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文档简介

1、2019 年北京大学优秀中学生数学金秋营试题学科专业能力测试一第一天2019 年 10 月 14 日下午 14:00 17:301、在 ABC内部有一点 P满足 PAB=PCB=，L 在 AC上且 BL平分 ABC，延长 PL 交 APC的外接圆于 Q。证明： BQ平分 AQC.2 、 对 于的 一 个 排 列 定 义 函 数f()=. 求 所 有 的 排 列 中 ，f() 的最小值。3、求所有正整数 a,b,c满足对任意实数 u,v,0uv1.存在正整数 n, 使得 (u,v)成立 .4、设 p 为奇素数， p 1(mod 4). 正整数 a,b 满足 -p =1.设 q 也为奇素数，(q,

2、bp)=1.考虑同余方程-2a +10(mod q). 证明下述 3 个论述等价 :（ 1） p 为模 q 的二次剩余；（ 2）同余方程存在一个解；（ 3）同余方程存在四个互不相同的解。学科专业能力测试二第二天2019 年 10 月 15 日上午 09:00-12 ： 005、设函数 f(x)=, 且 x-1,1时， |f(x)| 1，求 | 的最大可能值。6、一个班里有 50 人，相互之间发短信，若在三个人 A,B,C 之间，仅有 A 给 B 发过短信， B 给 C 发过短信， C给 A 发过短信。则称 A,B,C 三个人构成一个“循环”，试求这 50 个人中“循环”个数的最大可能值。7、试求所有正整数 a, 使得对任意正整数 k , 都存在正整数 n, 使得 an+2019 是一个正整数的 k 次方。8、对（ 0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（ 0，1）中的实数 10 染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相

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