三角恒等变换和解三角形题型总结x

1、 三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 ： sin sin cos cos sin 令 sin 2 2sin cos cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos2 sin2 2cos 2 1 1 2sin tan tan tan cos2 1+cos2 1 tan tan 2 sin2 1 cos2 2 tan 2 tan 2 1 tan 2 1 如（ ）下列各式中，值为 的是 A、sin15 cos15 B、 cos 2 sin 2 C 、 2 12 1tan 22.5 D、 1 cos30 （答： C）； 1 tan 2 2

2、2.5 2 0 ，命题 Q： tan A tan B 0 ，则 P 是 Q 的 （2）命题 P： tan( A B ) A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答： C）； （3）已知 sin( )cos cos( )sin 3 ，那么 cos 2 的值为_（答： 7 ）； 5 25 （4） 1 3 的值是_（答： 4）； sin10 sin 80 (5) 已知 tan110 0 a ，求 tan 500 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 a 3 ，乙求得的结 1 3a 果是 1 a2 ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 _（答：甲、乙都对） 2a

3、 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有 : （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、 已知角与目标角的变换、 角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换 . 如 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2( ) ( ) ， 2 2 ， 2 2 2 等）， 如（1）已知 tan( ) 2 ，tan( ) 1 ，那么 tan( ) 的值是 _（答： 3 ）； 5 4 4 1 4 2 22 （2）已

4、知 0 ，且 cos( ) ) ) 的 2 2 ， sin( ，求 cos( 9 2 3 值（答： 490 ）；（3）已知 , 为锐角， sin x,cos y ， cos( ) 3 ，则 y729 5 x 的函数关系为 _ y 1 x x(x 1) ） （答： 3 2 4 3 5 5 5 (2) 三角函数名互化 ( 切化弦) ， 如（1）求值 sin 50 (1 3 tan10 ) （答： 1）； （2）已知 sin cos 1,tan( ) 2 ，求 tan( 2 ) 的值（答： 1 ） 1 cos 2 3 8(3) 公式变形使用（ tan tan tan 1 tan tan 。 如（1）

5、已知 A、B 为锐角，且满足 tan A tan B tan A tan B 1，则 cos( A B) _ （答： 2 2 ）； (2) 设 ABC 中， tan A tan B 3 3 tan Atan B ， sin Acos A 3 ，则此 三角形是 _三角形（答：等边） 4 (4) 三角函数次数的降升 ( 降幂公式：cos2 1 cos2 ，sin 2 1 cos2 与升幂公式： 2 3 2 1 cos2 2cos 2 ， 1 cos2 2sin 2 ) 。 如(1) 若 ( , ) ，化简 2 1 1 1 1 ）；（2）函数 2 cos2 为 （答： sin f ( x ) 5si

6、nxcos x 5 3cos x 2 2 2 _ 2 2 5 3( x R )的单调递增区间为 （答： k ,k 5 (k Z ) ） 2 12 12 (5) 式子结构的转化 ( 对角、函数名、式子结构化同 ) 。如（1） tan (cos sin stan （答： sin ）；（2）求证： 1 sin 1 tan 2 ；（3）化简 cot csc 1 2sin 2 2 1 tan 2 1 2cos4 x 2cos2 x 2 （答： 1 cos2 x ） 2tan( 2 ( x) 2 x)sin 4 4 sin 2 x cos2 x sec2 x tan2 x (6) 常值变换主要指“ 1”的

7、变换 （1 tan x cot x 3 ）. 4 2 等），如已知 tan 2 ，求 sin 2 sin cos 3cos2 （答： 5 (7) 正余弦“ 三兄妹 sinx cosx、sin xcosx ”的内存联系“知一求二”， 如（1）若 sin x cosx t ，则 sin x cosx _（答： t 2 1 ) ，特别提醒：这里 t 2, 2 ；（2） 2 若 (0, ),sin cos 1 ，求 tan 的值。（答： 4 7 ）；（3）已知 2 3 sin2 2sin 2 k ( ) ，试用 k 表示 sin cos 的值（答： 1 k ）。 1 tan 2 4 3、辅助角公式中辅

