2021年中考人教版数学二轮复习题型5 函数的实际应用

1、题型五函数的实际应用 类型1一次函数的实际应用1.2020石家庄四区联考甲、乙两家商场以同样的价格出售相同的商品,在同一促销期间,两家商场都让利酬宾,让利方式如下:甲商场所有商品都按原价的8.5折出售,乙商场只对一次购物中超过200元的部分按原价的7.5折出售.某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家购物,设该顾客在一次购物中所购商品的原价为x(x0)元,在甲商场购物所花费用为y1元,在乙商场购物所花费用为y2元.(1)分别写出y1,y2关于x的函数解析式.(2)该顾客应如何选择这两家商场购物会更省钱?并说明理由.解:(1)y1关于x的函数解析式为y1=0.85x.当x200时,y2=200+

2、(x-200)0.75=0.75x+50,当0200),x(0x200).(2)当0x200时,0.85x200时,由y1y2,得0.85x0.75x+50,解得x500,故当x500时,到乙商场购物会更省钱;由y1=y2,得0.85x=0.75x+50,解得x=500, 故当x=500时,到两家商场购物花费一样;由y1y2,得0.85x0.75x+50,解得x500,故当200x500 时,到乙商场购物会更省钱;当x=500 时,到两家商场购物花费一样;当x4时,则w=1 800+0.8(450m-1 800)=360m+360.综上,w=450m(04).900名学生需口罩9002=1 8

3、00(只),900名学生需水银体温计9001=900(支),则m=1 800100=18,n=5m=90.184,w=36018+360=6 840.答:需要购买口罩18盒,水银体温计90盒,所需总费用为6 840元.4.2020张家口桥东区一模在同一条笔直的马路上依次有甲、乙、丙三个小区,经公交公司调查发现,三个小区之间的距离及小区平均每天的乘车人数如图所示.公交公司计划在三个小区之间设置一个公交站点,让三个小区的全部乘客到公交站点的路程总和最小.若公交站离甲小区x m(0x1 000),三个小区的全部乘客到公交站点的路程总和为y m.(1)若公交站点设在甲、乙两小区之间(包含甲、乙),求y

4、与x的函数关系式(不写x的取值范围).(2)根据公交公司的调查数据,请你运用数学知识帮助公交公司进行决策,公交站点应设置在什么位置.(3)甲小区二期建成后,每天乘车人数将有所增加,若增加的人数使公交公司决定把公交站点设置在甲、乙两小区之间,请直接写出甲小区平均每天乘车人数至少增加多少人.解:(1)y=20x+70(400-x)+60(1 000-x)=-110x+88 000.(2)当0x400时,y=-110x+88 000.-1100,y随x的增大而减小,当x=400时,y有最小值,最小值为-110400+88 000=44 000.当4000,y随x的增大而增大,此时y的值大于44 00

5、0.综上所述,当x=400时,三个小区的全部乘客到公交站点路程总和最小,即公交站点应设置在乙小区.(3)甲小区平均每天乘车人数至少增加110人.解法提示:设甲小区平均每天乘车人数增加m人.根据题意得,y=(20+m)x+70(400-x)+60(1 000-x)=(m-110)x+88 000.当m=110时,无论x取何值,y的值始终为88 000.当m110时,m-1100,y随x的增大而增大,当x=0时,y取最小值.当m110时,m-1100,y随x的增大而减小,与题意不符.综上所述,甲小区平均每天乘车人数至少增加110人. 类型2 二次函数的实际应用5.2020山东滨州某水果商店销售一种

6、进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?解:(1)当售价为55元/千克时,每月销售量为500-10(55-50)=500-50=450(千克).(2)设每千克水果售价为x元,由题意,得(x-40)500-10(x-50)=8 750,即-10x2+1 400x-40 000=8 750,整理,得x2-140x=-4 875,配方,得(

7、x-70)2=4 900-4 875,解得x1=65,x2=75.当月利润为8 750元时,每千克水果售价为65元或75元.(3)设月利润为y元,每千克水果售价为x元,由题意,得y=(x-40)500-10(x-50),即y=-10x2+1 400x-40 000(40x100),配方,得y=-10(x-70)2+9 000,-100)元时,平均每天可盈利y元.(1)写出y与x的函数关系式.(2)当该专卖店每件童装降价多少元时,平均每天盈利400元?(3)该专卖店想要平均每天盈利600元,可能吗?请说明理由.解:(1)根据题意得,y与x的函数关系式为y=(20+2x)(60-40-x)=-2x

