2021年中考人教版数学二轮复习题型6 三角形

1、题型六三角形、四边形综合探究题 类型1动点问题1.2020四川乐山点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A,C重合),分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F.点O为AC的中点.(1)如图(1),当点P与点O重合时,线段OE和OF的数量关系是OE=OF.(2)当点P运动到如图(2)所示的位置时,请补全图形,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.(3)如图(3),点P在线段OA的延长线上运动,当OEF=30时,试探究线段CF,AE,OE之间的数量关系.解:(1)OE=OF解法提示:点O为AC的中点,AO=CO,又AEO=CFO=90,AOE=COF,

2、AEOCFO,OE=OF.(2)补全图形如图(1)所示.图(1)(1)中的结论仍然成立.理由:如图(1),延长EO交CF于点G.AEBP,CFBP,AECF,EAO=GCO.点O为AC的中点,AO=CO.又AOE=COG,AOECOG,OE=OG.又GFE=90,OE=OF.(3)如图(2),延长EO交FC的延长线于点H.图(2)易证AOECOH,AE=CH,OE=OH.又OEF=30,HFE=90,HF=12EH=OE,OE=CF+CH=CF+AE.2.2020山东临沂如图, 菱形ABCD的边长为1,ABC=60,点E是边AB上任意一点(端点除外),线段CE的垂直平分线分别交BD,CE于点F

3、,G,AE,EF的中点分别为M,N.(1)求证:AF=EF.(2)求MN+NG的最小值.(3)当点E在AB上运动时,CEF的大小是否变化?为什么?(1)证明:如图(1),连接AC,FC.图(1)四边形ABCD是菱形,AC与BD互相垂直且平分,AF=CF.又直线FG为CE的垂直平分线,EF=CF,AF=EF.(2)点M,N分别为AE,EF的中点,MN是AFE的中位线,MN=12AF.又NG是RtFGE斜边上的中线,NG=12EF.由(1)知AF=EF,MN+NG=AF,即AF的最小值为MN+NG的最小值,易知AF的最小值是菱形对角线AC的一半.ABC=60,AB=CB,AC=AB=1,AFmin

4、=12AC=12,故MN+NG的最小值为12.(3)不变化.如图(2),连接AC,MG,分别交BD于点O,H,连接FM.图(2)易知点G是CE的中点,又点M是AE的中点,MGAC.ACBD,MHF=90.AF=FE,点M为AE的中点,FMB=90.在RtFMB中,FBM=30,MFB=60,FMH=30.FME=90,FGE=90,F,M,E,G四点共圆,FEG=FMG=30.故CEF的大小不会变化.3.2020山东青岛如图,在四边形ABCD和RtEBF中,ABCD,CDAB,点C在EB上,ABC=EBF=90,AB=BE=8 cm,BC=BF=6 cm,延长DC交EF于点M.点P从点A出发,

5、沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度为1 cm/s.过点P作GHAB交AB于点H,交CD于点G.设运动时间为t s(0t5).解答下列问题:(1)当t为何值时,点M在线段CQ的垂直平分线上?(2)连接PQ,作QNAF于点N,当四边形PQNH为矩形时,求t的值.(3)连接QC,QH,设四边形QCGH的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式.(4)点P在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点P在AFE的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当点M在线段CQ的垂直平分线上时,易知MC=MQ=t.CMAF,ECMEBF,ECEB

6、=CMBF,8-68=CM6,CM=32,t=32.(2)当四边形PQNH为矩形时,AP=2t,MQ=t,PH=QN.易知AC=10,EF=10.PHCBQN,APHACB,FQNFEB,APAC=PHBC,FQFE=QNEB,则2t10=PH6,FQ10=QN8,PH=65t.在RtEMC中,ECM=90,由勾股定理可得EM=EC2+CM2=22+(32)2=52,FQ=FE-EM-MQ=10-52-t=152-t,FQ10=152-t10=QN8,QN=45(152-t).PH=QN,65t=45(152-t),解得t=3.故当四边形PQNH为矩形时,t的值为3.(3)过点Q作QNAF于点

