2021年中考数学北师大版复习八年级下册第六章　平行四边形 素养拓展

1、第六章平行四边形,数学八年级下册北师,平行四边形”是在学生掌握了平行线的性质、全等三角形和四边形的有关知识的基础上进行研究的,既是已学知识的综合运用,同时又是进一步研究各种特殊平行四边形的基础,具有承上启下的作用.本章通过对“平行四边形”这一图形的认知,向学生渗透“转化”的数学思想,在结合图形从“已知”到“未知”或“由果索因”的过程中培养学生严谨的逻辑推理能力.例如第2题,先构造三角形,再根据图形构造平行四边形,最后根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较,培养学生的直观想象和逻辑推理;第3题,在复杂图形中探索线段之间的关系,通过构造图形应用三角形的中位线定理使问题简单化,1.与平行四边

2、形有关的规律问题如图,长方形ABCD的面积为16 cm2,对角线交于点O,以AB,AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角线交于点O1;以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B,对角线交于点O2依此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为 () A. 1 2 cm2 B.1 cm2 C.2 cm2 D.4 cm2,答案,1.A【解析】设长方形ABCD的面积为S,O为长方形ABCD的对角线的交点,平行四边形AOC1B的面积为 1 2 S; 平行四边形AOC1B的对角线交于点O1,平行四边形AO1C2B的面积为 1 2 1 2 S= 2 2 .由此可知平行四边形AO4C5B的面积为 2 5 = 1

3、6 2 5 = 1 2 (cm2).故选A,2.构造平行四边形和三角形探索路程问题在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D,G,K,Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是 (,答案,2.D【解析】A选项,延长AC,BE交于点S,CAD=EDB=45,ASED.同理SECD,四边形SCDE是平行四边形,SE=CD,DE=CS,即此人走的路线长是CA+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS.B选项,延长AF,BH交于点S1,作FKGH,交HS1于点K,在SAB和S1AB中,SAB=S1AB=45,SBA=S1BA=

4、70,AB=AB,SABS1AB, AS= AS1,BS=BS1,FGH=67=GHB,FGKH,又FKGH,四边形FGHK是平行四边形,FK=GH,FG=KH,AF+ FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,FS1+S1KFK,AS+BSAF+FK+KH+HB,即AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB.C选项,延长AI,BM交于点S2,过点M作MK1KI交IS2于点K1,易证得AI+IK+KM+MBAC+CD+DE+EB.D选项,延长AN,BP交于点S3,过点Q作QRAN交BP于点R,显然AN+NQ+QP+PBAN+NQ+QR+RB,即AN+NQ+QP+PBAI+IK+KM+MB.故

5、选D,3.构造图形应用三角形的中位线定理探索线段之间的关系(1)如图1,BD,CE分别是ABC的外角平分线,过点A作AFBD,AGCE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N.试说明:FG= 1 2 (AB+BC+AC). (2)如图2,若BD,CE分别是ABC的内角平分线,其他条件不变,则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并说明理由. (3)如图3,若BD为ABC的内角平分线,CE为ABC的外角平分线,其他条件不变,则线段FG与ABC三边的数量关系是,答案,3.【解析】(1)AFBD,ABF=MBF,BAF=BMF,MB=AB,AF=MF,

6、同理,CN=AC,AG=NG, FG是AMN的中位线, FG= 1 2 MN= 1 2 (MB+BC+CN)= 1 2 (AB+BC+AC). (2)FG= 1 2 (AB+AC-BC).理由如下: 如图1,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N, 由(1)可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG, FG= 1 2 MN= 1 2 (BM+CN-BC)= 1 2 (AB+AC-BC). (3)FG= 1 2 (AC+BC-AB) 如图2,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,同样由(1)可知, MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG, FG= 1 2 MN= 1 2 (C

7、N+BC-BM)= 1 2 (AC+BC-AB,答案,1.A【解析】四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,AO=CO,BAD=BCD,故B,C,D项都成立,只有A项不一定成立.故选A,一、选择题 1.2020广东中山期末如图,ABCD的对角线相交于点O,下列式子不一定正确的是 () A.AC=BD B.AB=CD C.BAD=BCD D.AO=CO,答案,2.C【解析】四边形ABCD是平行四边形,BACD,AB=CD,DEA=EAB.AE平分DAB,DAE= EAB,DAE=DEA,DE=AD=6,CD=CE+DE=4+6=10,AB=CD=10.故选C,2.2020北京房山区期

