【考研数学】中值定理总结(最新整理)

1、中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。1、所证式仅与相关观察法与凑方法3例 1 设f (x)在0,1上二阶可导，f (0) =f (1) =f (0) = 0试证至少存在一点z (a, b)使得f (z) = 2 f (z)1 - z分析：把要证的式子中的z 换成 x，整理得f (x) - xf (x) - 2 f (x) = 0l(1)由这个式可知要构造的函数中必含有f (x)，从xf (x) 找突破口因为xf (x) = xf (x) + f (x)，那么把(1)式变一下：f (x) - f

2、(x) -xf (x) + f (x) = 0 f (x) - f (x) -xf (x) = 0这时要构造的函数就看出来了f (x) = (1 - x) f (x) - f (x)原函数法例2 设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f(a) = f(b) = 0，又g(x)在a,b上连续 求证：$z (a,b)使得f(z) = g(z)f(z)分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法现在把与f 有关的放一边，与g有关的放另一边，同样把 z 换成 xf(x) =f(x)g(x)两边积分lnf(x) =g(x)dx + lnc f(x) = ceg(x)dx f(

3、x)e-g(x)dx = c 现在设c = 0，于是要构造的函数就很明显了f(x) = f(x)e-g(x)dx一阶线性齐次方程解法的变形法对于所证式为f + pf = 0型，（其中p为常数或x 的函数）可引进函数u (x) = e pdx，则可构造新函数f (x) =f e pdx例：设f (x)在a, b有连续的导数，又存在c (a, b)，使得f (c) = 0求证：存在x(a, b)，使得f (x) =分析：把所证式整理一下可得：f (x) -f (x) - f (a)b - af (x) - f (a) = 0b - a f (x) - f (a) -1 f (x) - f (a)

4、= 0，这样就变成了f + pf b - a= 0型 1 dx xx 引进函数u (x) = eb-ae b-a（令c=0），于是就可以设f (x) = eb-a f (x) - f (a)注：此题在证明时会用到f (c) =2、所证式中出现两端点凑拉格朗日f (b) - f (a) = 0 b - af (b) =f (a) 这个结论例3 设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导证明至少存在一点z (a,b)使得bf(b) - af(a) = f(z) + zf(z)b- a分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设f(x) = xf(x),用拉格朗日定理验证一下f(z)

5、 = f(z) + zf(z) = bf(b) - af(a)b- a柯西定理例4 设0 x1 x2，f(x)在x1,x2可导，证明在(x1,x2 )至少存在一点c，使得1ex1ex2= f(c)- f(c)ex1 - ex2 f(x1)f(x2 ) 21ex1f(x ) - ex2f(x )分析：先整理一下要证的式子= f(c) - f (c)ex1 - ex2这题就没上面那道那么容易看出来了发现ex1f(x ) - ex2f(x )是交叉的，变换一下，分子分母同除一下ex1 +x221f(x2 ) - f(x1)ex21ex2ex1- 1ex1于是这个式子一下变得没有悬念了用柯西定理设好两

6、个函数就很容易证明了k 值法仍是上题分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量的这个式子ex1f(x ) - ex2f(x )-x-x设21 = k 整理得e ex1 - ex21f(x1) - k = e2 f(x2) - k很容易看出这是一个对称式，也是说互换x1x2还是一样的那么进入第二步，设f(x) = e-xf(x) - k，验证可知f(x1) = f(x2 )记得回带k，用罗尔定理证明即可。泰勒公式法老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展

7、开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的， 而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。3、所证试同时出现和两次中值定理例5 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，f(a) = f(b) = 1试证存在z，h (0,1)使得eh-zf(h) + f(h) = 1分析：首先把z与h分开，那么就有ehf(h) + f(h) = ez一下子看不出来什么，那么可以先从左边的式子下手试一下很容易看出ehf(h) + f(h) = ehf(h)，设f(x) = exf(x)利用拉格朗日定理可得f(h) =ebf(b) - eaf(a) b- a再整理一下heb - eaeb - eaze f(

8、h) + f (h) =b- a只要找到b- a与e 的关系就行了这个更容易看出来了，令g(x) = ex则再用拉格朗日定理就得到 z =z = eb - ea =hh + hg( )eb- ae f( )f ( )柯西定理（与之前所举例类似）有时遇到和同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。一、高数解题的四种思维定势1、在题设条件中给出一个函数 f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把 f(x)在指定点展成泰勒公式再说。2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再

9、说。3、在题设条件中函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=0 或 f(b)=0 或 f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式 f(u)再说。二、线性代数解题的八种思维定势1、 题设条件与代数余子式 aij 或 a*有关， 则立即联想到用行列式按行（ 列） 展开定理以及aa*=a*a=|a|e 。2、若涉及到 a、b 是否可交换，即 ab=ba，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。3、若题设 n 阶方阵 a 满足 f(a)=0，要证

10、 aa+be 可逆，则先分解出因子 aa+be 再说。4、若要证明一组向量 a1,a2,as 线性无关，先考虑用定义再说。5、若已知 ab=0，则将 b 的每列作为 ax=0 的解来处理再说。6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。7、若已知 a 的特征向量0，则先用定义 a0=00 处理一下再说。8、若要证明抽象 n 阶实对称矩阵 a 为正定矩阵，则用定义处理一下再说。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very

11、happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and inn