8、助角的确定 ：a sin x b cosx a2 b2 sin x (其中 角所在的象 限由 a, b 的符号确定， 角的值由 tan b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 如（1）若方 a 程 sin x 3 cos x c 有实数解，则 c 的取值范围是 _（.答： 2,2 ）；（2）当函数 y 2cos x 3 sin x 取 得 最 大 值 时 ， tanx 的 值 是 _( 答 ： 3 ) ； （ 3 ） 如 果 2 f x sin x 2cos(x ) 是奇函数，则 tan = ( 答 ： 2) ； （ 4 ） 求 值 ： 3 1 64 sin 2 20 _答(： 32) si

9、n 2 20 cos2 20 4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数 （要注意选择，其标准有 二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。 如（1, (0, ) ，且 tan 、 tan 是方程 x2 5x 6 0 的两根，则求 的值_（答： 3 ）；（2） ABC 中， 3sin A 4cos B 6,4sin B 3cos A 1 ，则 C _（答： 4 3 ）；（3）若 0 2 且 sin sin sin 0 ， cos cos cos0 ， 的值（答： 2 求 ）. 5、. 3 三角形中的有关公式 ： (1) 内角和定理：三角形三

10、角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补， 任意两半角和与第三个角的半角总互余 . 锐角三角形 三内角都是 锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方(2) 正弦定理： a b c 2R ( R 为三角形外接圆的半径 ). 注意：正弦定理的 sin A sin B sin C a b ,sin C 一些变式： i a b c sin A sin B sin C ； ii sin A ,sin B c 2R 2R a 2R sin A, b 2Rsin B,b 2Rsin C ；已知三角形两边一对角， 求解三角形

11、 ； i2R 时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 . (3) 余弦定理：a2 b2 c2 2bc cosA,cos A b2 c2 a2 等，常选用余弦定理鉴定三角 形的形状 . 2bc (4) 面积公式： 1 1 1 （其中 r 为三角形内切圆半径） 如 S 2 aha 2 ab sin C 2 r (a b c) . ABC 中，若 sin2 A cos2 B cos2 A sin2 B sin2 C ，判断 ABC 的形状（答：直角三角 形）。 特别提醒 ：（ 1）求解三角形中的问题时，一定要注意 A B C 这个特殊性： A B A C ,sin( A B) sin C ,sin

12、 cos ；（2）求解三角形中含有边角混合关系 2 2 的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1） ABC 中，A、B 的对边分别是 a、b ，且 A=60 , a 6, b 4 ，那么满足条件的 ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在 ABC 中，AB 是 sin A sinB 成立的 _条件（答：充要）； （ ）在 ABC 中， (1 tan A)( 1 tan B ) 2 ，则 log 2 sinC 1 ）；(4) 在 ABC 3 （答： 中， a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边，若 ( a 2 b c )(sin A si

13、n B sinC ) 3a sin B ，则 a2 b2 c2 C =_（答： C _（答： 60 ）；（5）在 ABC 中，若其面积 S 3 ，则 4 30 ）；（6）在 ABC 中， A 60 , b 1 ，这个三角形的面积为 3 ，则 ABC 外接圆的直径 是 _（答： 2 39 ）； （ 7 ） 在 ABC 中， a 、 b 、 c 是角 A 、 B 、 C 的对边， 1 3 B C = ， b2 1 9 a 3,cos A ,则 cos2 c2 的最大值为 （答： ; ）； （8）在 3 2 3 2 ABC 中 AB=1 ， ，则角 C 的取值范围是 （答： 0 C ）；（ ）设 O