7、N.由题易知S=S矩形BCGH+S梯形QNBC-SQHN,由(2)知PH=65t,易知AH=85t,BH=AB-AH=8-85t,S矩形BCGH=6(8-85t)=48-485t.由(2)知FQ=152-t,QN=45(152-t),易知NF=35(152-t),BN=BF-NF=6-35(152-t)=32+35t,S梯形QNBC=(QN+BC)BN2=45(152-t)+6(32+35t)2=-625t2+3t+9.QN=45(152-t),NH=BH+BN=8-85t+32+35t=192-t,SQNH=12QNNH=45(152-t)(192-t)2=25t2-345t+572,S=S

8、矩形BCGH+S梯形QNBC-SQHN=48-485t+(-625t2+3t+9)-(25t2-345t+572)=-1625t2+15t+572.(4)存在.当点P在AFE的平分线上时,延长PC交EM于点I,则PH=65t,PC=10-2t.AB=EB,ABC=EBF=90,BC=BF,ABCEBF,E=BAC.ACB+BAC=90,ECI=ACB,ECI+E=90,EIC=90.sinBEF=CIEC=BFEF=610,CI2=610,CI=65,PI=PC+CI=10-2t+65=565-2t.根据角平分线的性质,可得PH=PI,65t=565-2t,解得t=72.4.2020河北,26

9、如图(1)和图(2),在ABC中,AB=AC,BC=8,tan C=34.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MBN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持APQ=B.(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;(2)若点P在MB上,且PQ将ABC的面积分成上下45两部分,求MP的长;(3)设点P移动的路程为x,当0x3及3x9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角APQ扫描APQ区域(含边界),扫描器随点P从点M到点B再到点N共用时36秒,若AK=94,请直接写出点K

10、被扫描到的总时长.图(1) 图(2)解:(1)分析可知,当APBC时,点P与点A的距离最短,最短距离为AP的长.AB=AC,APBC,PB=PC=12BC=4.在RtAPC中,tan C=APPC=34,AP=434=3,即点P与点A的最短距离是3.(2)APQ=B,A=A,APQABC.又SAPQSABC=44+5=49,APAB=23.由(1)知AB=42+32=5,AP=523=103,MP=AP-AM=103-2=43.(3)当0x3时,点P在BM上,如图(1),过点P作PDCA交CA的延长线于点D.图(1)易知AP=2+x.APQ=B,PQBC,sinPQD=sinC=35.由(2)

11、知APQABC,APAB=PQBC,即PQ=APBCAB=8(2+x)5,PD=PQsinPQD=8(2+x)535=2425x+4825.当3x9时,点P在BN上,如图(2),过点P作PEAC,交直线AC于点E.图(2)BP=x-3,PC=8-BP=11-x,PE=PCsinC=(11-x)35=-35x+335.综上所述,当0x3时,点P到直线AC的距离为2425x+4825;当3x9时,点P到直线AC的距离为-35x+335. (4)点K被扫描到的总时长为23秒.解法提示:设点P移动的时间为t秒,每秒移动的路程为v,则v=3+636=14.当点P在BM上,且点Q与点K重合时,AP=AK=

12、94,MP=AP-AM=94-2=14,此时t=1.当点P在BN上,且点Q与点K重合时,APQ+QPC=APC=BAP+B,B=APQ,BAP=QPC.AB=AC,B=C,ABPPCQ,QCPB=CPBA.BP=t4-3,CP=8-(t4-3)=11-t4,QC=CK=5-94=114,114t4-3=11-t45,t=22或34.易知当1t22或34t36时,AQAK,点K会被扫描到.22-1=21(秒),36-34=2(秒),故点K被扫描到的总时长为21+2=23(秒). 类型2旋转问题5.如图,在RtABC中,C=90,AC=BC,P是BC上一点(不与点B,C重合),连接AP,将AP绕点

13、A逆时针旋转90得到AQ,连接BQ,分别交AC,AP于点D,E,作QFAC于点F.(1)求证:AC=QF;(2)若点P是BC的中点,求tanADQ的值;(3)若AEQ的内心在QF上, BC=3,直接写出BP的长.(1)证明:由旋转可知AQ=AP,PAQ=90,PAC+QAC=90.C=90,PAC+APC=90,APC=QAC.又C=AFQ=90,APCQAF,AC=QF.(2)点P是BC的中点,AF=CP=12BC,又AC=BC,CF=12BC.AC=BC,AC=QF,BC=QF.又C=DFQ=90,BDC=FDQ,BCDQFD,CD=FD=14BC,tanADQ=tanBDC=BCCD=B