8、2+20x+400.(2)当y=400时,400=-2x2+20x+400, 解得x1=10,x2=0(不合题意,舍去),故当该专卖店每件童装降价10元时,平均每天盈利400元.(3)该专卖店不可能平均每天盈利600元.理由:当y= 600时,600=-2x2+20x+400,整理,得x2-10x+100=0.=(-10)2-41100=-3000,该方程没有实数根,即该专卖店不可能平均每天盈利600元.7.2019广西梧州我市某超市销售一种文具,进价为5元/件,售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天售价统一为x元/件(x

9、6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天售价所在的范围;(3)已知每件文具的利润不超过进价的80%,要想当天获得的利润最大,每件文具的售价应定为多少元?并求出这个最大利润.解:(1)y=(x-5)(100-x-60.55)=-10x2+210x-800,故y与x之间的函数关系式为y=-10x2+210x-800.(2)要使当天销售利润不低于240元,则需y240.令y=240,得-10x2+210x-800=240,解得x1=8,x2=13.-100,抛物线开口向下,又y24

10、0,故当天售价所在的范围为8x13.(3)每件文具的利润不超过进价的80%,x-5580%,解得x9,6x9.由(1)得y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5.抛物线的对称轴为直线x=10.5,且在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,当x=9时,y取最大值,此时y=-10(9-10.5)2+302.5=280.故每件文具的售价定为9元时,当天获得的利润最大,最大利润为280元.8.2020唐山路北区二模某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线形,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的

11、装饰物处汇合.如图所示,以水平线为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a0).将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=

12、0,解得a=-15.故水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0x8). (2)当y=1.8时,-15(x-3)2+5=1.8,解得x1=-1(不合题意,舍去),x2=7,故为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内. (3)当x=0时,y=-15(x-3)2+5=165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15x2+bx+165,该函数图象过点(16,0),0=-15162+16b+165,解得b=3,改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15x2+3x+165.y=-15x2+3x+165=-15

13、(x-152)2+28920,扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米.9.2020湖北黄冈网络销售已经成为一种热门的销售方式.为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2 000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售价x(元/kg)满足关系式:y=-100x+5 000.经销售发现,销售价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4 000 kg时,每千克成本将降低1元.设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).(1)请求出日获利W与销售价x之间的函

14、数关系式.(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?(3)当W40 000元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a4)的相关费用,若此时日获利的最大值为42 100元,求a的值.解:(1)当y4 000,即-100x+5 0004 000时,x10,当6x10时,W=(x-6+1)(-100x+5 000)-2 000=-100x2+5 500x-27 000.当10x30时,W=(x-6)(-100x+5 000)-2 000=-100x2+5 600x-32 000,W=-100x2+5500x-27000(6x10),-100x2+5600x-32000(

15、10x30).(2)当6x10时,W=-100x2+5 500x-27 000,对称轴为直线x=-55002(-100)=552,当x=10时,W最大=54 000-2 000=18 000(元).当1018 000,当销售单价定为28元时,销售这种板栗日获利最大,且最大利润为46 400元.(3)40 00018 000,10x30,则W=-100x2+5 600x-32 000.令W=40 000,则-100x2+5 600x-32 000=40 000,解得x1=20,x2=36(舍去).当W40 000时,20x30.设在网络平台收取相关费用后,日获利为W(元),则W=(x-6-a)(

16、-100x+5 000)-2 000=-100x2+(5 600+100a)x-32 000-5 000a.对称轴为直线x=-5600+100a2(-100)=28+12a.a4,28+12a30,当x=28+12a时,W最大=42 100元,(28+12a-6-a)-100(28+12a)+5 000-2 000=42 100,整理,得a2-88a+172=0,解得a1=2,a2=86.又a2.24,当x=18时,y=-150(18-7)2+2.88=0.460,故这次发球能过网,但会出界.(2)如图,过点P作底线的平行线,过点O作边线的平行线,两平行线交于点Q.在RtOPQ中,OQ=18-

17、1=17,当y=0时,-150(x-7)2+2.88=0,解得x1=19,x2=-5(舍去),OP=19.又OQ=17,PQ=192-172=628.4.9-8.4-0.5=0.1,发球点O在底线上且距右边线0.1米处.11.2020贵州贵阳2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中915表示9x15)时间x/分钟0123456789915人数y/人0170320450560650720770800810810(1)根据这15分钟

18、内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式.(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人.全部考生都完成体温检测需要多少时间?(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?解:(1)根据表中数据的变化趋势可知, 当0x9时,y是关于x的二次函数.当x=0时,y=0,二次函数的关系式可设为y=ax2+bx.当x=1时,y=170;当x=3时,y=450.将它们分别代入关系式,得170=a+b,450=9a+3b,解得

