq=ab=3，bq=ad=1qc=dqdqc 中c=qdc=45rtnpc 为等腰 rt(4 分)（2） v abm vmpnmp=ab=3, bm=npnpc 为等腰 rtpc=np= xbm=bcmppc=1x1- x= x x= 12当v abm vmpn 时，x = 12(8 分)（3） s111=(ab+np) bp=(3+ x)(4x)=x 2 + 111x+ 6=( x-)+6.125(11 分)四边形abpn222222当 x 取 1 时，四边形 abpn 面积最大，最大面积为 6.125(14 分)

17、25.（2012 宝应模拟）在直角坐标系中，o 为坐标原点，点 a 的坐标为（2，2），点 c 是线段 oa 上的一个动点（不运动至 o，a 两点），过点 c 作 cdx 轴，垂足为 d，以 cd 为边在右侧作正方形 cdef. 连接 af 并延长交 x 轴的正半轴于点 b，连接 of,设 odt. 求 tanfob 的值；用含 t 的代数式表示oab 的面积 s；是否存在点 c, 使以 b，e，f 为顶点的三角形与ofe 相似，若存在，请求出所有满足要求的 b 点的坐标；若不存在，请说明理由yacfodebxyacfod b ex(1) 作 ahx 轴于 h，交 cf 于 pa(2,2)ah

18、=oh=2aob=45t1cd=od=de=ef= t tan fob =2t23 分(2) cfobacfaob ap = cf即 2 - t = tahob2t2ob12t ob =2 - t sdoab = 2 ob ah = 2 - t (0 t ae pa + pb = pa + pe ae = ac + bc1 分综上所得 ap + bp ac + bc1 分7.如图，已知二次函数 yx2bxc 的图象经过 a(2，1)，b(0,7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当 x 为何值时，y0?(3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 c、d 两点(点

19、c 在对称轴的左侧)，过点 c、d 作 x 轴的垂线，垂足分别为 f、e.当矩形 cdef 为正方形时，求 c 点的坐标解：解：(1)把 a(2，1)，b(0,7)两点的坐标代入yx2bxc，得error!，解得error!.所以，该抛物线的解析式为 yx22x7，又因为 yx22x7(x1)28，所以对称轴为直线 x1. (2)当函数值 y0 时，x22x70 的解为 x122，结合图象，容易知道 122x0.(3)当矩形 cdef 为正方形时，设 c 点的坐标为(m，n)， 则 nm22m7，即 cfm22m7.因为 c、d 两点的纵坐标相等，所以 c、d 两点关于对称轴 x1 对称， 设

20、点 d 的横坐标为 p，则 1mp1，所以 p2m，所以 cd(2m)m22m. 因为 cdcf，所以 22mm22m7， 整理，得 m24m50，解得 m1 或 5. 因为点 c 在对称轴的左侧，所以 m 只能取1. 当 m1 时 ， nm22m7(1)22(1)74. 于是，点 c 的坐标为(1,4)8. 如图，在abc 中，已知 abbcca4cm，adbc 于 d，点 p、q 分别从 b、c 两点同时出发，其中点 p 沿bc 向终点 c 运动，速度为 1cm/s；点 q 沿 ca、ab 向终点 b 运动，速度为 2cm/s，设它们运动的时间为 x(s)。 求 x 为何值时，pqac；

21、设pqd 的面积为 y(cm2)，当 0x2 时，求 y 与 x 的函数关系式； 当 0x2 时，求证：ad 平分pqd 的面积； 探索以 pq 为直径的圆与 ac 的位置关系，请写出相应位置关系的 x 的取值范围(不要求写出过程)。qoab pdc解：当 q 在 ab 上时，显然 pq 不垂直于 ac。当 q 在 ac 上时，由题意得：bpx，cq2x，pc4x，abbcca4，c600，若 pqac，则有qpc300，pc2cq44x22x，x ，54当 x (q 在 ac 上)时，pqac；5 当 0x2 时，p 在 bd 上，q 在 ac 上，过点 q 作 qhbc 于 h，c600，

22、qc2x，qhqcsin600 3x1abac，adbc，bdcd bc22311dp2x，y pdqh (2x) 3xx2 3x222 当 0x2 时，在 rtqhc 中，qc2x，c600，hcx，bphcbdcd，dpdh，adbc，qhbc，adqh，opoqspdosdqo，ad 平分pqd 的面积； 显然，不存在 x 的值，使得以 pq 为直径的圆与 ac 相离416当 x 或时，以 pq 为直径的圆与 ac 相切。5 5441616当 0x 或 x或x4 时，以 pq 为直径的圆与 ac 相交。55559. 已知抛物线 y = -x2 + 2(k -1)x + k + 2 与 x