14、C14BC=4.(3)BP=2.解法提示:当AEQ的内心在QF上时,QF平分AQD.易证BCDQFAQFD,CD=FA=FD,CP=AF=13AC=13BC=1,BP=BC-CP=2.6.2020山东潍坊如图(1),在ABC中,A=90,AB=AC=2+1,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE=1,连接DE.现将ADE绕点A顺时针旋转,旋转角为(0360),如图(2),连接CE,BD,CD.(1)当0180时,求证:CE=BD;(2)如图(3),当=90时,延长CE交BD于点F,求证:CF垂直平分BD;(3)在旋转过程中,求BCD的面积的最大值,并写出此时旋转角的度数.图(1) 图(2)

15、图(3)(1)证明:CAE与BAD为旋转角,CAE=BAD.在ACE和ABD中,AC=AB,CAE=BAD,AE=AD,ACEABD(SAS),CE=BD.(2)证明:同(1)可证ACEABD(SAS),ACE=ABD.ACE+AEC=90,且AEC=FEB,ABD+FEB=90,EFB=90,CFBD.AB=AC=2+1,AD=AE=1,CAB=EAD=90,BC=2AB =2+2,CD= AC+ AD=2+2,BC=CD.又CFBD,CF垂直平分BD.(3)在BCD中,边BC的长是定值,则BC边上的高取最大值时,BCD的面积有最大值,当点D在线段BC的垂直平分线上,且在ABC外部时,BCD

16、的面积取得最大值,如图.延长DA交BC于点G,则DGBC,AG=12BC=2+22,GAB=45,DG=AG+AD=2+22+1=2+42,DAB=180-45=135,BCD的面积的最大值为12BCDG=12(2+2)(2+42)=32+52,旋转角=135.7.2020河南将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB,记旋转角为,连接BB,过点D作DE垂直于直线BB,垂足为点E,连接DB,CE.(1)如图(1),当=60时,DEB的形状为等腰直角三角形,连接BD,可求出BBCE的值为2.(2)当0360且90时,(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图(2)的情形进行证明;如果

17、不成立,请说明理由.当以点B,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出BEBE的值.图(1)图(2)(1)等腰直角三角形2解法提示:由旋转和正方形的性质,得AB=AB=AD,又BAB=60,ABB是等边三角形,ABB=60.DAB=30,AB=AD,ABD=180-302=75,DBE=180-75-60=45.又DEBE,DEB是等腰直角三角形.易知DEDB=DCDB=22,BDB=CDE,BDBEDC,BBCE=DBDC=2.(2)两个结论仍成立.证明:连接BD.AB=AB,BAB=,ABB=90-2.BAD=-90,AD=AB,ABD=135-2,EBD=ABD-ABB=45.

18、又DEBB,EDB=45,DEB是等腰直角三角形,DBDE=2.四边形ABCD为正方形,BDCD=2,BDC=45,BDCD=DBDE.EDB=BDC,EDB+EDB=BDC+EDB,即BDB=EDC,BDBEDC,BBCE=BDCD=2.图(1)3或1.解法提示:如图(1),当点B在正方形ABCD内部时,四边形BCED为平行四边形,DB=CE.DBE是等腰直角三角形,设DE=BE=a,CE=DB=2a.图(2)BBCE=2,BB=2CE=2a,BE=BB+BE=3a,BEBE=3aa=3.如图(2),当点B在正方形ABCD外部时,点E与点A重合,此时BE=BA=BA=BE,BEBE=1.综上

19、所述,BEBE的值为3或1.8.2020重庆B卷ABC为等边三角形,AB=8,ADBC于点D,E为线段AD上一点,AE=23.以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF,连接CE,N为CE的中点.(1)如图(1),EF与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长.(2)如图(2),将AEF绕点A逆时针旋转,旋转角为,M为线段EF的中点,连接DN,MN.当30120时,猜想DNM的大小是否为定值,并仅就图(2)证明你的结论.(3)连接BN,在AEF绕点A逆时针旋转过程中,当线段BN最长时,请直接写出ADN的面积.(1)ABC为等边三角形,ADBC于点D,DAC=30.又AEF=60,CGE=90,