19、a=-10,b=180,二次函数的关系式为y=-10x2+180x.将表格内的其他各组对应值代入此关系式,均满足.当9x15时,y=810.y与x之间的函数关系式为y=-10x2+180x(0x9),810(9x15).(2)设第x分钟时的排队人数是W,当0x9时,W=y-40x=-10x2+140x=-10(x-7)2+490,当x=7时,W有最大值,最大值为490.当9x15时,W=y-40x=810-40x,-400,W随x的增大而减小,210W450,故排队人数最多时有490人.要全部考生都完成体温检测,即排队人数为0,W=810-40x=0,解得x=20.25,综上所述,排队人数最多

20、时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.(3)设从一开始就应该增加m个检测点,根据题意,得1220(m+2)810,解得m118.m是整数,一开始就应该至少增加2个检测点.12.2020浙江台州用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图(1).科学原理:如图(2),始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位:cm),如果在与水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位:cm)关于h的关系式为s2=4h(H-h).应用思考:现用高度为20 cm的圆柱体塑料水瓶作相关研究,水瓶直立地面,通过连续注水保证

21、它始终盛满水,在与水面竖直距离h cm处开一个小孔.(1)写出s2与h的关系式,并求出当h为何值时,射程s有最大值,最大射程是多少.(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔与水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同,求a,b之间的关系式.(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16 cm,求垫高的高度及取最大射程时小孔与水面的竖直距离.图(1)图(2)解:(1)s2=4h(H-h),当H=20时,s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400,当h=10时,s2最大,最大值为400,即s的最大值为20.故当h=10时,射程s有最大值,最大射程是20 cm.(2)根据题意得

22、4a(20-a)=4b(20-b),20a-a2=20b-b2,a2-b2=20a-20b,(a+b)(a-b)=20(a-b),(a-b)(a+b-20)=0,a-b=0或a+b-20=0,a=b或a+b=20.(3)设垫高的高度为m,则s2=4h(20+m-h)=-4(h-20+m2)2+(20+m)2,当h=20+m2时,smax=20+m=20+16,m=16,此时h=20+m2=18.故垫高的高度为16 cm,取最大射程时小孔与水面的竖直距离为18 cm. 类型3两种函数相结合的实际应用13.2020四川成都在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的

23、利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12x24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:x/(元/件)1213141516y/件1 2001 1001 000900800(1)求y与x的函数关系式.(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(12,1 200),(16,800)分别代入,得12k+b=1200,16k+b=8

24、00, 解得k=-100,b=2400,故y与x的函数关系式为y=-100x+2 400.(2)设商家线上和线下的月利润总和为w元,则w=400(x-2-10)+y(x-10)=-100x2+3 800x-28 800=-100(x-19)2+7 300,-1000,当线下售价定为19元/件时,月利润总和达到最大,最大利润是7 300元.14.2020四川南充某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备,设备的生产成本为10万元/件.(1)如图,设第x(0x20)个生产周期设备售价z万元/件,z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围).(2)设第x个生产周期

25、生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0x20).在(1)的条件下,工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入-成本)解:(1)由题图可知当0x12时,z=16.当12x20时,z是x的一次函数,设z=kx+b,则12k+b=16,20k+b=14,解得k=-14,b=19,即z=-14x+19,z关于x的函数解析式为z=16(0x12),-14x+19(12x20).(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元.当00,当x=12时,W取最大值,W最大值=3012+240=600.当12x20时,W=(-14x+19-10)(5x+40)=-54x2+3

26、5x+360=-54(x-14)2+605,-540,1214600,工厂第14个生产周期创造的利润最大,最大为605万元.15.2020江苏无锡有一块矩形地块ABCD,AB=20米,BC=30米.为美观,拟种植不同的花卉,如图所示,将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为x米.现决定在等腰梯形AEHD、BCGF中种植甲种花卉;在等腰梯形ABFE、CDHG中种植乙种花卉;在矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2,设三种花卉的种植总成本为y元.(1)当x=5时,求y的值;(2)求y关于x的函数表达式,并写出

27、自变量x的取值范围;(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2,求三种花卉的最低种植总成本.解:(1)当x=5时,EF=20-2x=10(米),EH=30-2x=20(米),故y=212(EH+AD)x20+212(EF+AB)x60+EFEH40=(20+30)520+(10+20)560+102040=22 000.(2)EF=20-2x0,EH=30-2x0,故x10.由题意,结合(1)得y=(30+30-2x)x20+(20+20-2x)x60+(30-2x)(20-2x)40,即y=-400x+24 000(0x10).(3)S甲=212(EH+AD)x=(30-2x+30

28、)x=-2x2+60x,S乙=212(EF+AB)x=(20-2x+20)x=-2x2+40x.甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2,-2x2+60x-(-2x2+40x)120,解得x6,故00)生产甲、乙两种产品,其中投入乙种产品的资金为x(万元)(其中0xm),全年所获总利润W(万元)为y1与y2之和.n2y11y20.1(1)分别求出y1,y2关于n的函数解析式.(2)求W关于x的函数解析式(用含m的式子表示).(3)当m=50时,公司市场部预判公司全年总利润W的最大值与最小值恰好相差40万元,请你通过计算说明该预判是否正确.公司从全年总利润W中扣除投入乙种产品的资金的k倍(0

