2015年广州市一测理科试题及参考答案

1、试卷类型：A92015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2015.3本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟.注意事项：可、1.答卷前，考生务必用 2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，

2、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。1参考公式：锥体的体积公式V = Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.312 +22 + 32 +川 + n2 =匹竺口（n壬N*）.一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =1,2,3,4,5 ,集合M =3,4,5, N =1,2,5,则集合1,2可以表示为

3、B. （euM）nNC. Mn（euN）D.（痧M）n（uN）2.已知向量a = （3,4 ），若）.a= 5，则实数a的值为1,丄1A. -B . 1C. 土一551）,其中茎为十位数,3.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图 叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是B. 91, 92D. 91.5, 92A. 91, 91.5C. 91.5, 91.54.直线x+ay +1=0与圆x2 . 2:+（y T ） =4的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.不能确定fx+ y +4 0,5.若直线y =3x上存在点（x,y ）满足约束条件m的取值范围是2x-y+80,则

4、实数x1是关于x的绝对值不等式 X + X-1 a有解的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.已知i是虚数单位,C是全体复数构成的集合，若映射f ：c T R满足：对任意Z1, Z2 C，以及任意几丘 R ,都有 f （辽 +（1 - A ）Z2 ）= Af （ z, ） + （1 几）f（Z2 ）,贝y称映射f具有性质P.给出如下映射： f1：CTf1（z）=x y , z=x + y i（x,y壬 R）; f2：CTf2（z） = x2 y,z =x + y i（X, y 亡 R）; f3：CTf3（z）=2x+y,z = x + yi（x,y R）；

5、P的映射的序号为B.其中，具有性质A.二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30 分.（一）必做题（913题）9.已知tana =2，贝U tan2a的值为C.D.10.已知e为自然对数的底数，若曲线 y =xex在点（1,e）处的切线斜率为11.已知随机变量X服从正态分布N（2,1）.若P （1X 3）等于212.已知幕函数f （X ）=x3甲Z ）为偶函数，且在区间（0,畑）上是单调增函数，则f （2 ）的值为13.已知n,k亡N *，且k0, 0 的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（冷,2 ）和x0 + ； , -2（1）求函数f（x）的解

6、析式;(2)求 sin Lo +-的值.I 4丿17.(本小题满分12 分)1袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取 2个球都是白球的概率为 1，7 每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1) 求袋子中白球的个数；(2) 求X的分布列和数学期望.18.(本小题满分14 分)如图4，在边长为4的菱形ABCD中，NDAB =60，点E , F分别是边CD , CB的中点，ACEF =0,沿EF将:EF翻折到PEF，连接PA,PB,PD，得到如图5的五棱锥P - ABFED，且PB = JT0(1) 求证：BD

7、丄平面POA ；(2) 求二面角B -AP -0的正切值.CA0 ).f 1、f 2 )丫 n )1+-1+-1 n丿V nJ1 n丿0对x(0,xc)都成立，求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数，证明：y N*，灵丈2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案 不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2. 对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不

8、 得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性.共 分30分.其中1415题是选做题，考生只能选做一题.49.7小题，每小题5分，满10. 2e11. 0.158712. 1613. n(n +1)2215. 73说明：第14题答案可以是（返4+2町z .第8题，可以用特殊值法：令.4Z1=a+bi, Z2=c+di,容易

9、验证正确，错。第13题令cn+22c2+32c3+|i + k2cn+| + n2cn = ( nc0_, + 2nCz+IH + kncnAlln2cn：)令S=nc0 + 2ndj+IH + kncn：Nl）+ n2cn：1倒序相加容易得出结果。三、解答题：本大题共 6小题，满分80 分.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的 数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得A =2,题号12345678答案BDCAACBB,得=2 ,- f（x）=2sinHV 6丿（2）解：点（Xo,2 ）是函数f（x） =2sin

