1.分式及其运算

1、分式(1)分式及其运算本节内容一、分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式一般地，如A果A, B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 一叫做分式.整式与分式统称为有理式.B在理解分式的概念时，注意以下三点：(1) 分式的分母中含有字母；(2) 分式的分母的值不为 0;(3) 分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.【例1】F面的说法正确的是(22x -5x 1是分式D.2x -是分式3【例2】F面的说法中正确的是(一.有除法运算的式子就是分式B .有分母的式子就是分式一C.若A，B为整式，式子B叫分式AD .若A,B为整式且B中含有字母

2、，式子叫分式B【例3】F列代数式中，是分式的序号是b + ca 2b、分式有(无)意义的条件两个整式相除，除数不能为0 ,故分式有意义的条件是分母不为1分式1，当x = 0时，分式有意义；当 x =0时，分式无意义.x【例4】若竝有意义，则一3a()3-a3-|a|A .无意义B .有意义C .值为01【例5】使分式一有意义的x值是()x -1x十20 ;当分母为0时，分式无意义.如:D .以上答案都不对【例6】求下列分式有意义的条件:1n(1) ；(2)xm +1(3)X亠V(4)2 2x V1 ；2X2 _2x -8(5)x2 _9x - 3【例7】（1） x为何值时，分式无意义?4x 1

3、(2)x为何值时，分式11 有意义?1 11 x(3)x为何值时，分式x 口无意义?-x x-3(4)x为何值时，分式斗生有意义?x 3x -4三、分式值为零的条件分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”【例8】当x为何值时，下列分式的值为零？(1)x2 -2x-3(2)x-6(x+1 )(x+2 )2 x5x6(3)x2 -16(4)8xx2 +3x _4x2+ 8(5)25 -x2(6)(x_8)( x + 1)2 ；(x5)x-1四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母冋时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变上述性质用公式可表示为：a

4、 am a a m,m = 0 b bm b b m注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是m = 0； 强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式; 分式的基本性质是约分和通分的理论依据.分式变形-扩大与缩小【例9】填空:(1)ab2a(2)x2 xy(3)x2 xyxy(4)分式（1） 【例10】如果把分式 一红 中的X和y都扩大原来的3倍，那么分式的值（）x + yA 扩大为原来的3倍B.缩小为原来的3倍C 缩小为原来的6倍D 不变【例11】若分式 寻2 a,b 0中，字母a,b的值分别扩大原来的2倍，则分式的值（）(1)1.03x0.02y3.2x 一 0.5

5、ya2+b/A 扩大为原来的2倍1B 缩小为原来的一21C 缩小为原来的一D 不变4分式变形-系数化整与变号【例12】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.(2)斗5-5y32【例13】不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数.(1)-a -1a2 -232-aa -5233 - a - - a分式的通分与约分通分：把几个异分母分式化成与原来分式相等的同分母的分式的过程，叫做通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母求最简公分母时，首先要因式分解，将所有的表达式都化成积的形式，然后，看各

6、个分解后的子因式中如果没有出现在公分母中，就将其乘进去.已经出现的可以不再添加，但是在同一个因式中出现了几次相同的因子，就要乘几次.约分、最简分式：把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分，如果一个分式中没有可约的因式,则为最简分式.【例14】找出每组分式的最简公分母(1)23a12， 27 7a 1-2a a a -1d 21xx2 , 2 , 2x -4x-5 x 3x 2 x - 3x -10(3)a2 ab ab2a2a2 _ab b2 _ab a2 -b2321x2 -18x 81 81 -x2，x2 18x 81【例15】约分:(1)-15a2b3c20b2c2；(2)4x x21

7、6 -x22(2x_y )(3)y -2xmx +my；(4) r 2x -y(5)2 24x -9y24x2 12xy 9y2；(6)x2 -4x-122x 7x10(7)a2b2c2 2bc c2 -a2 -b2 2ab.mf1 m_14x y18xm2ym【例16】下列分式的约分，错误的有（6x -13x -12 2y ；五、分式的运算(1)分式的乘法:(2)分式的除法:adbc(3)乘方：Ja a anabn（n为正整数）(4)整数指数幕运算性质:m n m na a =a ( m, n为整数)m-n=a(a=0，m,n为整数）am n二amn ( m,n为整数)r n n nab i

8、； -a b ( n为整数)1（5）负整指数幕：一般地，当 n是正整数时，a n a = 0a（6）分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，二b = bc c c 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，二邑二邑 匹b d bd bd bd 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算结果 以最简形式存在.分式乘除法【例17】F列运算中正确的是（）m- nm =1【例18】4a -b(2)【例19】(3)(4)a2 -42a2-4a 32 _23m na -32a 3a 22-4m n2 29 6x x x 3 x 4x 4x2

9、-164-x 4-x229“、a +5a+4 亠 a +3a4(3 / 2a *a 6 a 6a +8a2a2 -14a 4 a 1f a12 2a -x2 . 2a +x丿a22ax x44x -a2、2a2 _ 2ax x2分式加减法【例20】化简A.【例21】（1）2 2的结果是()y _x y _x_x_yb. y_xc. x_y2 2 22x 1 3xx 5 x x+x 33 x x 3(2)2 2x 2x-6 x 2x -1616-x2(3)1x2 -4x 4x1x2 _4 2x 42 2x +9xx 9(4)二x +3x x +6x+9分式混合运算【例22】化简:【例23】（1）

10、宁丄x -3的结果:x-3 x2 -1x 2 x-1. x_4x2 -2x x2-4x 4 x(2)x-y他X-y 丿I4xyx y(3)2 x -6x2 x -64 -4x x2X 33 x*4x3 2x2(2x2+x12x?x + 1 分式的比较大小11【例24】已知x ： y ： 0 ,试比较x 与y 的大小.yx1 8【例25】已知X -4，比较与 的大小.x4 x -16六、分式的化简求值：化简后直接代入求值【例26】先化简，再求值:1x -12x -x，其中X = 2 .【例27】先化简，再求值:x-2-3，其中 x=、；2 一3 .( x+2 丿 2x+4【例29】当x1时，求代

11、数式产 2x +6_x+13 -1 x-12x - 2x 42x x的值.【例28】先化简：2 22a 9a 3 a a ，然后在0,1,2,3中选一个你认为合适的 a值，代入a 6a 9 a 3a a -1求值.【例30】先化简，再求值：3 匚222班爲:公：？：，其中5“ .条件等式化简求值【例31】已知：1一13，则5X X5y 的值为x yx _ xy _ y2x y【例32】已知：x 一4x+4与y _1 互为相反数，则式子丨一丄A(x + y) y x丿【例33】已知x【例34】已知:x2y2 zi，则xy yz zxx1七的值【例35】当x2 x - 2 = 0时，求代数式【例36】x 1已知，求y 22xx2 -2xy y22 2x -yx y-的值.x y【例37】已知:4a2 b2=4ab ab = 0，求2 2a-b 亠a-ba 3b a 6ab 9b5b的值.七、附加题（选讲）(1)(2)2xx4x21(3)2a -5a 1=0，则a4 a2 1(4)设有理数a,b,c都不为0，且 a b 0，则1 1 1b2+c2-a2 c2 + a2b2 a2+b2c2的值(5)x 99 x 100课后练习【练2】 先化简，再求值:1 一丄V a T 丿 a -a 2 x9、1.x 3x 3 )X2 +3x【练1】先化简，再求值:其中【练3】x? 41 一 一X2