(精编)八年级几何辅助线专题训练

1、本word文档可编辑可修改 常见 的辅助线 的作法1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上 的高，利用“三线合一” 的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上 的某一点向角 的两边作垂线，（2）可以在角平分线上 的一点作该角平分线 的垂线与角 的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角 的两边上，距离角 的顶点相等长度 的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上 的某点作边线，构造一对全等三角形。4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上 的某点向该线段 的两个端点作连线，出一对全等三角形

2、。5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段 的长，6.图形补全法：有一个角为 60度或 120度 的把该角添线后构成等边三角形 .7.角度数为 30度、 60度 的作垂线法：遇到三角形中 的一个角为 30度或 60度，可以从角一边上一点向角 的另一边作垂线，目 的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边 的长度与角 的度数，这样可以得到在数值上相等 的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间 的相等条件。8.面积方法：在求有关三角形 的定值一类 的问题时，常把某点到原三角形各顶点 的线段连接起来，利用三角形面积 的知识解答- 1 - 一、等腰三角形

3、“三线合一”法1.如图，已知ABC中， A90，ABAC，BE平分 ABC，CEBD于 E，求证： CE= BD.中考连接：（2014?扬州，第 7题， 3分）如图，已知 AOB=60，点 P在边 OA上，OP=12，点 M，N在边 OB上， PM=PN，若 MN=2，则 OM=（A3 B4 C 5）D6A二、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _.CBD例 2、如图，ABC中，E、F分别在 AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大小 .AEFBCD例 3、如图， ABC中，BD=DC=

4、AC，E是 DC 的中点，求证： AD平分 BAE.ABDEC- 2 - 中考连接：和等腰 RtACE，（09崇文）以 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 RtABCBADCAE 90 ,连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM与 DE 的关系（ 1）如图当ABC为直角三角形时， AM与 DE 的位置关系是，线段 AM与 DE 的数量关系是；ABD（2）将图中 的等腰 Rt绕点 A沿逆时针方向旋转(0 90)后，如图所示，（1）问中得到 的两个结论是否发生改变？并说明理由三、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE相交于点 O，求

5、证：OE=ODAEOBCD- 3 - 2、如图，已知点 C是MAN 的平分线上一点， CEAB于 E，B、D分别在AM、AN上，且 AE=（AD+AB）.问：1和2有何关系？中考连接：(2012年北京 )如图，OP是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴 的全等三角形。请你参考这个作全等三角形 的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC中， ACB是直角， B=60，AD、CE分别是BAC、BCA 的平分线， AD、CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与FD之间 的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果 ACB不是直角，而(1)中 的其它条件不变，请问，你在(1)中

6、所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，B请说明理由。BMEEDFDFOPACANC图图图- 4 - 四,垂直平分线联结线段两端1.（ 2014?广西贺州，第 17题 3分）如图，等腰 ABC中， AB=AC，DBC=15，AB 的垂直平分线 MN交 AC于点 D，则 A 的度数是2、如图， ABC中，AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.AEGCBFD中考连接：（2014年广东汕尾，第 19题 7分）如图，在 RtABC中， B=90，分别以点 A、C为圆心，大于

7、AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接 MN，与 AC、BC分别交于点 D、E，连接 AE（1）求 ADE；（直接写出结果）（2）当 AB=3，AC=5时，求 ABE 的周长补充：尺规作图过直线外一点做已知直线 的垂线- 5 - 五、截长补短1、如图， ABC中，AB=2AC，AD平分 BAC，且 AD=BD，求证： CDACACBD2、如图， ADBC，EA,EB分别平分 DAB,CBA，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC。DAEBC003、如图，已知在ABC内，BAC 60， C 40，P，Q分别在 ， 上，BC CA并且 AP，BQ分别是 BAC， ABC 的角平分线。求证： BQ