10、2X+-】在y轴右侧的第一个最高点I 6丿JIJI JI- 2x0 + =6 2兀X0 =一 .6（兀）（JI兀） sin! x0+ = sinI I4丿164丿兀兀兀兀=si n cos + cos sin 646410分222211分12分17. （本小题满分12分）C2 c； 7（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考 查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n（n亡N）个白球，依题意得,n（n-1 ）726 = 1， 化简得，n2-n-6 =0 ,2解得，n =3或n = -2 （舍去）.袋子中有3

11、个白球.（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球.X的可能取值为0,1,2,3 ,43 42P(X=0=, P(X=1= X =, 7767c 3 2 44 cvc 3 2 143510分P(X =2 = -x-x-=,P(X =3 = -x-x-x-765357654X的分布列为：X0123P42417735359分1111分42413.EX =0x+1x+2x +3x 一=一 .，”，”，”,773535 518.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

12、)(1) 证明：点E , F分别是边CD , CB的中点，BD / EF .”,，”菱形ABCD的对角线互相垂直，BD 丄 AC .EF 丄 AC .:EF 丄 AO , EF 丄 PO .AO匚平面POA ,EF丄平面POA .BD丄平面POA .(2) 解法 1：设 AOplBD =H ,POU 平面 POA , AOn P0 =0 ,连接B0 ,12分N DAB =60 , ABD为等边三角形 BD =4 , BH =2 ,ha=273, HO = po =73.,在 R t BHO 中，bo=Jbh2+HO2 =77 ,2 2 2在PBO 中，BO +PO =10 = PB ,PG5分

13、AA”，”6 分BOU 平面 BFED ,EOB PO 丄 BO./ PO 丄 EF , EFnBO=O , EF u 平面 BFED , PO 丄平面 BFED .过H作HG丄AP，垂足为G，连接BG ,由(1)知BH丄平面POA ,且AP匚平面POA , BH 丄 AP./ HG n BH = H , HG u 平面 BHG , BH 匚平面 AP丄平面BHG ./ BG u 平面 BHG , AP 丄 BG .BHGNBGH为二面角B-AP-O的平面角.10分1511分12分在 Rt BHG 中,tan NBGH-BH2HG 730TsO13分二面角B- AP O的正切值为730314分

14、在 Rt POA 中，AP = Jao2 +po2 =735，在 Rt POA和 Rt HGA 中，必POA = NHGA =90 PAO =NHAG , Rt POA Rt HGA. PO PA HG HA .PO .HA 0273 TSo设平面PAB的法向量为n =（X, y,z）,解法2：设AO n BD = H，连接BO , BD=4 , BH =2 , HA = 273, HO 二 PO =73在 R t BHO 中，BO = JbH2 +HO2 =77 , 在PBO 中，BO2 + PO2 =10 = PB2， PO 丄 BO .”，”，”/ PO 丄 EF , EFAbOO ,

15、EF U 平面 BFED , BO u 平面 BFED , PO 丄平面 BFED ., 以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，OP所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系 O xyz，则 A(0,3/3,O ), B(2,73,0 ),P(0,0,73 ), H(0,-虫,0 )., AP =(0,33，亦)，AB =(2,2 応,0).8分由 n 丄 AP , “丄 AB，得 p+f0, l2x+2j3y =0.令 yd，得 Z = -3 , X = y/310分平面 PAB 的一个法向量为 n =（-J3,1,3）.,11分由（1）知平面PAO的一个法向量为 話 =（_2,0,

16、0 ）,设二面角B AP O的平面角为e ,BH.2 品n BH 1则 cos9 = coS n, BH sin/COS二姮13tan血cos日739百73o -312分13分14分二面角B AP O的正切值为佃.（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创新意识）（1）解： 01 =1耳十=2虑+1,= zyS!+1=201+1=3.(2)解法 1 由 an卅二21，得 Sn41 Sn 二21,故 Sn+=(jS1ban0 , Sn 0.二数列qs?是首项为屆=1，公差为1的等差数列. Sn = n2.当 nX2时，a

