计算机图形学03

1、计算机图形学,Computer Graphics,使用班级：地信2009级 王增武 WangZ TelQQ:64434430,第三章 曲线和曲面,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识 3.2 常用的参数曲线 3.3 常用的参数曲面,第三章 曲线和曲面,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识 3.2 常用的参数曲线 3.3 常用的参数曲面,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识,显示表示 隐式表示 参数表示,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识,曲线和曲面的表示方法 1显式表示 显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式，且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来。 2隐式

2、表示 隐式表示不要求坐标变量之间一一对应，它只是规定了各坐标变量必须满足的关系。 3参数表示 参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形式。假定用t表示参数，参数t在0，1区间内变化，当t=0时，对应曲线段的起点，当t=1时，对应曲线段的终点,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识,与显式、隐式方程相比，用参数方程表示曲线和曲面更为通用，其优越性主要体现在以下几个方面： （1）曲线的边界容易确定。 （2）点动成线。 （3）具有几何不变性。 （4）易于变换。 （5）易于处理斜率为无穷大的情形。 （6）表示能力强,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识,位置矢量、切矢量、法矢量、曲率与挠率 1位置矢量

3、 2切矢量 3法矢量 主法矢量 、副法矢量 法平面、密切平面 、副法平面,4曲率和挠率,插值、逼近、拟合和光顺,型值点：是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。 控制点：是指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。 插值和逼近：这是曲线曲面设计中的两种不同方法。插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型，严格通过已知的每一个型值点。而逼近设计方法建立的曲线曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。 拟合：是指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求,曲线段间的连续性定义,连续性 : C0连续（0阶参数连续）前一段曲线

4、的终点与后一段曲线的起点相同。 C1连续（一阶参数连续） 两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。 C2连续（二阶参数连续） 两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数,对于参数曲线段 若:1) 则 在P处具有 连续； 2) 在点P处重合，且在点P处的切矢量方向相同，大小不相等，则 在点P处具有 连续； 3) 在点P处重合，且在P点处的切矢量方向相同，大小相等，则 在点P处具有 连续,4）若 在点处已有 ， 连续性，且 的大小和方向均相同，则 在点P处具有 连续； 5)若 在点处已有 ， 连续性，且 的方向相同，大小不相等，则 在点P处具有 连续,参数曲线的线性形式和几何形式 调和函数

5、曲线段间C1,C2和G1,G2连续性定义 重新参数化 四点式曲线 有理参数多项式曲线,第三章 曲线和曲面,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识 3.2 常用的参数曲线 3.3 常用的参数曲面,1 Bezier曲线,1Bezier曲线的定义 在给定空间个点0,1,n，称下列参数曲线为次的Bezier曲线 其中， 是Bernstein基函数，即,一般称折线0,1,n为C(u)的控制多边形；0,1,n各点为C(u)的控制顶点。控制多边形是C(u)的大致形状的勾画；C(u)是对0,1,n的逼近,图8.1 Bezier曲线,Bernstein基函数具有下列性质： 1） 非负性： 对于所有的i,n以及 均有

6、 成立； 2） 规范性： 3)对称性,4)递推性 5)端点性,6)最大性 : 在 处达到最大值； 7)可导性 8)升阶公式,9)分割性 10)积分性,2Bezier曲线的性质 Bezier曲线C(u)具有以下性质： 1)端点性质 2) 端点切矢量 Bezier曲线在 点处与边 相切，在点 处与边 相切,3) 端点的曲率：在C(u)两端点的曲率分别为： 这是因为,4）对称性 若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的Bezier曲线形状不变，但方向相反。 5）几何不变性 Bezier曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。移动第i个控制顶点 将对曲线上参

7、数为 的那个点 处发生最大的影响,6）凸包性 因为是多边形各顶点0,1,n的加权平均，而权因子 ，这反映在几何图形上有两重含义： a. Bezier曲线C(u)位于其控制顶点0,1,n的凸包之内； b. Bezier曲线C(u)随着其控制多边形的变化而变化,7）变差缩减性 对于平面Bezier曲线C(u)，平面内任意条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数； 3常用Bezier曲线的矩阵表示 由Bezier曲线C(u)的定义，可推出常用的一次、二次、三次Bezier曲线矩阵表示 1)一次Bezier曲线,矩阵表示为 这是一条从 到 的直线段 图8.2 一次Bezier 曲线,2

8、）二次Bezier曲线 矩阵表示为 二次Bezier 曲线,3）三次Bezier曲线 矩阵表示为,图8.4 三次Bezier 曲线,4Bezier曲线的De Casteljau算法 给定三维空间点 以及一维标量参数 ；假定： 并且 那么 即为Bezier曲线上参数 处的点,DeCasteljau (P,n,u,C) /* Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm */ /* Input : P,n,u */ /* Output: C (a point) */ for(i=0;i=n;i+ ) Qi=Pi ; for(

9、k=1; k=n; k+) for(i=0; i=n-k; i+) Qi=(1.0-u)*Qi+u*Qi+1 ; C=Q0 ;,图8.5 Bezier 曲线的De Casteljau算法,5Bezier曲线的几何作图法 利用De Casteljau算法可以以几何方式计算参数值 处的曲线点： 1）根据给定的参数值 ，在控制多边形的每条边上确定某一分割点，使分割后的线段之比为 ；由此得分割点为： 由此组成一个边数为（n-1）的新的多边形,2）用相同的方法对该多边形再次分割，得到分割点 形成另一个新的多边形； 3）按相同的过程分割n-1次后，得到两个顶点 ，再分割得到所求的点 即为所求的 处的曲线点