8、+AQ=AB+BPABQPC4、如图，在四边形 ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分 ABC，0求证：AC 180ADCB- 6 - 5.如图，已知正方形 ABCD中，E为 BC边上任意一点， AF平分 DAE求证：AEBEDF6.如图，ABC中， ABC=60，AD、CE分别平分 BAC，ACB，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明 .7.如图，RtABC中，ACB=90，CDAB于 D，AF平分 CAB交 CD于 E，交 CB于 F，且 EGAB交 CB于 G，判断 CF与 GB 的大小关系并证明。- 7 - 六、综合1、正方形 ABCD中，E为 BC上 的一点， F为 C

9、D上 的一点， BE+DF=EF，求 EAFAD 的度数 .FBCE2、如图， ABC为等边三角形，点 M , N分别在 BC, AC上，且 BM CN，AM与 BN交于 Q点。求 AQN 的度数。o3、已知四边形 ABCD中， AB AD， BC CD， AB BC，ABC 120，oMBN 60，MBN绕 B点旋转，它 的两边分别交 AD，DC（或它们 的延长线）于 E，F当MBN绕 B点旋转到 AE CF时（如图 1），易证 AE CF EF当MBN绕 B点旋转到 AE CF时，在图 2和图 3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段数量关系？请写出你 的猜想，

10、不需证明AE，CF， EF又有怎样 的AAAE MEMDBBBF CNDDCCFFNNEM（图 1）（图 2）（图 3）- 8 - 4、D为等腰 Rt ABC斜边 AB 的中点， DMDN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。B（1）当 MDN绕点 D转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。AECMAFN5、在等边 ABC 的两边 AB、AC所在直线上分别有两点 M、N，D为 VABC外一点，且 MDN60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时， BM、NC、MN之间 的数量关系及 AMN 的周长 Q与等边 A

11、BC 的周长 L 的关系图 1图 2图 3（I）如图 1，当点 M、N边 AB、AC上，且 DM=DN时，BM、NC、MN之间 的数量关系是；此时 QL；（II）如图 2，点 M、N边 AB、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I）问 的两个结论还成立吗？写出你 的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= x，则 Q=（用 x、L表示）- 9 - （中考连接： 2014?抚顺第 25题（ 12分）已知：RtABC RtABC，ACB=ACB=90，ABC=ABC=60，RtABC可绕点 B旋转，设旋转过程中直线 CC和 AA相交于点 D（1）

12、如图 1所示，当点 C在 AB边上时，判断线段 AD和线段 AD之间 的数量关系，并证明你 的结论；（2）将 RtABC由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时，（1）中 的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转角（0）120，当A、C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角 的度数- 10 - 参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是 _.解：延长 AD至 E使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AAB-BE 2ADAB+BE故 AD

13、 的取值范围是 1AD4CBD例 2、如图， ABC中， E、F分别在 AB、 AC上， DEDF，D是中点，试比较 BE+CF与 EF 的大小 .A解： (倍长中线 ,等腰三角形“三线合一”法显然 BGFC，)延长 FD至 G使 FG2EF，连 BG，EG,EF在 EFG中，注意到 DEDF，由等腰三角形 的三线合一知BCDEGEF在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故： EFBE+FC例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC 的中点，求证： AD平分 BAE.ABDEC解：延长 AE至 G使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC，GDC=ACD由于 DC=AC，

14、故ADC= DAC- 11 - 在 ADB与 ADG中，BDAC=DG，ADAD，ADB= ADC+ACD= ADC+GDC ADG故 ADB ADG，故有 BAD=DAG，即 AD平分 BAE应用：ABCABD 和等腰1、（09崇文二模）以 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰RtBADCAE 90 ,连接DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM与ACE，RtDE 的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时， AM与DE 的位置关系是，线段 AM与DE 的数量关系是；（2）将图中 的等腰 RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0 90)后，如图所示，（1）问中得到 的两个结