17、n=SnSn2 2=门2 -(n-1 )=2n-1 ,又a 1适合上式，何=2 n-1.解法 2：由 an+ =2jSr +1，得(an十 T ) =4Sn ,2当 n2时，（务一1） =4Sn,2 2( an 4(an)=4(SnSn)=4an .an*-an-2an-2an=0. ( an 十 + an X an 出 _ an _ 2 ) = 0 .an 0an+-an =2数列aj从第2项开始是以a2 =3为首项，公差为2的等差数列.务=3 +2(n-2) = 2 n-1(n2). ai =1适合上式, an = 2n 1.解法3：由已知及（1 ）得印=1, a2 =3 ,猜想 an =

18、 2n -1.F面用数学归纳法证明当n =1，2时，由已知6 =1 =2x1-1，a2 =3 = 2咒2-1，猜想成立.”,假设n = k （k 2 ）时，猜想成立，即 ak = 2k -1,由已知ak十 = 27S1，得( ay 一1 ) = 4Sk,故何-1 ) = 4Sk A .2 2.(akH1 -1 ) 一(ak -1 ) =4(Sk Sk4 ) = 4ak.-aik41ak2ak+2ak =0.(akH1 +ak Xak十Sk -2 )= 0 . ak AO,ak+ A0,-ak+-ak 一2. ak =ak +2=2k -1+2 =2(k+1 )-1.故当n = k +1时，猜想

19、也成立.由知，猜想成立，即an =2 n1.(3)解：由知 an =2 n-1, sn /Zn-1 Ln2.假设存在正整数k,使敢，S2k_i，a4k成等比数列，2则 S2k = ak a4k .10分4即(2k -1 ) =(2k -1 )泸k -1 ).11分 k为正整数， 2k -1 H0 .3 (2k-1 ) =8k-1. 8k3-12k2+6k-1 =8k-1.化简得 4k3-6k2-k=0.12分/k 工0, 4k2-6k-1=0.解得k严J6,与k为正整数矛盾.,13分14分不存在正整数k,使ak,S，ka, a4k成等比数列.，,20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的

20、方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）2(1)解法 1： 双曲线 C2：yy2=1 的顶点为 F1hZ2, 0) ,F2Z2,0),-椭圆G两焦点分别为F1h/2, 0), F22, 0).2 2设椭圆G方程为J宀=1(ab0 ),a b-椭圆G过点A (J2, 1), 2a = Ah + AF2 =4，得 a =2. b2=a2-(72)2=2.二椭圆Ci的方程为2 2xy=1.422x解法2: /双曲线C2 :2_y2 =1 的顶点为 Fi(-72,0),F2(J2,0), ,-椭圆G两焦点分

21、别为Fi（J2,0）,F2（J2,0）.2 2设椭圆C1方程为笃=1（a：bA0 ）,a b-椭圆 Ci 过点 A（1）,212 十2 = ab. a2 “2 +2 ,由解得a2 =4,b2 =2 .2 2-椭圆G的方程为0+匕=1.42（2）解法1设点Q（x, y），点P（洛，yj ,由A(-J2, 1)及椭圆Ci关于原点对称可得 B(J2, -1), A3=(x + 72,y1), AP=(Xi+72, yi1),B3=(x-72, y+1), BP =(Xi-72,yi+1).由 AS”A? = 0，得(x+72)(n+V2)+(y-1)(yi-1)=0,即(x+72)(Xi +血)=

22、-(y-1)(yi-1).=(y+i)(yi+i).，,同理，由 BQ BP=0,得(x-J2)(Xi - J2)咒得(x2-2)(xi2-2)=(y2-1)(yi21).2 2由于点P在椭圆Ci上，则乡+号=1，得Xi2=4-2yi2,2 2 2 2代入式得-2(yi -1)(x -2)=(y -1)(yi -1).17当 yi -1 H 0 时，有 2x2 + y2 = 5,当yi _1 = 0,则点P（J2, 1）或p（J2,i）,此时点Q对应的坐标分别为（42,1）或（_J2, _1），其坐标也满足方程 2x2 + y2 =5.当点P与点A重合时，即点P （J2, 1），由得 y = J2x -3 ,I2x2+y2=5,厂f近）解方程组4L得点Q的坐标为（J2, -1 ）或i，-2 .卜皿-3,V2 丿同理,当点P与点B