高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程 北师大版选修2-1

1、第三章1椭圆,1.1椭圆及其标准方程,1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题. 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的 的点的集合叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 知识点二椭圆的标准方程,答案,c2a2b2,焦距,距离的和等于常数(大于|F1F2,椭圆,焦点,c，0)，(c，0,0，c)，(0，c,c2a2b2,返回,思考(1)椭圆定义中，将

2、“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答案当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？ 答案a，b的值及焦点所在的位置,答案,题型探究 重点突破,题型一用待定系数法求椭圆的标准方程 例1求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10； 解因为椭圆的焦点在x轴上,解析答案,因为2a10，所以a5. 又因为c4，所以b2a2c252429,2)焦点在y轴上，且

3、经过两个点(0,2)和(1,0). 解因为椭圆的焦点在y轴上,解析答案,反思与感悟,因为椭圆经过点(0,2)和(1,0,反思与感悟,求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2By21(A0，B0，AB)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程,解析答案,解析答案,解方法一(1)当焦点在x轴上时,2

4、)当焦点在y轴上时,此时不符合ab0，所以方程组无解,方法二设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0且AB,解析答案,题型二椭圆定义的应用 例2已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|PF2|2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程； 解依题意知|F1F2|2， |PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|， 点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,解析答案,反思与感悟,2)若F1PF2120，求PF1F2的面积. 解设m|PF1|，n|PF2|，则mn2a4. 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2m2n22mncosF1PF2， 4(mn)22mn(1c

5、os 120)，解得mn12,PF1F2,反思与感悟,在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|PF2|看作一个整体来处理,解析答案,所以a5， 故有|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，|AF2|BF2|AB|， 所以AF1B的周长为|AF1|BF1|AB| |AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|

6、BF1|BF2|) 2a2a20,题型三与椭圆有关的轨迹问题 例3 已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示. 由|BC|8可知点B(4,0)，C(4,0). 由|AB|AC|BC|18得|AB|AC|108|BC|， 因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上 的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上. 由a5，c4， 得b2a2c225169,反思与感悟,利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所

7、满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程,解析答案,返回,跟踪训练3 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程,解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B， |PB|r. 又圆P与圆A内切，圆A的半径为10， 两圆的圆心距|PA|10r， 即|PA|PB|10(大于|AB|6). 圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. 2a10,2c|AB|6. a5，c3，b2a2c225916,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是() A.椭圆 B.直线

8、 C.圆 D.线段 解析|MF1|MF2|6|F1F2|， 动点M的轨迹是线段,D,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,2.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是() A.1 B.2 C.3 D.4,B,解析答案,B,解析根据椭圆的定义知|PF1|PF2|8. 又|PF1|PF2|2，所以|PF1|5，|PF2|3. 而|F1F2|4， 所以|F1F2|2|PF2|2|PF1|2， 所以PF1F2是直角三角形，故选B,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,解析答案,4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,C,解析答案,1,2,3,4,5,由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|2100. 又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100， 即1962|PF1|PF2|100.