15、论是否发生改变？并说明理由解：（1） ED 2AM， AM ED；证明：延长 AM到 G，使 MG AM，连 BG，则 ABGC是平行四边形 AC BG， ABGBAC 180BAC 180D又 DAE ABGNHDAEE再证： DAEABGA DE 2AM， BAG延长 MN交 DE于 HEDA BAGDAH 90DAH 90BCM HDA AM EDG（2）结论仍然成立证明：如图，延长 CA至 F，使 AC FA，FA交 DE于点 P，并连接 BF DA BA， EA AFFD BAF 90DAFEADN- 12 -PEA 在 FAB和 EAD中FA AEBAFEADBA DA FABEA

16、D（SAS） BF DE， FAEN FPDFAPEAEN 90 FB DE又 CA AF， CM MB1 AM / FB，且 AM AM DE， AMFB212DE二、截长补短1、如图，ABC中， AB=2AC，AD平分 BAC，且 AD=BD，求证： CDAC解：（截长法）在 AB上取中点 F，连 FDADB是等腰三角形， F是底 AB中点，由三线合一知DFAB，故 AFD90ADF ADC（SAS）ACD AFD90即： CDAC2、如图， AD BC，EA,EB分别平分 DAB,CBA，CD过点 E，求证 ;ABAD+BCDA解：（截长法）在 AB上取点 F，使 AF AD，连 FEA

17、DE AFE（SAS）ADE AFE，EADE+ BCE 180AFE+ BFE 180BC故 ECB EFB- 13 - FBE CBE（AAS）故有 BFBC从而 ;ABAD+BC0C 400， P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，3、如图，已知在 ABC内， BAC 60，ABQ分别是BAC， ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP解：（补短法 ,计算数值法）延长 AB至 D，使 BDBP，连 DP在等腰 BPD中，可得 BDP40B从而 BDP40 ACPQPADP ACP（ASA）故 ADAC又 QBC40 QCB故 BQQCCBDBP从而 BQ+AQ=AB+BP4、

18、如图，在四边形 ABCD中， BCBA,ADCD， BD平分ABC，C 1800求证：AA解：（补短法）延长 BA至 F，使 BFBC，连 FDBDF BDC（SAS）故 DFB DCB，FDDC又 ADCDD故在等腰 BFD中CBDFB DAF故有 BAD+BCD180- 14 - 5、如图在 ABC中， ABAC， 1 2，P为 AD上任意一点，求证 ;AB-ACPB-PCA21PCBD解：（补短法）延长 AC至 F，使 AFAB，连 PDABP AFP（SAS）故 BPPF由三角形性质知PBPC PFPC CFAFACABAC应用：分析：此题连接 AC，把梯形 的问题转化成等边三角形 的

19、问题，然后利用已知条件和等边三角形 的性质通过证明三角形全等解决它们 的问题。解：有 BC AD AE连接 AC，过 E作 EF / BC并 AC于 F点AD则可证 AEF为等边三角形即 AE EF， AEF CFE 120AFE 60FE- 15 -CB 又 AD / BC， B 60 BAD 120又 DEC 60AD AEDFEC在 ADE与 FCE中EADCFE， AE EF， AEDFECE ADE AD FCFCECB BC AD AE点评：此题 的解法比较新颖，把梯形 的问题转化成等边三角形 的问题，然后利用全等三角形 的性质解决。三、四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 AB

20、C中， B=60， ABC 的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD，DC+AE =AC证明 (角平分线在三种添辅助线 ,计算数值法 )B=60度,则BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线 ,A则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在 AC上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),EOOE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60度.BCD则COF=AOC-AOF=60度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC

21、.- 16 - 2、如图， ABC中， AD平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长 .解： (垂直平分线联结线段两端 )连接 BD，DCADG垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD平分 BAC， DEAB于 E，DFAC于 F，故有EGCEDDFBF故 RTDBE RTDFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AEDAE（ a+b）/2BE=(a-b)/2应用：1、如图， OP是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴 的全等三角形。请你参考这个作全等三角形