14、 是锐角三角形 BC=2 9 6 ABC 的 外 心 ， 若 C 75 ， 且 AOB, BOC , COA 的 面 积 满 足 关 系 式 S AOB S BOC 3S COA ，求 A （答： 45 ） 两角和与差的三角函数 例 1求2sin50+sin10(1+ 3 tan10) 2sin 2 80 的值. 解：原式= 2sin 50 sin10 1 3sin 10 cos10 2 sin 80 = (2 sin 50 sin 10 cos10 3 sin10 ) 2 sin 80 cos10 1 cos10 3 sin 10 = 2 sin 50 2sin10 2 2 2 cos10

15、cos10 = 2sin 50 2sin 10 sin 40 2 cos10 cos10 = 2 sin 2 cos10 2 2 sin 60 cos10 = 2 2 3 6. 2 变式训练 1：(1)已知 ( , )，sin = 3 ,则 tan( )等于（ 5 2 4 1 B.7 C. 1 D.7 A. 7 7 (2) sin163sin223+sin253 sin313等于 （ ） A. 1 B. 1 3 D. 3 C. 2 2 2 2 解： (1)A (2)B 例 2. 已知 ( 4， 3 cos ( 4 ) 3 ，sin(3 ) 5 4 )， (0， 4 ), 5 4 13 解： 3

16、 2 4 4 ( , 3 (0, 1 sin x 1 ) ) 1 4 4 3 (0, ) 3 ( 3 , ) 4 2 4 4 ） ，求 sin( )的值 sin( ) 4 cos( 3 ) 12 4 5 4 13 sin( )cos ( ) 2 cos( )( 3 ) 56 4 4 65 变式训练 2：设 cos（ ）= 1 ，sin（ 2 ）= 2 ，且 ，0 ， 2 9 3 2 2 求 cos（ +）. 解： ，0 ， ， .2 2 4 2 4 2 2 故由 cos（ ）= 1 ，得 sin（ ）= 4 5 . 2 9 2 9 由 sin（ ）= 2 ，得 cos（ ） = 5 .cos

17、2 =cos（ ）（ ） 2 3 2 3 2 2 = cos( )cos( ) sin ( )sin( ) = 1 5 2 4 9 3 3 9 2 2 2 2 2 7 5 2 7 5 cos（ +）=2cos 1= 2 27 2 27 239 -1= . 例 3. 若 sinA= 5 ,sinB= 5 10 ,且 A,B 均为钝角 ,求 A+B 的值. 解 A、B 均为钝角且 sinA= 5 ,sinB= 10 ， 5 10 cosA=- 1 sin 2 A =- 2 =- 2 5 ， 5 5 cosB=- 1 sin 2 B =- 3 =- 3 10 ， 10 10 cos(A+B)=cos

18、AcosB-sinAsinB = 2 5 3 10 - 5 10 = 2 5 10 5 10 2 又 A , B , 2 2 A+B 2 由知， A+B=7 . 4 2 A C 7 变式训练 3：在 ABC 中，角 A、B 、C 满足 4sin - cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2 解 在ABC 中，A+B+C=180, 由 4sin2 A C -cos2B=7 , 2 2 得 1 cos( A C ) 2 7 , 4 2 -2cosB+1= 2 2 所以 4cosB-4cosB+1=0. 于是 cosB= 1 ,B=60 . 2 2 2 2 2 1 例 4化简 sin sin +c

19、os cos - cos2 cos2 . 2 解 方法一 （复角单角，从 “角 ”入手） 原式=sin2 sin2 +cos2 cos2 - 1 (2cos2 -1) (2cos2 -1) 2 =sin2 sin2 +cos2 cos2 - 1 (4cos2 cos2 -2cos2 -2cos2 +1) 2 =sin2 sin2 -cos2 cos2 +cos2 +cos2 - 1 2 =sin2 sin2 +cos2 sin2 +cos2 - 1 2 =sin2 +cos2 - 1 =1- 1 = 1 . 2 2 2 方法二 （从 “名”入手，异名化同名） 原式=sin2 sin2 +(1-