20、即CGE是直角三角形.N是CE的中点,NG=12CE.等边三角形ABC的边长为8,ADBC,CD=4,AD=43,DE=AD-AE=23,CE=CD2+DE2=42+(23)2=27,NG=7.(2)DNM的大小为定值.证明:如图(1),连接CF,BE,BE交AC于点H,设DN交AC于点R.图(1)D,N,M分别为BC,CE,EF的中点,BEDN,MNCF,DRC=BHC,ENM=ECF.AB=AC,BAE=60+CAE=CAF,AE=AF,ABEACF,ABE=ACF.又BHC=ABE+BAH=ABE+60,DRC=ABE+60=ACF+60.又DRC=DNC+RCN=DNC+ACF-ECF

21、,DNC=60+ECF=60+ENM,DNE=180-DNC=120-ENM,DNM=DNE+ENM=120,即DNM的大小为定值.(3)ADN的面积为73.解法提示:取AC的中点P,连接PN,则PN=12AE=1223=3,图(2)点N在以点P为圆心,3为半径的圆上运动,当点N在BP的延长线上时,BN最长,如图(2).易得BP=43,BN=BP+PN=43+3=53.设BP与AD交于点O,过点N作NQAD于点Q.BP为等边三角形的中线,CBP=30,BO=BDcos30=833,ON=BN-BO=733.NQAD,ADBC,NQBD,ONQ=OBD=30,NQ=ONcos 30=72,AND

22、的面积为12ADNQ=124372=73. 类型3轴对称问题9.2020安徽中考改编在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将PCQ,ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究:(1)求PAQ的度数;(2)当四边形APCD是平行四边形时,求ABQR的值.解:(1)如图,由折叠的性质可知1=2,3=4,5=C,6=D,AQP=2+3=12(DQR+CQR)=90,C+D=180,B=90,ADBC,BAD=90,BAP=PAQ=DAQ,PAQ=30.(2)由折叠的性质可知QR

23、=CQ=DQ=12CD.四边形APCD是平行四边形,AP=CD,QR=12AP.PAB=13BAD=30,cosBAP=ABAP=32,AB2QR=32,ABQR=3.10.2020浙江金华如图(1),在ABC中,AB=42,B=45,C=60.(1)求BC边上的高线长.(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,将AEF沿着直线EF折叠得到PEF.如图(2),当点P落在边BC上时,求AEP的度数.如图(3),连接AP,当PFAC时,求AP的长.图(1)图(2)图(3)解:(1)过点A作ADBC于点D.在RtABD中,AD=ABsin 45=4222=4. (2)由折叠的性质可知AE

24、FPEF,AE=EP.又AE=BE,BE=EP,EPB=B=45,AEP=B+EPB=90.由(1)可知,在RtADC中,AC=ADsin60=833. PFAC,PFA=90.由折叠的性质可知AEFPEF,AFE=PFE=45,则AFE=B.又EAF=CAB,EAFCAB, AFAB=AEAC,即AF42=22833,AF=23.在RtAFP中,AF=PF,则AP=2AF=26. 11.2020石家庄一模如图(1),在ABCD中,ABBC.把ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,使点B落在点E处,连接CE交AD于点F,连接DE.(1)求证:ADECED.(2)求证:DEF为等腰三角形.(3)将

25、图(1)中的AEC沿射线CA平移得到AEC,连接BA,如图(2)所示.若AB=AC=2,BC=23,当BA=BC时,请直接写出AEC平移的距离.图(1)图(2)(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,BC=AD.由折叠的性质可知,AB=AE,BC=EC,AE=CD,AD=EC.又DE=DE,ADECED.(2)证明:ADECED,EDF=DEF,EF=DF,即EDF为等腰三角形.(3)AEC平移的距离为4.解法提示:AB=AC,ABC=ACB.BA=BC,BAC=ACB,ABCBAC,BCAC=ACBC,即23AC=223,AC=6,AA=AC-AC=4,故AEC平移的距离为4.1

26、2.2020四川成都在矩形ABCD的CD边上取一点E,将BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处.(1)如图(1),若BC=2BA,求CBE的度数;(2)如图(2),当AB=5,且AFFD=10时,求BC的长;(3)如图(3),延长EF,与ABF的平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,求ABBC的值.图(1) 图(2) 图(3)解:(1)由折叠的性质得BC=BF,EBF=EBC.BC=2BA,BF=BC=2BA,sinAFB=ABBF=12,AFB=30.四边形ABCD是矩形,ADBC,CBF=AFB=30,CBE=12CBF=15.(2)由题意可知BFE=C=90.A