22、的方法，解答下列问题：（ 1）如图，在 ABC中， ACB是直角，B=60，AD、CE分别是 BAC、BCA 的平分线， AD、 CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间 的数量关系；（ 2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1)中 的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。BBMEEDFFDOPACANC图图图(第 23题图 )解：（1）FE与 FD之间 的数量关系为 FE FD（2）答：（1）中 的结论 FE FD仍然成立。证法一：如图 1，在 AC上截取 AG AE，连结 FG- 17 - 12，AF为公共边，

23、 AEF AFEAGFAFG， FE FGB B 60，AD、CE分别是 BAC、 BCA 的平分线 23 60CFD AFEAFG 60E2D CFG 60F 34及 FC为公共边41 CFG FG FD FE FDCFD3ACG图 1证法二：如图 2，过点 F分别作 FG AB于点 G， FH BC于点 H B 60，AD、CE分别是 BAC、 BCA 的平分线B可得 23 60，F是 ABC 的内心1， FH FGGD GEF 60又 HDFEHFB141 GEFHDF23AC可证 EGF FE FDDHF图 2五、旋转例 1正方形 ABCD中，E为 BC上 的一点， F为 CD上 的一

24、点， BE+DF=EF，求 EAF 的度数 .AADF绕点 A顺时针旋转 90度，至三角形D证明：将三角形ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE，AF=AG，F所以三角形 AEF全等于 AEGBCE- 18 - 所以 EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以 EAF=45度例 2 D为等腰 Rt ABC斜边 AB 的中点， DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。(1)当 MDN绕点 D转动时，求证 DE=DF。(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解： (计算数值法 )（1）连接 DC，D为等腰 Rt ABC

25、斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDACD平分BCA90， ECD DCA45由于 DMDN，有 EDN90由于 CDAB，有 CDA90从而 CDE FDA故有 CDE ADF（ASA）故有 DE=DF（2）S =2, S四 DECF= S =1ABCACDBDC 1200，例 3如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且以 D为顶点做一个 600角，使其两边分别交 AB于点，交 AC于点，连接 MN，则MNAMN 的周长为；- 19 - 解： (图形补全法 ,“截长法”或“补短法” ,计算数值法 ) AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F，在线段 CF上取点

26、E，使 CEBM ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且 BDC=120， MBD=MBC+DBC=60 +30=90，DCE=180 -ACD=180 -ABD=90，又 BM=CE，BD=CD， CDE BDM， CDE= BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC- MDN=120 -60=60，在 DMN和 DEN中，DM=DEMDN=EDN=60DN=DN DMN DEN，MN=NE在 DMA和 DEF中，DM=DEMDA=60 -MDB=60 -CDE=EDFDAM=DFE=30(CDE=BDM) DMN DENMA=FE(AAS)，AMN 的周长为

27、AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6- 20 - 应用：o1、已知四边形 ABCD中， AB AD， BC CD， AB BC， ABC 120，oMBN 60，MBN绕 B点旋转，它 的两边分别交 AD，DC（或它们 的延长线）于E，F当MBN绕 B点旋转到 AE CF时（如图 1），易证 AE CF EF当MBN B点旋转到 AE CF时，在图 2和图 3绕这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段你 的猜想，不需证明AE，CF， EF又有怎样 的数量关系？请写出AAAE ME MBBBF CDDDCCFFNNNEM（图 1）（图 2）（图 3）解：（1）

28、AB AD， BC CD， AB BC， AE CF ABE ABECBF（SAS）；CBF， BE BF ABC 120， MBN 60 ABECBF 30， BEF为等边三角形12 BE EF BF， CF AEBE AE CF BE EF（2）图 2成立，图 3不成立。证明图 2，延长 DC至点 K，使 CK AE，连接 BK则 BAE BE BK， ABEBCKAKBCE MB- 21 -DCFKN FBE 60， ABC 120 FBC FBC KBF KBFABE 60KBC 60FBE 60EBF KF EF KC CF EF即 AE CF EF图 3不成立， AE、CF、EF