20、sin2 ) cos2 - 1 cos2 cos2 2 =cos2 -sin2 (cos2 -sin2 )- 1 cos2 cos2 2 =cos2 -sin2 cos2 - 1 cos2 cos2 2 =cos2 -cos2 sin 2 1 cos2 2 1 cos2 -cos2 sin 2 1 (1 2 sin2 ) 2 2 1 cos2 1 cos2 1 2 - = . 2 2 方法三 （从 “幂”入手，利用降幂公式先降次） 1 cos2 1 cos 2 +1 cos 2 1 cos2 1 cos2 cos2 原2 2 2 2 - 2 = 1 (1+cos2 cos2 -cos2 -co

21、s2 )+ 1 (1+cos2 cos2 +cos2 +cos2 )- 1 cos2 cos2 = 1 . 4 4 2 2 方法四 （从 “形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin sin -cos cos )2+2sin sin cos cos - 1 cos2 cos2 2 =cos2( + )+ 1 sin2 sin2 - 1 cos2 cos2 2 2 =cos2( + )- 1 cos(2 +2 ) 2 =cos2( + )- 1 2cos2( + )-1 = 1 . 2 2 变式训练 4：化简：（1） 2 sin 4 x + 6 cos x ; 4 (2） 2 cos

22、 2 1 . sin 2 2 tan 4 4 解 （1）原式=2 2 1 x 3 x sin cos 2 4 2 4 =2 2 sin sin x cos cos x 6 4 6 4 =2 2 cos x =2 2 cos(x- ). 6 4 12 （2）原式= cos 2 cos2 =1. tan = 1 1 cos 2 cos2 sin 2 ) 1 tan (1 2 1 sin 2 二倍角的正弦、余弦、正切 例 1. 求值： sin 40 (1 2 cos40 ) 2cos2 40 cos40 1 解：原式 sin 40 sin80 cos40 cos80 sin(60 20 ) sin(

23、60 20 ) 3 cos(60 20 ) cos(60 20 ) 变式训练 1： (cos sin ) (cos sin ) （ ） 12 12 12 12 A 3 B 1 C 1 D 2 2 2 2 解：D 例 2 已知 为锐角，且 tan 1 ，求 sin 2 cos sin 的值. 2 sin 2 cos2 解： 为锐角 sin 2 cos sin sin ( 2 cos21) sin2 cos2 2sin cos cos 2 1 1 tan 2 5 cos 4 变式训练 2：化简： 2 cos 2 1 2 tan( ) sin 2 ( ) 4 4 解：原式 cos 2 1 2 sin

24、( ) 4 cos 2 ( ) cos( ) 4 4 例 3已知 f ( x) 3 sin 2 x sin xcos x ； (1) 求 f ( 25 ) 的值； (2) 设 (0, ), f ( ) 1 3 ，求 sin 的值 6 2 4 2 解：（1） sin 25 1 cos 25 3 6 2 6 2 f ( 25 ) 3 cos2 25 sin 25 cos 25 0 6 6 6 6 （2） f (x) 3 cos2x 3 1 sin 2x 2 2 2 f ( a 3 1 3 1 3 ) 2 cos sin 2 4 2 2 2 16sin224sin 110 解得 sin 1 3 5

25、8 2 (0, ) sin 0 故 sin 1 3 5 8 变式训练 3：已知 sin( ) 1 ，求 cos( 2 2 )的值 6 3 3 解： cos(2 2)2cos2( )1 3 3 2sin2( ) 1 7 6 9 例 4已知 sin2 2 sin 2 coscos2 1， (0， )，求 sin 、tan 的值 2 解：由已知得 sin22sin2 cos2cos20 即(sin2 2cos) (sin2cos)0 cos2 (1sin ) (2sin1)0 (0， 2 ) cos sin0 1 2sin 1 sin 1 3 tan 2 3 变式训练 4：已知 、r 是公比为 2

26、的等比数列 ( 0,2 ) ，且 sin 、sin 、sinr 也成等比数列， 求 、r 的值 解： 、r 成公比为 2 的等比数列 2，r4 sin 、sin 、sinr 成等比数列 sin sin r sin 2 sin 4 cos 2 cos2 2 1 sin sin sin sin 2 即 2cos2 2 cos 1 0 ，解得 cos 1 或 cos 1 2 当 cos1 时，sin 0 与等比数列首项不为零矛盾故 cos1 舍去 当 cos 1 时， 20,2 2 2 或 2 2 2 3 3 2 , 4 , r 8 或 4 , 8 , r 16 3 3 3 3 3 3 简单的三角恒