27、FB+DFE=90=DEF+DFE,AFB=DEF.又BAF=FDE=90,ABFDFE,ABDF=AFDE,ABDE=AFDF,即5DE=10,DE=2,EF=CE=5-2=3.在RtDEF中,DF=EF2-DE2=32-22=5,AF=105=25,BC=AD=AF+DF=35.(3)如图,过点N作NGBF于点G.NF=AN+FD,FN=12AD=12BC=12BF.BM平分ABF,BAN=BGN=90,AN=GN.BAF=NGF=90,AFB=GFN,ABFGNF,NGAB=NFBF=12,即AB=2NG=2AN.设AN=a,则AB=2a.设BC=BF=2b,则NF=b,AF=a+b.在

28、RtABF中,由AB2+AF2=BF2,得4a2+(a+b)2=4b2,整理,得5a2+2ab-3b2=0,解得a=35b或a=-b(舍去),ABBC=2a2b=ab=35.13.如图(1),已知等边三角形ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(不与点A,B重合).直线l是经过点P的一条直线,把ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B.(1)如图(2),当PB=4时,若点B恰好在AC边上,则AB的长度为4.(2)如图(3),当PB=5时,若直线lAC,则BB的长度为53.(3)如图(4),在点P在AB边上运动的过程中,若直线l始终垂直于AC,ACB的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变,求

29、出面积.(4)当PB=6时,在直线l变化的过程中,求ACB的面积的最大值.图(2) 图(3) 图(4) 备用图解:(1)4解法提示:由折叠可知PB=PB=4.AP=AB-BP=4,AP=PB.ABC为等边三角形,A=60,APB是等边三角形,AB=AP=4.(2)53解法提示:设l交BB于点E,则BEP=90.lAC,BPE=A=60.PB=5,BB=2BE=2PBsinBPE=53.(3)不变.连接BB,过点B作BFAC,垂足为点F,过B作BEAC,垂足为点E.点B与点B关于直线l对称,BB直线l.又直线lAC,BBAC,BE=BF=BCsinACB=43,SACB=12ACBE=12843

30、=163.(4)由题意得,点B在以点P为圆心、PB的长为半径的圆上.过点P作AC的垂线,交AC于点M,交P于点N,N,当点B与点N重合时,如图,BM最长,即ACB的面积最大.AP=AB-PB=2,PMAC,BAC=60,PM=3,BM=NM=NP+PM=6+3,此时SACB=12BMAC=12(6+3)8=24+43,SACB的最大值为24+43. 类型4实践探究问题14.2020甘肃天水性质探究如图(1),在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为31.理解运用(1)若顶角为120的等腰三角形的周长为4+23,则它的面积为3.(2)如图(2),在四边形EFGH中,E

31、F=EG=EH,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=20,求线段MN的长.类比拓展顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sin 1.(用含的式子表示)图(1)图(2)解:性质探究31解法提示:如图(1),过点C作CDAB于点D.图(1)又CA=CB,ACB=120,A=B=30,AD=BD,AB=2AD=2ACcos 30=3AC,ABAC=31.理解运用(1)3解法提示:在ABC中,AC=BC,ACB=120,设CA=CB=m,则AB=3m,由题意得2m+3m=4+23,m=2,AC=CB=2,AB=23,SABC=12ABACsin 30=3.(2)

32、连接FH.EF=EG=EH,点F,G,H在以点E为圆心、EF为半径的圆上,如图(2),在优弧FH上取点P(异于点F,H),连接PF,PH,则FPH=180-FGH=60,FEH=2FPH=120.由性质探究可得FH=3EF=203.点M,N分别是FG,HG的中点,MN=12FH=103.图(2)类比拓展2sin 1解法提示:如图(3),在ABC中,ACB=2,AC=BC.过点C作CDAB于点D,则AD=BD,ACD=BCD=,AB=2AD=2ACsin ,ABAC=2sin 1.图(3)15.2020浙江嘉兴在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起,使点A与