23、 轴交于 a、b 两点，且点 a 在 x 轴的负半轴上，点 b 在 x 轴的正半轴上（1） 求实数 k 的取值范围；（2） 设 oa、ob 的长分别为 a、b，且 ab15，求抛物线的解析式；（3） 在（2）的条件下，以 ab 为直径的d 与 y 轴的正半轴交于 p 点，过 p 点作d 的切线交 x 轴于 e 点，求点 e 的坐标。解：（1）设点 a（ x1 ，0），b（ x2 ，0）且满足 x1 0 x2由题意可知 x1 x1 = -(k + 2) -2（2） a b 15，设oa = a ，即- x1 = a ，则ob = 5a ，即 x2 = 5a ， a 0x1 + x2 = -a +

24、 5a = 4a2(k - 1) = 4ax x = -a 5a = -5a 2- (k + 2) = -5a 2 12，即a = - 3 k = 2a + 1 ，即5a 2 - 2a - 3 = 0 ，解得 a1 = 1 ， 25 （舍去） k = 3抛物线的解析式为 y = -x 2 + 4x + 5（3）由（2）可知，当- x 2 + 4x + 5 = 0 时，可得 x1 = -1， x2 = 5即 a（1，0），b（5，0）ab6，则点 d 的坐标为（2，0） 当 pe 是d 的切线时，pepd由 rtdportdep 可得 pd 2 = od de即32 = 2 dede = 92

25、，故点 e 的坐标为（- 92 ，0）10. 如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 abcd 的四个顶点，梯形的底 ad 在 x 轴上，其中 a（2,0），b（1,3）（1）求抛物线的解析式；（2） 点 m 为 y 轴上任意一点，当点 m 到 a、b 两点的距离之和为最小时，求此时点 m 的坐标；（3） 在第（2）问的结论下，抛物线上的点 p 使 spad4sabm 成立，求点 p 的坐标y_a_doxbc解：（1）、因为点 a、b 均在抛物线上，故点 a、b 的坐标适合抛物线方程4a + c = 0 a + c = -3a = 1解之得： c = -4；故 y = x2 - 4 为所求4

26、 分（2）如图 2，连接 bd，交 y 轴于点 m，则点 m 就是所求作的点2k + b = 0设 bd 的解析式为 y = kx + b ，则有-k + b = -3 ，k = 1，b = -2故 bd 的解析式为 y = x - 2 ；令 x = 0, 则 y = -2 ，故 m (0, -2) 8 分(3)、如图 3，连接 am，bc 交 y 轴于点 n，由（2）知，om=oa=od=2， amb = 902易知 bn=mn=1，易 求 am = 2 2, bm =2s= 1 2 2 = 2 ；设 p(x, x2 - 4) ，yp2p1a abm2依题意有： 1 adax2 - 4 =

27、4 2 ，即： 1 4ax2 - 4 = 4 2ad22解之得： x = 22ox， x = 0 ，故 符合条件的 p 点有三个：mbn cp1 (2 2, 4), p2 (-2 2, 4), p3 (0, -4)12 分p3图 311. 如图，在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，点 a 的坐标是（4，0），点 b 的坐标是（0，b）（b0）p 是直线 ab 上的一个动点，作 pcx 轴，垂足为 c记点 p 关于 y 轴的对称点为 p（点 p不在 y 轴上），连接 pp，pa， pc设点 p 的横坐标为 a（1） 当 b=3 时，求直线 ab 的解析式；若点 p的坐标是（1，m），求 m 的值

28、；（2） 若点 p 在第一象限，记直线 ab 与 pc 的交点为 d当 pd：dc=1：3 时，求 a 的值；（3） 是否同时存在 a，b，使pca 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 a，b 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设直线 ab 的解析式为 y=kx+3，把 x=4，y=0 代入得：4k+3=0，k=，直线的解析式是：y=x+3， 3 分由已知得点 p 的坐标是（1，m），m=1+3=；4 分（2）ppac，ppdacd， =，即=，a=；6 分（3）以下分三种情况讨论当点 p 在第一象限时， 1）若apc=90，pa=pc（如图 1） 过点 p作 phx 轴于点 hpp=ch=ah=ph=ac2a=（a+4）a=ph=pc=ac，acpaob（24 题图 1）=，即=，b=28 分2）