27、等变换 例 1： 不查表求值 2cos10 sin 20 = cos 20 例 2：已知 sin x 2cos x 0 2 2 （1）求 tan x 的值； cos2 x 的值 （2）求 2 cos( 4 x) sin x x x 0 , x 2 ， 解析：（ 1）由 sin 2 cos tan 2 2 2 2 tan x 2 2 4 tan x 2 2 x 1 22 1 tan 3 2 （2） 原式 cos2 x sin 2 x (cos x sin x)(cos x sin x) 2 2 (cos x sin x) sin x 2 ( cosx sin x) sin x 2 2 cosx

28、sin x cot x 1 ( 3) 1 1 sin x 4 4 【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手 . 例 3. (福建省师大附中 2008年高三上期期末考试 ) 设向量 a (cos ,sin ), b (cos ,sin ) ， 且 0 , 若 a b 4 4 ， tan ， 5 3 求 tan 的值。 【解题思路】先进行向量计算 , 再找角的关系 . 解析: a b cos cos sin sin 4 5 cos( ) 4 5 又 0 0 sin( - )=- 3 5 tan( - )=- 3 4 又 tan = 4 3 3 tan tan( ) tan( ) tan 4 3

29、1 tan( ) tan 3 4 24 1 ( ) 4 3 【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型 , 这类题往往是先进行向量运算 ,再进行三角变换 、例 4(2007 四川 )已知 cos 1 , cos( ) 13 , 且0 , 7 14 2 ( ) 求 tan 2 的值. （）求 . 【解题思路】由同角关系求出 tan 再求 tan2 ；又 结合角 的范围定角。 1,0 2 解析（）由 cos ，得 sin 1 cos 2 1 1 4 3 7 2 7 sin 4 3 7 3 ，于是 tan2 2tan 2 4 3 8 3 tan 7 4 1 tan 2 2 47 cos 1 1 4

30、 3 （）由 0 ，得 0 2 2 又 cos 13 ， sin 1 cos 2 1 13 2 3 3 14 14 14 由 得： cos cos cos cos sin sin 1 13 4 3 3 3 1 ,所以 3 7 14 7 14 2 【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。 例题 5：（08 湖北卷 16） 1 t f (sin x) sin x f (cos x), x ( , 17 已知函数 f (t ) , g( x) cos x ). 1 t 12 （）将函数 g(x) 化简成 Asin( x ) B （ A 0 ，

31、 0 ， 0,2 ) ）的形式； （）求函数 g(x) 的值域 . 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的 化简变形和运算能力 .（满分 12 分） 解：（） g( x) cos x 1 sin x sin x 1 cos x 1 sin x 1 cos x cos x (1 sin x)2 sin x (1 cosx)2 cos2 x sin2 x cos x 1 sin x sin x 1 cos x . cos x sin x x , 17 , cos x cos x, sin x sin x, 12 g( x) cos x 1 sin x

32、 sin x 1 cosx cosx sin x sin x cosx 2 2 sin x 4 2. （）由 x 17 ，得 5 x 5 . 12 4 4 3 sint 在 5 , 3 上为减函数，在 3 , 5 上为增函数， 4 2 2 3 又 sin 5 sin 5 , sin 3 sin( x )sin 5 （当 x , 17 ）， 3 4 2 4 4 2 即 1 sin( x 4 ) 2 ， 2 2 2 sin( x ) 2 3， 2 4 故 g(x)的值域为 2 2, 3 . 3x x 2sinx 例 6：:证明 tan 2 tan2 cosx cos2x 【解题思路】细心观察已知等