8、末如图,在ABCD中,AE平分BAD,交CD边于点E,AD=6,EC=4,则AB的长为 () A.1B.6 C.10D.12,3.原创题数学课上,老师出示了如下一道证明题. 分别代表 () A.中线、DEAC、一组对边平行且相等 B.中位线、DEAC、一组对边平行且相等 C.中线、CF=AD、两组对边相等 D.中位线、DEAC、两组对边相等,如图,在ABC中,点D,E分别是AB,BC的中点,延长DE至点F,使EF=DE,连接FC. 求证:四边形ADFC是平行四边形. 证明:点D,E分别是AB,BC的中点, DE是ABC的, ,DE= 1 2 AC. 又EF=DE,AC=DF, 四边形ADFC是

9、平行四边形.(的四边形是平行四边形,答案,3.B【解析】根据“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,可知代表中位线;根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半”,可知代表DEAC;根据推理过程可知DFAC,DF=AC,故代表一组对边平行且相等,答案,4.B【解析】ABDC,ABC与ABD的面积相等,AEBD,BED与ABD的面积相等,和ABD的面积相等的三角形有ABC,BDE,共2个.故选B,4.如图,ABDC,EDBC,AEBD,那么图中和ABD面积相等的三角形(不包括ABD)有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案,5.C【解析】

10、多边形ABCDEF是正六边形,FAB=ABC= (62)180 6 =120.AP是FAB的平分线, PAB= 1 2 FAB=60.P=40,ABP=180-PAB-P=80,CBP=ABC-ABP=40.故选C,5.如图,过正六边形ABCDEF的顶点B作一条射线与其内角BAF的平分线相交于点P,且P=40,则CBP的度数为 () A.80B.60 C.40D.30,答案,6.B【解析】在ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,AB2+BC2=25=AC2,ABC为直角三角形,且B=90.四边形ADCE是平行四边形,OD=OE,当OD取最小值时,DE最短,此时ODBC,D为BC的中点,OD是

11、ABC的中位线, OD= 1 2 AB=1.5,DE=2OD=3.故选B,6.2019安徽阜阳一模如图,在ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,点D在边BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的长的最小值是 () A.2 B.3 C.4 D.5,答案,7.C【解析】如图,过点P作直线EFAD,交AB,CD于F,E,四边形ABCD是平行四边形,EFADBC,四边形ADEF,BCEF都是平行四边形,S1= 1 2 SADEF,S2= 1 2 SBCEF,S1+S2= 1 2 SADEF+ 1 2 SBCEF= 1 2 (SADEF+SBCEF)= 2,7.2020山东临沂中考如图,

12、P是面积为S的ABCD内任意一点,PAD的面积为S1,PBC的面积为S2,则 () A.S1+S2 2 B.S1+S2 2 C.S1+S2= 2 D.S1+S2的大小与P点位置有关,答案,8.A【解析】四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,BO=DO= 1 2 BD,AO=CO,ABCD.BD=2AD, BO= DO=AD=BC,又点E是OC的中点,BEAC,正确;E,F分别是OC,OD的中点,EF是OCD的中位线,EF DC,CD=2EF.G是AB的中点,AB=2BG,又CD=AB,CDAB,BG=EF,EFCDAB,四边形BEFG是平行四边形,正确;四边形BEFG是平行四边形

13、,EFGGBE,正确,8.2019山东临沂一模如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点.给出下列结论:BEAC;四边形BEFG是平行四边形;EFGGBE.其中正确的个数是 () A.3 B.2 C.1 D.0,答案,9.45【解析】如图,由多边形的外角和等于360可知,1+2+3+4+5= 360,1+2+3+4=225,5=135,AED=45,又EDAB,1= AED= 45,二、填空题 9.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EA组成的平面图形,若1+2+3+4=225,EDAB,则1的度数为,答案,10.120【解析】ADB=

