解三角形、数列、不等式考点分析

1、解三角形、数列、不等式考点分析必修五所学三章都为高考考查重点，且是与高考数学联系紧密的知识点，复习中应引 起大家重视，本文通过对考点进行分析来指导复习。一、解三角形考点分析（1）判断三角形的形状；（2）正余弦定理的简单应用；（3 ）测量问题。这些题目难度不大，题型是中档题与简单题， 主要考查考生运用正余弦定理及三角公式进行恒等变形的能 力；化简、求值或判断三角形形状为主，也可能与其他知识相结合，重点与三角恒等或平面向量交汇。例1、台风中心此A地以每小时20千米的速度向正北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市 B在A的正东方40千米处，城市 B处于危险区内的时间为多长？解：如图，设

2、台风中心从 A地到C地用时为t, |AC| = 20t,在 ABC中，由余弦定理得：|BCh I AB|2 |AC|2 -2| AB | AC |cosA 二 1600 400t2-800. 2t ,依题意，只要|BC匡30，城市B就处于危险区内，由此得:max-tmin（小时），所以城市B处于危险区内的时间为 1小时。点评：正确理解方位角，画出符合实际情况的图形，一般是以时间为变 量表达出图形中的线段， 然后利用正、余弦定理，结合具体问题情境列式解决, 余弦定理解决实际问题的重要思路之一。B这是利用正、例2、已知 ABC的内角A、B、C所对的边分别为 a, b, c,它的外接圆半径为 6,三

3、边a, b, C，角A、C和 ABC的面积S满足以下条件：S = b2 -（c - a）2和（1 ）求sinB的值；（2）求0 ABC的面积的最大值。2 2分析：本题从所给条件 ABC的面积S满足以下条件：S=b -（c-a）能获取的信1息是利用面积公式 Sacs in B与已知的关系式建立起等量关系，结合余弦定理第一问可24求得；由条件外接圆半径为6应联想正弦定理以及条件 sin A sin C 可得a+ c= 16为3定值，应与基本不等式联系解第二问。2 + 2 _&2解：（1）因为 S =b2 -（c-a）2 二 b2 -c2 -a2 2ac ,又 cosB 二,2ac1所以 b2 -c

4、2 -a2 二-2accosB，所以 s 二 2ac(1 -cosB),又 S acsin B ,1 所以一sin B = 2 _ 2cosB，所以 4cosB = 4 _sin B ,2228两边平方得：16 cos B =16-8sin B sin B，所以 sinB.174(2)由正弦定理得 a =12sinA,c=12sinC，又n A n C -,3所以 a c = 16, ac a c 2(-)2,当且仅当a= c= 8时取等号，第6页25617A、18B、17C、16D、15所以S = acsin B 4 ac 4 64二256，所以 ABC的面积的最大值为2171717点评：本

5、题在分析思路的过程中，要对题中的所给信息条件作合理的联系，从而使思路不断向正确的方向迁移应用。二、数列考点分析数列是高中数学的重点内容之一，数列是连结初等数学与高等数学的桥梁，是每年必考知识点之一，重点概括：(1)等差、等比数列的性质；(2)等差、等比数列综合以及与其他知 识交汇；(3)数列建模的实际应用问题。注意探索性问题成为近几年考查的热点。例1、等差数列an的前n项和为Sn，若S3 =5,S6 =11，则S9为()解：因为S3,S6 -S3,Sg -S6，为等差数列，所以 S6 - S3二( 一 ),2又 S3 -5,SS6,S9 -SS9 -11 ,所以 S9 -11 =7 , S9

6、=18，故选 A.点评：这里利用等差数列的性质，在等差数列an中，Sn, S2n - Sn ,S3n - S2n成等差数列；类别等差数列得到在等比数列 an ( q = -1 )中，Sn,S2n -Sn,S3n -S2n成等比数 列；例2、图(1)、(2)、( 3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运 会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则f二； f (n) - f (n -1) =.(答案用数字或 n的解析式表示)解：41; 4 (n 1)由题意可知 f (5)= 1 + 3 + 5 + 7 + 9+ 7 + 5+ 3+