10、,图8.6 Bezier 曲线的几何作图法,6.Bezier曲线的分割 几何作图法中计算得到 的同时也将原Bezier曲线分为两个子曲线段： 就是定义在 上的子曲线段，而 是定义在 上的子曲线段。 Bezier曲线的任意分割是指给定两个参数值 求原Bezier曲线 上由两点 与 所界定的那段子曲线段的控制顶点： 1)先用 对原曲线做一分为二的分割,2） 对 那个子曲线用 做一分为二的分割，所得子曲线段 就是所求的原Bezier曲线的子曲线段 图8.7 Bezier 曲线的分割,Bezier曲线的升阶 有时为了便于Bezier曲线的修改，需要增加控制顶点提高灵活性，而不要改变原来曲线的形状，也就

11、是将n次的Bezier曲线进行升级表达为n+1次的Bezier曲线，即： 只需将左边乘以 然后比较 的系数，即可得到,几何意义： 1） 新的控制顶点是对老的特征多边形在参数 处进行线性插值的结果； 2） 升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内； 3） 升阶后的新的特征多边形更逼近Bezier曲线,例如对于二次Bezier曲线： 升阶后的控制顶点为,8. Bezier曲线的顶点反求 已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次，利用Bezier曲线定义和端点特性，可列出一组方程，求解方程组，就可得到相应的控制顶点。 例子： 已知三次Bezier曲线上的四个点分别为Q0(120,0

12、),Q1(45,0), Q2(0,45),Q3(0,120),它们对应的参数分别为0, 1/3, 2/3, 1,反求三次Bezier曲线的控制顶点。 由已知条件可得方程组,Q0 = P0 (t=0) Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3) Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3) Q3 = P3 (t=1) bezier曲线的端点性质得到的；其余两式是由三次Bezier曲线的展开式： C(u)=(1-u)3P0+3u(1-u)2P1+3u2(1-u)P2+u3P3

13、分别将Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐标代入方程组求解，可得： x0 = 120 x1= 35 x2 = 27.5 x3 = 0 y0 = 0 y1 = 27.5 y2 = 35 x3 = 120,9. Bezier曲线的拼接 设有两条Bezier曲线 和 ，其控制顶点分别为：0,2,n 和Q0,Q2,Qm,现考虑两条曲线的拼接，不同阶几何连续的条件如下： 1)一阶连续性 根据端矢量条件： 其连续条件为 即,1） 二阶连续性 根据二阶导矢量： 为满足连续性条件： 可得,图8.8 Bezier 曲线的拼接,10、有理Bezier曲线有理Bezier曲线的定义式为： 与Bezier曲线相比，除了可

14、以调节有理Bezier曲线的控制顶点外，还可以调节其权因子的大小来改变曲线的形状；因而具有更强的造型功能,其性质包括： 1)端点性质： 2)端点切矢量 3)凸包性质; 4)有理再生性；若控制顶点落在一条直线上，曲线为直线； 5)仿射和透视不变性； 6)权因子的作用：当权因子全为零时，曲线与控制顶点无关；当某一权因子增大（小）时，曲线向相应的控制顶点靠近（远）；当权因子为无穷大时，该控制顶点即为曲线上的点,第三章 曲线和曲面,3.1 曲线曲面参数表示的基础知识 3.2 常用的参数曲线 3.3 常用的参数曲面,1 Bezier曲面,1定义 在空间给定 个点 称下列张量积形式的 一般称Pij为Bez

15、ier曲面 的控制顶点；把由两组多边形 (i=0, 1, , n)和 (j=0,1,2, ., m)组成的网称为Bezier曲面 的控制网格，记为,控制网格 是 的大致形状勾画； 是对 的逼近。 Bezier 曲面,2性质 Bezier曲面 具有以下性质： 1)端点位置： 四个端点分别是 这是因为 2)边界曲线 的四条边界 线分别是以,为控制多边形的Bezier曲线。 3)端点的切平面 三角形 所在的平面分别在点 与曲面 相切 4)端点法线方向 由端点的切平面知 是 在点 的法线方向；其余各端点,的法向情况也类似 5)凸包性 曲面 位于其控制顶点 的凸包性。 6)几何不变性 曲面 的形状和位置

16、与坐标系的选取无关，仅仅与各控制顶点的位置有关 7) 变差递减性 对于Bezier曲面，空间任意条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数,3Bezier曲面的De Casteljau算法 假定已知 个点 构成的Bezier曲面 以及参数 下面的De Casteljau算法可计算出相应的曲面上的点坐标： 首先对确定的 计算 ，也就是说利用De Casteljau算法计算控制顶点的第 j0行 ；利用(m+1)次 De Casteljau算法计算 ;再次对 计算 的值得到,DeCasteljauSurf(P, n, m, u, v, S) /* Compute a point on

17、a Bezier surface */ /* Input : P , n, m, u, v */ /* Output : S */ if(n=m) for(j=0;j=m;j+) DeCasteljau(Pj, n, u, Qj) DeCasteljau(Q, m, v, S) ; else for(i=0;i=n;i+) DeCasteljau(Pi, m, v, Qi) ; DeCasteljau(Q, n, u, S) ;,4Bezier曲面的微分 阶的Bezier曲面 的偏微分 5Bezier曲面的法矢量 Bezier曲面的法矢量等于两个偏微分的叉积,5.Bezier曲面的升阶 假设将 阶的Bezier曲面升阶为 ，则： 采用Bezier曲线升阶类似的处理方法，得到,若升阶为 ，则： 7Bezier曲面的几种表达形式 1)双一次Bezier曲面： 这是一双曲抛物面（马鞍面）