33、点F重合,点C与点D重合,如图(1),其中ACB=DFE=90,BC=EF=3 cm,AC=DF=4 cm,并进行如下研究活动.活动一:将图(1)中的三角形纸片DEF沿AC向下平移,连接AE,BD,如图(2),当点F与点C重合时停止平移.【思考】图(2)中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由.【发现】当三角形纸片DEF平移到某一位置时,小兵发现四边形ABDE为矩形,如图(3).求AF的长.活动二:在图(3)中取AD的中点O,再将纸片DEF绕点O顺时针旋转(090),连接OB,OE,如图(4).【探究】当EF平分AEO时,探究OF与BD的数量关系,并说明理由.解:【思考】四边形ABDE是平

34、行四边形.理由:ABCDEF,AB=DE,BAC=EDF,ABDE,四边形ABDE是平行四边形.【发现】连接BE交AD于点O,四边形ABDE为矩形,OA=OD=OB=OE.设AF=x cm,则OA=OE=12(x+4)cm,OF=OA-AF=12(x+4)-x=(2-12x)(cm).在RtOFE中,OF2+EF2=OE2,(2-12x)2+32=14(x+4)2,解得x=94,即AF=94 cm.【探究】BD=2OF.理由:如图,延长OF交AE于点H.易知OA=OB=OE=OD,OAB=OBA=ODE=OED,OBD=ODB,OAE=OEA,ABD=BDE,DEA=EAB,又ABD+BDE+

35、DEA+EAB=360,ABD+BAE=180,AEBD,OHE=ODB.EF平分OEH,OEF=HEF.又EFO=EFH=90,EF=EF,EFOEFH,EH=EO=OB=OD,FO=FH,EOF=EHF=ODB=OBD,EOHOBD,BD=OH=2OF.16.2020广东深圳背景:一次小组合作探究课上,小明将正方形ABCD和正方形AEFG按图(1)所示的位置摆放(点E,A,D在同一条直线上),连接BE,DG,发现BE=DG且BEDG.小组讨论后,他们提出了下列三个问题,请你帮助解答.(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转,如图(2)所示,还能得到BE=DG吗?若能,请给出证明;若不能

36、,请说明理由.(2)把背景中的正方形ABCD和正方形AEFG分别改成菱形ABCD和菱形AEFG,将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转,如图(3)所示.当EAG与BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由.(3)把背景中的正方形ABCD和正方形AEFG分别改成矩形ABCD和矩形AEFG,且AEAG=ABAD=23,AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,如图(4)所示,连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中,DE2+BG2的值是定值,请求出这个定值. 图(1) 图(2) 图(3) 图(4)(1)能.证明:四边形AEFG为正方形,AE=AG,EAG=9

37、0.又四边形ABCD为正方形,AB=AD,BAD=90,EAG-BAG=BAD-BAG,EAB=GAD,AEBAGD(SAS),BE=DG.(2)当EAG=BAD时,BE=DG.理由如下:四边形AEFG和四边形ABCD为菱形,AE=AG,AB=AD.若BE=DG,则AEBAGD(SSS),此时EAB=GAD,EAG=BAD.当EAG=BAD时,BE=DG.(3)解法一:如图(1),过点E作EMDA,交DA的延长线于点M,过点G作GNAB于点N.AE=4,AB=8,AEAG=ABAD=23,AG=6,AD=12.EMA=ANG=90,且易证MAE=GAN,AMEANG,AMAN=EMGN=AEA

38、G=23.设EM=2a,AM=2b,则GN=3a,AN=3b,则MD=2b+12,BN=8-3b.在RtEMD中,DE2=EM2+MD2=(2a)2+(12+2b)2=4a2+144+48b+4b2.在RtGNB中,BG2=GN2+NB2=(3a)2+(8-3b)2=9a2+64-48b+9b2.在RtAME中,AE2=EM2+AM2=4a2+4b2=16,a2+b2=4,DE2+BG2=13(a2+b2)+208=134+208=260.图(1) 图(2)解法二:如图(2),连接EG,BD,设DG与EB交于点Q,EB与AG交于点P.四边形AEFG和四边形ABCD为矩形,EAG=BAD,EAB=GAD.又EAAG=ABAD,EABGAD,BEA=AGD,GQP=PAE=90,GDEB.AE=4,AB=8,AEAG=ABAD=23,AG=6,AD=12.DE2+BG2=EQ2+QD2+GQ2+QB2=(EQ2+GQ2)+(QD2+QB2)=EG2+BD2=42+62+82+122=260.17.2020张家口桥东区一模在矩形ABCD中,AD=4,AB=8,点O是AB边上一点,AO=5.点E从点A出发,以每秒1