7、 1 = 41.所以 f(n) - f(n -1)二(2n -1)(2n - 3)二 4(n -1).点评：本题属于图表类信息题目情景新颖能够考查学生的创新能力、 目是近几年高考命题的热点。例3、an是首项ai =4的等比数列，且S3,S2,S4成等差数列。（1）求数列an的通项公式;1(2)若bn = log 2 | an |，设Tn为数列的前n项和,bn b,观察能力。这类题Tnbn 1 对一切n N ”恒成立，求实数的最小值。当q =1时,342a,1q)a1(1 q )十 a1(1q )所以 2q21 -q1 -q1 -qq4,所以 q2 q -2 = 0n _1所以 q = - 2,

8、所以 an =4(-2)(_2)nT（2）bn=log 2 1 an= log2 |(-2)n1 卜 n 1 ,bn bn 1(n 1)( n 2) n 1 n 21，所以2(n 2) ( n 2)，所以一22(n 2)22(n2)2(n44)n2(44)1，所以的最小值为1616解：（1）当q= 1时，S3 = 12, S2 = 8, S4 = 16 ,不成等差数列。点评：数列的综合问题仍然离不开等差、等比数列，这两个基本数列的基本量是首项 和公差或公比，在解题时要树立这种基本量意识。裂项相消法是数列求和的基本方法之一， 要熟练其操作技巧，不等式恒成立问题的基本处理方法之一是利用分离参数的方

9、法将其转化 为求一个函数值域的问题。例4、某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9%。，该校今年初有旧实验设备a套，其中需要更换的旧设备占了一半。学校决定每年以当年初设备数量的10%为增长率增加新设备，同时每年换掉x套旧设备，如果10年后该校学生人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少 套？F列数据供计算时参考:91.1 茫 2.3891.0049 .041.110 茫 2.60101.0049.051.111 痒 2.851.004911 拓 1.06解：设今年起学校的合格实验设备为数列an，则a! = 1.1a-x,an

10、 .1 = 1.1an -x(”),令 a. i =1(an r)，则 a.1.1an 0.1 -，与(*)式比较知=-10x，故数列an -10x是首项为1.1a -11x，公比为1.1的等比数列，所以92.6a -16xaa10 =10x (1.1a11x) 1.1 ： 2.6a16x，由题意知：2 -，1.05bb11解得：x a.故每年更换旧设备为a套。3232点评：该题解法运用的是递推法，它是解决这类数列应用问题的重要思想方法，其基 本技巧是建立连续两项之间的关系，考生应认真体会。三、不等式考点分析1、不等式的性质是不等式运算与推理的基础，是证明不等式、解不等式的理论依据,，常常与命

11、题真假、大小因此是高考考查的重点。该部分内容在高考中一般不会单独命题,关系的比较、充分必要条件等结合起来进行考查，形式多为选择题或填空题，难度不大。2、一元二次不等式是解决很多数学问题的重要工具，因而一直是高考考查的热点。在 选择题和填空题中一般考查不等式的解法，在解答题中一般考查一元二次不等式的应用以及函数、方程等的综合问题。特别是一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，也要用到一元二次不等式的相关知识，因此要加强对本部分知识的学习。3、线性规划问题在实际生产、生活中应用广泛，需要用到很多数学思想方法，因此逐渐成为高考命题的热点内容。 本部分试题主要考查平面区域的面积、 参数的

12、范围、线性目标 函数的最值、实际应用等问题， 在高考试题中一般以选择题、 填空题的形式出现，有时也会 以解答题的形式出现。4、基本不等式在求解函数的最值、证明不等式、求参数的范围等问题中有着非常广泛的应用，因此是高考考查的重点内容。高考对基本不等式的考查一般与其他知识融合在一起， 所以应重视对基本不等式的复习。在利用基本不等式解决问题的过程中，应注意基本不等式应用的条件，避免出现错误，注意对式子进行合理的变形，构造基本不等式应用的条件。例1、某种汽车，购车费是 10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为9000元,年维修费第一年是 2019元，以后逐年递增 2019元，问这种汽车使用()年时，它的年平均费用最小（）A、 11B、 10C、 9D、 8解：设汽车使用a年时，年平均费用 y最小，依题意得2J n .1n1_2仁3，当且仅当a= 10时，nn 1年平均费用y最小，选B.点评：考查基本不等式的实际应用问题，要建立正确的数学模型，再利用基本不等式求解。|x y 亠例2在平面直角坐标系中，不等式组 x-y+4启表示的平面区域的面积为 9，则实数a x兰a-的值为。分析：线性规划是刻画平面区域的重要工具，规划问题也是新高考的热点之一，这类题目 数与形紧密结合，