33、式中的角，发现它们有隐含关系： 3x x 2x， 3x x x 2 2 2 3x x 3x x 3x x 2 2 x sinxsin 2 cos2 cos2 sin2 3x x 又 cosxcos2x2cos2 cos2 即得： 3x x 2sinx sin 2 sin2 3x x cosxcos2x 3x x tan2 tan2 . cos2 cos2 【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少 ,方法与化简类似 . 例题 7：.(2009 山东卷理 )( 本小题满分 12 分) 设函数 f ( )=cos(2 x + )+sin 2 x . x 3 (1) 求函数 f(x) 的最大值和最

34、小正周期 . (2) 设 A, B, C为 ABC的三个内角，若 cosB= 1 ， f ( c ) 1 3 2 4 ，且 C为锐角，求 sin A. 解: （1）f(x)=cos(2x+ )+sin 2 x.= cos2 xcos sin2 xsin 1 cos2 x 1 3 x 3 2 2 sin2 3 3 2 所以函数 f(x) 的最大值为 1 3 , 最小正周期 . 2 （2） f ( c) = 1 3 sin C = 1 , 所以 sin C 3 , 因为 C为锐角 , 所以 C , 2 2 2 4 2 3 又因为在 ABC中, cosB= 1 , 所以 sin B 2 3 , 所以

35、 3 3 sin A sin( B C ) sin B cosC cos B sin C 2 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 6 . 3 【命题立意】 : 本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、 二倍角公式、三角函数的性质以及 三角形中的三角关系 . 例题 8：(2009 山东卷文 )( 本小题满分 12 分) 设函数 2 f(x)=2 sin x cos cosx sin sin x(0 ) 在 x 处取最小值 . （1）求 . 的值; （2）在 ABC中, a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边 , 已知 a 1,b2, f ( A) 3 , 求角 C. 2 1 cos

36、cos x sin sin x 解: （1） f ( x) 2sin x 2 sin x sin x cos cos xsin sin x sin x cos cos xsin sin( x) 因为函数 f(x) 在 x 处取最小值，所以 sin( ) 1, 由诱导公式知 sin 1 , 因为 0 , 所以 . 所以 f (x) sin(x ) cos x 2 2 （2）因为 f ( A) 3 3 ABC的内角, 所以 A . 又因为 , 所以 cos A , 因为角 A 为 2 2 6 a 1, b 2 , 所以由正弦定理 , 得 a b , 也就是 sin B b sin A 1 2 2

37、2 , sin A sin B a 2 因为 b a , 所以 B 或 B 3 . 4 4 当 B 时, C 7 ; 当 B 3 时, C 3 . 6 4 12 4 6 4 4 12 【命题立意】 : 本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质 , 并利用正弦定理解得三角形中的边角 . 注意本题中的两种情况都符合 . 解三角形 例题 2：2009 全国卷理）在 ABC 中，内角 A、B、C的对边长分别为 a 、 、 ，已知 a 2 c 2 2b ， b c 且 sin AcosC 3cos Asin C , 求 b 分析: 此题事实上比较简单 , 但考生反应不知从

38、何入手 . 对已知条件 (1) a2 c2 2b 左侧是二次的右 是一次的 , 学生 感 用余弦定理不好 理 , 而 已知条件 (2) sin Acos C 3cos Asin C, 多的关注两角和与差的正弦公式 , 甚至有的学生 想用 在已 不再考的 化和差 , 致找不到突破口而失分 . 解法一：在 ABC 中 sin AcosC 3cos Asin C , 由正弦定理及余弦定理 有: a a2 b2 c2 3 b2 c2 a2 c, 化 并整理得： 2( a2 c2 ) b2 . 又由已知 2ab 2bc a 2 c 2 2b 4b b 2 . 解得 b . 4或 b 0( 舍） 解法二 : 由余弦定理得 : a2 c2 b2 2bc cosA . 又 a2 c2 2b , b 0 。 所以 b 2c cosA 2 ? 又 sin AcosC 3cos Asin C ， sin AcosC cos A sin C 4cos A sinC sin( A C ) 4cos