现代控制理论：5.3 线性系统的稳定性分析

1、目录(1/1,目 录 概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题 本章小结,5.3 线性系统的稳定性分析 本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析,李雅普诺夫方法在线性系统的应用(1/2,由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅

2、普诺夫函数来分析系统的稳定性。 由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。 目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法,李雅普诺夫方法在线性系统的应用(2/2,本节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统、 线性时变连续系统和 线性定常离散系统, 如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性,李雅普诺夫方法在线性系统的应用(3/2,5.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析 设线性定常连续系统的状态方程为 x=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一

3、个平衡态xe=0,即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/21,上述第(3)点可由如下定理中得到说明。 定理5-7 线性定常连续系统 x=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫函数。,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/21)定理5-7,证明 (1) 先证充分性。 即

4、证明,若对任意的正定矩阵Q,存在正定矩阵P满足方程 PA+AP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/21,由于P正定,选 择正定函数V(x)=xPx为李 雅普诺夫函数,计算李雅普诺夫函数V(x)对时间t的全导数V(x,通过判定V(x)的定号性来判定平衡态xe的稳定性,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/21,证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+AP=-Q 的正定矩阵P存在,故令 V(x)=xPx. 由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V(x)=(xPx) =xPx+xPx =(Ax)Px+xPax =

5、x(AP+PA)x =-xQx 而Q为正定矩阵,故V(x)为负定函数,根据渐近稳定性定理(定理5-4),即证明了系统的平衡态xe=0是渐近稳定的,于是充分性得证。 (2) 再证必要性。 即证明:若系统在xe=0处是渐近稳定的,则对任意给定的正定矩阵Q,必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+AP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程 PA+AP=-Q 的正定矩阵P,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(5/21,证明过程为： 对任意给定的正定矩阵Q,构造矩阵P如下,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(6/21,由矩阵指数函数eAt的定义和性质知,上述被积矩阵函数的各元素一定是具有t

6、ket形式的诸项之和,其是A的特征值。 因为系统是渐近稳定的,则矩阵A的所有特征值的实部一定小于零,因此上述积分一定存在,即P为有限对称矩阵,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(7/21,又由于 Q正定, 矩阵指数函数eAt可逆, 则由方程(5-15)可知,P为有限的正定矩阵。 因此,P为正定矩阵,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(8/21,将矩阵P的表达式(5-15)代入矩阵方程 PA+AP=-Q 可得,因此,必要性得证,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(9/21,上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法 不需寻找李雅普诺夫函数, 不需求解系统矩阵A

7、的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。 由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵方程的唯一解的推论,推论5-1 如果线性定常系统x=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的,那么李雅普诺夫代数方程 PA+AP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。 即需证明: 李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解,但该系统是渐近稳定的。 设李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解P1和P2,则将P1和P2代入该方程后有 P1A+AP1=-Q P2A+AP2=-Q,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(10/21)推论1,两

8、式相减,可得 (P1-P2)A+A(P1-P2)=0 因此,有,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(11/21,所以,对任意的t,下式均成立,令t=0和t=T(0),则有,推论5-1 如果线性定常系统x=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的,那么李雅普诺夫代数方程 PA+AP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。 由定理5-7可知,当P1和P2为满足李雅普诺夫方程的正定矩阵时,则系统为渐近稳定的。 故系统矩阵A为渐近稳定的矩阵,矩阵指数函数eAT将随着T而趋于零矩阵,即 P1-P2=0 或 P1=P2,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(12/21,在应用上述基本定理和推

9、论时,还应注意下面几点: 如果V(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。 Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的,那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关。 由定理5-7及其推论5-1可知,运用此方法判定系统的渐近稳定性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=I。 于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程: PA+AP=-I 求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(13/21,下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方程来判定

10、线性定常系统的稳定性。 例5-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(14/21)例5-9,解 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xPx 由定理5-7可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程 PA+AP=-I,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(15/21)例5-9,于是,令对称矩阵P为,将P代入李雅普诺夫方程,可得,展开后得,有,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(16/21,因此,得如下联立方程组,解出p11,p12和p22,得,为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(17/21

11、,由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(18/21)例5-10,例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围,解 由图可写出系统的状态方程为,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(19/21)例5-10,不难看出,原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵,则,由于为非正定,且只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹不恒为零。 因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立,线性定常连续系统的李雅普诺夫稳