高中数学 第2章 数列 2.3.2 等比数列的通项公式 苏教版必修5

1、2.3.2等比数列的通项公式,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,1.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1. 预习交流1 q1时,等比数列an是递增数列吗? 提示:不一定,q1,a10时,等比数列an才是递增数列,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,预习交流2 在等比数列an中,若aman=apaq,则m+n=p+q一定成立吗? 提示:不一定.若等比数列是非零常数列,则此结论就不一定成立. 预习交流3 (1)已知等比数列an中,a1=32,公比 ,则a6=. (2)在等比数列an中,若a2,a8是方程x2-8x+6=0的两个根,则a4

2、a6=. 提示:(1)-1(2)6,一,二,三,一、等比数列的通项公式及其应用 活动与探究 例1在等比数列an中, (1)若a4=27,q=-3,求a7; (2)若a2=18,a4=8,求a1和q. 思路分析:根据已知条件分别求出等比数列的首项与公比,利用通项公式求解. 解:(1)方法一:由a4=a1q3, 得27=a1(-3)3,得a1=-1, a7=a1q6=(-1)(-3)6=-729. 方法二:a7=a4q3=27(-3)3=-729,一,二,三,一,二,三,2.等比数列an中,a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求an的通项公式,一,二,三,名师点津 a1,q是等比数列的基本

3、量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解.主要有两种方法:一是根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法;二是充分利用了各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,但它带有一定的技巧性,能简化运算,一,二,三,二、等比数列的性质 活动与探究 例2(1)在等比数列an中,若a2=2,a6=162,试求a10. (2)等比数列an中,an是正实数,a4a5=8.求log2a1+log2a2+log2a8的值. 思路分析:利用等比数列的性质来求简单,一般不通过求a1与q来求. 解:(1)方法一:a6=a2q4,其中a2=2,a6=162, q4=81.a

4、10=a6q4=16281=13 122. 方法二:2,6,10三数成等差数列,a2,a6,a10成等比数列. (2)a1a2a3a8=(a1a8)(a2a7)(a4a5)=(a4a5)4=84=212, log2a1+log2a2+log2a8=log2(a1a2a3a8)=log2212=12,一,二,三,迁移与应用 1.在等比数列an中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9=. 答案:81 解析:由等比数列的性质知a2a3a4a5a6a7a8a9 =(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81. 2.已知各项均为正数的等比数列an中,

5、a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.等比数列有些问题用基本量法解并不一定简单,而避开求a1与q,直接利用等比数列的性质求解,使问题简单明了.因此要熟悉等比数列的性质,并注意性质在解题中的应用. 2.此类问题的解答,如果采用直接法计算,有时计算量会很大,甚至会半途而废,运用等比数列的性质,会简化运算过程,要注意领会整体思想,观察整体特征,找到它们的内在联系,选取合适的方法,一,二,三,三、等差、等比数列的综合应用 活动与探究 例3已知an是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列. (1)求q的值; (2)设bn是以2为首项,q为公

6、差的等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由. 思路分析:(1)根据a1,a3,a2成等差数列,怎样建立关于公比q的一元二次方程?(2)比较大小可用什么方法,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2.已知an为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为. 答案:110 解析:设等差数列an的首项为a,公差d=-2. 则a7=a1+6d=a1-12; a3=a1+2d=a1-4; a9=a1+8d=a1-16,一,二,三,3.等比数列an中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列an的通项公式; (2)若a3,

7、a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn. 解:(1)设an的公比为q,由已知得16=2q3,解得:q=2. an=22n-1=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,一,二,三,名师点津 等比数列和等差数列一样,在高考中始终处于热点位置.等比数列的判定、通项公式以及等比数列与等差数列的综合已成为高考的热点,题型既有小题又有解答题,难度中等;客观题突出对性质的灵活运用及对概念的理解,主观题考查较全面,在考查基本概念、基本运算的基础上又注重考查函数与方程、等价转化和分类讨论等思想方法,2,3,4,5,1,1.已知等比数列an满足a

8、1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于 () A.64B.81C.128D.243 答案:A 解析:设等比数列的公比为q, a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2)=6,q=2. 又a1+a2=a1+a1q=3,3a1=3. a1=1.a7=26=64,6,2,3,4,5,1,答案:A 解析:1,a1,a2,4成等差数列, 3(a2-a1)=4-1,a2-a1=1. 又1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,6,2,3,4,5,1,3.等比数列an中,a20+a21=10,a22+a23=20,则a28+a29=. 答案:160 解析:a22+a23=q2a20+q2a21=q2(a20+a21),即20=q210. q2=2.