第5讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题

1、第5讲利用导数研究不等式恒成立及相关问题,考向分析,核心整合,热点精讲,阅卷评析,考向分析,考情纵览,真题导航,2)证明:f(x)1,2.(2014新课标全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值,解: (1)f(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立. 所以f(x)在(-,+)上单调递增,3.(2013新课标全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性,2)当m2时,证明f(x)0,备考指

2、要,1.怎么考 导数的综合应用是高考命题的重点与热点,每年高考都会考查这一知识点,具有一定的难度与灵活性. 从知识层面上看,一般考查导数在其他知识中的应用,突出导数的工具性,其中主要包括: (1)利用导数研究多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数和指数函数的性质及求参数等综合问题; (2)求最值,以实际问题中的最优化问题形式呈现; (3)把导数与函数、方程、不等式、数列等结合综合考查. 从题目的结构层次上看,常以解答题的形式呈现,第一问一般以抽象导函数值、抽象函数值、切线方程、极值为背景求函数的解析式,或给定参数的值求函数单调区间问题,较为简单;第二问均为和不等式相联系,考查由不等式恒成

3、立求参数的取值范围或参数的最值问题、证明不等式等综合问题,常以压轴题出现,具有一定的难度,2.怎么办 复习备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值与最值的关系,强化导数的工具性的作用,要认真研究导数与不等式、方程、数列、解析几何的联系,加强导数应用的广泛意识,注重数学思想与方法的应用,核心整合,1.利用导数求函数最值的几种情况 (1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 ,f(a),f(b)min是函数f(x)在a,b上的 ;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 , f(a),f(b)ma

4、x是函数f(x)在a,b上的 . (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 是函数f(x)在a,b上的最小值, 是函数f(x)在a,b上的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 是函数f(x)在a,b上的最大值, 是函数f(x)在a,b上的最小值. (3)若函数f(x)在a,b上有极值点x1,x2,xn(nN*,n2),则将f(x1),f(x2), ,f(xn)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在a,b上的 ,最小的一个是函数f(x)在a,b上的,最大值,最小值,最小值,最大值,f(a,f(b,f(a,f(b,最大值,最小值,2.不等式的恒成立与能成立问题 (1)

5、f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI). (2)f(x)g(x)对xI能成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI). (3)对x1,x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. (4)对x1D1,x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2. 3.证明不等式问题 不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键,温馨提示 在解决导数的综合问题

6、时,应注意: (1)树立定义域优先的原则; (2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则; (3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程; (4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用. (5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系: 若f(x)m恒成立,则f(x)maxm; 若f(x)m恒成立,则f(x)minm. 若f(x)m有解,则f(x)minm; 若f(x)m有解,则f(x)maxm,热点精讲,热点一,利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题,2)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的取值范围,方法技巧 已知不等式f

7、(x,)0(为实参数)对任意的xD恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决这个问题的常用思想方法如下: (1)分离参数法: 第一步,将原不等式f(x,)0(xD,为实参数)分离,使不等式的一边是参数,另一边不含参数,即化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式; 第二步,利用导数求出函数f2(x)(xD)的最大(小)值; 第三步,解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min从而求出参数的取值范围. (2)函数思想法: 第一步,将不等式转化为某含参数的函数的最值问题; 第二步,利用导数求出该函数的极值(最值); 第三步,构建不等式求解,热点二,利用导数证明与函数有关的不等式,解

8、: (1)由已知f(x)=ln x+1+2ax(x0), 切点P(1,a), 则切线方程:y-a=(2a+1)(x-1). 把(0,-2)代入得a=1,方法技巧 1.利用导数证明与分式、指数式、对数式函数等相关的不等式的步骤: 第一步,根据待证不等式的结构特征、定义域及不等式的性质,将待证不等式化为简单的不等式; 第二步,构造函数(构造函数的常用方法:作差法、换元法); 第三步,利用导数研究该函数的单调性或最值; 第四步,根据单调性或最值得到待证不等式. 小贴士:在证明过程中要利用一些常见的小结论:exx+1(当x=0时取等号),ln(x+1)x(当x=0时取等号). 2.证明与区间端点有关的

9、不等式的步骤: 第一步,根据待证不等式的结构特点及已知条件,找出与区间端点有关的等量关系与不等关系; 第二步,把等量关系与待证不等式的一边整理; 第三步,利用不等关系得到待证不等式,备选例题,例1】 (2015河南省八市教学质量监测)已知函数f(x)=aln x-x+1, g(x)=-x2+(a+1)x+1. (1)若对任意的x1,e,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围,2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0,使得h(x0+k)=h(x0)+h(k)(k0且为常数)成立,则称函数h(x)为保k阶函数,已知H(x)=f(x)-(a-1)x+a-1为保a阶函数,求实数a的取值范围,阅卷评析,答题启示】 1.理解导数的几何意义,会求曲线y=f(