29、0,抛物线开口向上.若要满足全年剩余利润随x的增大而减小,则5020k+10,解得k2.又k3,2k3.17.2020迁安二模某专卖店开始销售一款5G产品,若该产品第x个月(x为正整数)的销售价格为y元/台,y与x满足如图所示的一次函数关系,且第x个月的销售数量p(台)与x之间的函数关系式为p=x+1.(1)该产品第6个月每台的销售价格为4 500元.(2)该产品第几个月的销售额最大?该月此产品每台的销售价格是多少?(3)若要使该产品的月销售额不低于27 500元,则预计符合销售要求的是哪几个月?解:(1)4 500(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(2,6 500),(4,5

30、500)分别代入,得2k+b=6500,4k+b=5500,解得k=-500,b=7500.故y=-500x+7 500.设该产品月销售额为w元,根据题意,得w=py=(x+1)(-500x+7 500)=-500x2+7 000x+7 500=-500(x-7)2+32 000,当x=7时,w最大,该月此产品每台的销售价格是-5007+7 500=4 000(元).答:该产品第7个月的销售额最大,该月此产品每台的销售价格是4 000元.(3)根据题意,得-500(x-7)2+32 000=27 500,解得x1=4,x2=10,-5000,预计符合销售要求的是第4,5,6,7,8,9,10个

31、月.18.2020唐山路南区二模某大学生利用暑假40天参与了一家网店的经营,了解到一种产品的成本为20元/件,第x天的销售量为p件,销售单价为q元,前20天(包括第20天),q与x之间满足关系式q=30+ax;从第21天到第40天中,q是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与x成反比.得到了下表中的数据.x102135q354535(1)请求出a的值.(2)从第21天到第40天中,求q与x之间满足的关系式.(3)若该网店第x天获得的利润为y元,并且已知这40天里前20天中y与x之间的函数关系式为y=-12(x-50)(x+20).经跟踪调查发现,这40天中p与x之间的关系保持不变,求

32、这40天中p与x之间的关系式;求这40天里该网店第几天获得的利润最大.解:(1)将(10,35)代入q=30+ax,得35=30+10a,解得a=12.(2)根据题意,设从第21天到第40天中,q与x之间满足的关系式为q=b+kx.将(21,45)和(35,35)分别代入q=b+kx,得b+k21=45,b+k35=35,解得k=525,b=20,q与x之间满足的关系式为q=20+525x.(3)前20天(包括第20天)中,y=-12(x-50)(x+20)=p(q-20),-12(x-50)(x+20)=p(30+12x-20),(x-50)(x+20)=p(-x-20),p=50-x.这4

33、0天中p与x之间的关系保持不变,p=50-x.当1x20时,y=-12(x-50)(x+20)=-12x2+15x+500=-12(x-15)2+612.5.-120,y随x的增大而减小,当x=21时,y取最大值,为725.因此,从第21天到第40天中,第21天利润最大,为725元.综上所述,这40天里,第21天该网店获得的利润最大.19.2018河北,26轮滑场地的截面示意图如图所示,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y=kx(x1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:点

34、M,点A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时,h=5;点M,点A的水平距离是vt米.(1)求k,并用t表示h.(2)设v=5,用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围)及当y=13时,运动员与正下方滑道的竖直距离.(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒,当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的取值范围.解:(1)由题意得A(1,18),代入y=kx,得k=18.设h=at2,将(1,5)代入,得a=5,即h=5t2.(2)易得x=1+5t,y=18-5t2,t=15(

35、x-1),代入y=18-5t2,得y=18-15(x-1)2=-15x2+25x+895,令y=13,即18-15(x-1)2=13,解得x1=6,x2=-4(不合题意,舍去),x=6.对于y=18x,令x=6,得y=3,故当y=13时,运动员与正下方滑道的竖直距离为13-3=10(米).(3)t=1.8,v乙7.5.解法提示:易得运动员甲的横坐标为1+5t,纵坐标为18-5t2,令18-5t2=1.8,解得t=1.8(负值已舍去),此时1+5t=10.由题意得1+1.8v乙10+4.5,解得v乙7.5.20.金山银山不如绿水青山,保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某公司用320万元购得某种环保产品的生产技术后,进一步投入1 380万元资金购买配套的生产设备,已知生产这种产品每件需成本费40元.经过市场调研发现:该产品的销售单价定在80元到320元之间较为合理,且年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.假设当年生产的环保产品当年均能售完.(1)求y与x