29、的关系是 AE CF EF2、（西城 09年一模）已知 :PA= 2 ,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、D两点落在直线 AB 的两侧 .(1)如图 ,当 APB=45时 ,求 AB及 PD 的长 ;(2)当 APB变化 ,且其它条件不变时 ,求 PD 的最大值 ,及相应 APB 的大小 .分析：（1）作辅助线，过点 A作 AE PB于点 E，在 Rt PAE中，已知 APE，AP 的值，根据三角函数可将AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求 BE 的值，在 Rt ABE中，根据勾股定理可将 AB 的值求出；求 PD 的值有两种解法，解法一：可将 PAD绕点 A顺时针旋转

30、 90得到 P AB，可得 PADP AB，求PD长即为求 P B 的长，在 Rt APP中，可将 PP 的值求出，在 Rt PP B中，根据勾股定理可将 P B 的值求出；解法二：过点 P作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，交 PB于 G，在 Rt AEG中，可求出 AG，EG 的长，进而可知 PG 的值，在 Rt PFG中，可求出 PF，在Rt PDF中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将 PAD绕点 A顺时针旋转 90，得到 P AB，PD 的最大值即为 P B 的最大值，故当 P、P、B三点共线时， P B取得最大值，根据 P B PP PB可求 P B 的最大值，

31、此时 APB 180APP 135解：（1）如图，作 AE PB于点 ED Rt PAE中， APB 45， PA2C22 AE PE PB 412AEPB BE PB PE 3在 Rt ABE中， AEB 90- 22 - AE 2 BE 2 AB10解法一：如图，因为四边形 ABCD为正方形，可将将 PAD绕点 A顺时针旋转 90得D到 P AB，可得 PADP AB， PD P B， PA P A PAP 90， APP 45， P PB 90CP PP 2， PA PD P B2APP 2 PB 222 4 2 2 5；PEB解法二：如图，过点 P作 AB 的平行线，与 DA 的延长线

32、交于 F，设 DA 的延长线交 PB于 GAEAE1031323在 Rt AEG中，可得 AG，EG，PG PE EGDcos EAG cos ABE10510在 Rt PFG中，可得 PF PG cos FPG PG cos ABE， FGC15在 Rt PDF中，可得A22105101510PF 2AD AG FG2102 5GF EPD3PB（2）如图所示，将 PAD绕点 A顺时针旋转 90 ,得到 P AB，PD 的最大值，即为 P B 的最大值 PP B中， P B PP PB， PP2PA 2， PB 4且 P、D两点落在直线 AB 的两侧当 P、P、B三点共线时， P B取得最大

33、值（如图）DDCCAAPPPBBP此时 P B PP PB 6，即 P B 的最大值为 6此时 APB 180APP 1353、在等边 ABC 的两边 AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且- 23 - MDN60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间 的数量关系及AMN 的周长 Q与等边 ABC 的周长 L 的关系图 1图 2图 3（I）如图 1，当点 M、N边 AB、AC上，且 DM=DN时， BM、 NC、MN之间 的数量Q关系是；此时；L（II）如图 2，点 M、N边 AB、AC上，且当 DM DN

34、时，猜想（ I）问 的两个结论还成立吗？写出你 的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= x，则 Q=分析：（ 1）如果 DM DN，DBC DCB 30，也就有 MBD中，因为 BD DC， DM DN，根据 HL定理，两三角形全等（用 x、 L表示）DMNDNM，因为 BD DC，那么NCD 60 30 90，直角三角形 MBD、NCD。那么 BM NC，DNC 60，三角形 NCD中， NDC 30， DN 2NC，在三角形 DNM中，BMDDM DN，MDN 60，因此三角形 DMN是个等边三角形，因此MN DN 2NC NC BM，三角形 AMN 的周长 Q AM AN MNAM AN MB NC AB AC 2AB，三角形 ABC 的周长 L 3AB，因此 Q : L 2: 3（2）如果 DM DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段 的转换。延