14、90,AO= 2 + 2 = 144+25 =13.AC=26,CO=AO=13,又DO=BO,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD的面积=4SADO=4 1 2 125=120,10.2020湖北武汉青山区模拟如图,在四边形ABCD中,AD=12,对角线AC,BD交于点O,ADB=90,OD=OB=5,AC=26,则四边形ABCD的面积为,答案,11. 6 5 DE2【解析】如图,作CHAB于H,连接CM,在RtABC中,AB= 2 + 2 = 5,SABC= 1 2 ACBC= 1 2 ABCH, CH= = 12 5 .点D,E分别为CN,MN的中点,DE是MNC的中位线,DE=

15、1 2 CM,当CMAB,即M与H重合时,CM最小,最小值为 12 5 ,当点M与点B重合时,CM最大,最大值为4, 6 5 DE2,11.2020江苏泰州姜堰区期末如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE长度的取值范围是,答案,12.1530【解析】由题意知BC=AC=AB=10 m,AP=BP=5 m,PP1BC,P1P2AB,PP2AC,四边形BPP1P2, PP1CP2是平行四边形,PP1=BP2=P2C=5 m,P2P1=BP=5 m.易得BPP2是等边三角形,P2P=5 m,PP1+P2P1

16、+P2P= 15 m,此人走了15 m.若某人从边AB边上任意一点出发,同理可证四边形BPP1P2,PP1CP5,AP3P2P1,APP5P4,P3P4CP2是平行四边形,PP1=BP2,P1P2=BP,PP5=P1C,P4P5=AP,P2P3=AP1,P3P4=P2C,PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P=BP2+ BP+AP1+P2C+AP+P1C=AB+AC+BC=30 m,12.2020河北唐山一模在边长为10 m的等边三角形ABC空地上,如图1,某人从边AB的中点P出发,先沿BC的方向运动到AC边上的点P1,再由点P1沿AB的方向运动到BC边上的点P2,又由点P2沿

17、CA的方向运动到AB边上的点P3,此时P3与P重合,则此人走了m.若此人从AB边上任意一点(不与A,B重合)出发,如图2,按照上面的规律运动,则此人运动 m,就能回到起点,三、解答题 13.2020浙江台州期末如图,在ABC中,ACB=90,CAB=30,以线段AB为边向外作等边三角形ABD,点E是线段AD的中点,连接CE. (1)求证:四边形BDEC为平行四边形. (2)若AB=8,求四边形BDEC的面积,答案,13.【解析】(1)在ABC中,ACB=90,CAB=30, ABC=60,BC= 1 2 AB. ABD是等边三角形, DAB=60,AD=AB, ABC=DAB, ADBC. 点

18、E是线段AD的中点, DE= 1 2 AD,BC=DE, 四边形BDEC为平行四边形. (2)在RtABC中,BAC=30,AB=8, BC= 1 2 AB=4, 根据勾股定理,得AC= 2 2 =4 3 , SBDEC=44 3 =16 3,答案,14.【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, ADB=CBD, O是对角线BD的中点,OB=OD,14.2020江苏苏州模拟如图,ABCD中,O是对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交DA,BC的延长线于点E,F,连接OC,DF. (1)求证:AE=CF. (2)若AE=BC,试探究线段OC与线段DF之间的关系,并说明

19、理由,答案,在BOF和DOE中, =, =, =, BOFDOE(ASA), DE=BF, DE-AD=BF-BC, 即AE=CF. (2)OCDF,且OC= 1 2 DF.理由如下: AE=BC,AE=CF, CF=BC, OB=OD, OC是BDF的中位线, OCDF,且OC= 1 2 DF,15.如图,将ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,折痕所在的直线l交CD边于点E,连接BE. (1)求证:四边形BCED是平行四边形. (2)若BE平分ABC,求证:AB2=AE2+BE2,答案,15.【解析】(1)由折叠的性质,可知DAE=DAE,DEA=DEA,D=ADE. DEAD,DEA=EAD, DAE=EAD=DEA=DEA, ADDE,四边形DADE是平行四边形, DE=AD. 四边形ABCD是平行四边形,ABDC,AB=DC, CE=DB, 四边形BCED是平行四边形. (2)BE平分ABC,CBE=EBA. ADBC,DAB+CBA=180. DAE=BAE,EAB+EBA=90, AEB=90, AB2=AE2+BE2,16.如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=60,AB=8,BC=16,AD=6,E是BC的中点,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动,点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运