可以打印}】高数的全部公式大全

1、高等数学复习公式高等数学公式导数公式:X第1页共9页(tgx) =seC x(ctgx) = -CSC x(secx) =secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (axr axl na(logaxr xl na(arcsin x)，= . 1 2J1-X21(arccos x)= 一V1x21(arctgx)= _21 +x(arcctgx)，= -1 + x基本积分表:X -aX +aa +x1x=arctg aa1 . x-a亠厂 In +C2a X +a丄In匕+C 2a a -xx= arcsi n- +CaJchxdx = shx + CJtgxdx = In co

2、sJctgxdx =1 n si n X + CJsecxdx =1 n|secx+tgX +CJcscxdx= In |cscx-ctgX +C dxJ 2 丄2a +xdx22X -a dx22a -X dxJ2Va -XJ 巴 =fsec xdx =tgx +C cos x 、dx2J =fcsc xdx = -ctgx + Csin X fsecx tgxdx = secx + CJcscx ctgxdx =-cscx+CXfaxd- +CIn af shxdx = chx + C2=Jsinn xdx = Jcosn xdx =0 01I ndn, 2,Jx2 +a2dx = Jx2

3、 +a2 + In(x + Vx2 + a2) +C2 22aInfJx2 -a2dx =xVx2 -a2， 2-一In X + Vx2 -a2 +CjVa2-x2dx222 -x2 + arcsin 二 +C2三角函数的有理式积分:2usin X =7，1+ucosx=Wy,dx2du= 21 +u高等数学复习公式第2页共9页高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz )公式:n/(n) L ck (n 上)(k)(uv) =2； CnUvkX= U(n)v+ nuZv + n(n1)U心宀+ n(n-1)-(n-k+1)ugv(k5 +uv(n) 2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理

4、：f (b) -f (a) = f (E)(b-a)柯西中值定理：f(b)-f(a)4F(b)-F(a) F 徉)当F(x) =x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。定积分的近似计算：b矩形法：J f (x)ab梯形法：f(x)ab抛物线法：Jf (x)ba,俺(y。r i +yn) nb -a 1浹tW0十八+山b -aa和宀宀4心+4(yr心多元函数微分法及应用全微分：dz=dx+dydu =dx +理 dy + 匹 dzex纽excycz全微分的近似计算：Az止dz = fx(x, y)Ax+ fy(x,y)Ay多元复合函数的求导法：z = fu(t),v(t)u 亠 DZ l 1d

5、vdtcud点vazcz cuz = fu(x,y),v(x,y)=T+-exex当u=u(x,y), v=v(x,y)时，0,(x0,y0)为极小值 无极值 不确定fxy(X0, y。)=B,f yy (x0 , y0 ) = C贝AC B2 0时,AC -B2 =0时,曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：fx =(t), ly =屮(t)(a t P),贝y：pJf(x,y)ds = Jf半(t),屮(t)J 半 d(t)+屮2(t)dt(a cP)特殊情况:LOtX = tlyM(t)当卩=-y,Q =x，即：cx平面上曲线积分与路径

6、1、G是一个单连通区域;无关的条件:2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且坐=兰。注意奇点，女口 (0,0)，应&cy第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为jx=(t)，则：PJP(x,y)dx +Q(x,y)dy = J PW(t),W (t)p +Q护(t),屮屮(t)dtLa两类曲线积分之间的关 系：Pdx+Qdy= J(Pco吳+QcosP)ds其中a和P分别为LLI积分起止点处切向量 的方向角。EPFP格林公式：JJ(-丁)dxdyPdx +Qdy格林公式：JJ(丁-T)dxdy=qPdx +QdyD Cx点yLD Cx CyLFQ FP1一一=2

7、时，得至U D的面积：A= JJdxdy = qxdy-ydx D2 L减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：在色=时，Pdx + Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中: &cy(x,y)u(x,y) = JP(x, y)dx 中Q(x, y)dy,通常设 Xo =yo=a(xo,yo)常数项级数:4n等比数列：1 +q+ q2屮+q2=1q-1-q等差数列：1+2+3卡+n =2- +1是发散的n(n +1)n调和级数23级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)：2 1时，级数发散P =1时，设：P = lim 低,nT处2、比值审敛法:设：P

8、 =lim仏 nT比Un3、定义法:不确定级数收敛级数发散P 0)的审敛法莱布尼兹定理:fuUnH1如果交错级数满足 n:1|勢=0绝对收敛与条件收敛：,那么级数收敛且其和sUi,其余项rn的绝对值rnu卄。+ Un +，其中+ +un为任意实数;(1)U1 +U2 + |u|u2如果(2)收敛，贝y (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而 收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：2 -发散，而2匕忙收敛；nn1级数：2占收敛；nP级数:：冷nU3Un+P兰1时发散P A 1时收敛幕级数:. 丄 2 丄 3 丄丄 n1+x+x +x + + X +1X 时，收敛于丄1 -

9、x二1时，发散对于级数(3)aa1x + a2X2+anx +，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时发散，其中R称为收敛半径。=R时不定数轴上都收敛，则必存在R,使求收敛半径的方法:lim an=P,其中an, a1是(3)的系数，贝y ( P = o时， P = +oc 时，R = 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:(n)(xo)f(x2 f(x0)(x F + 警(x F2 卄+十(x x0)n +(n卅)(n 1)E余项：Rn = (x-x0)n+f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：limRO(n +1)!yxo =0时即为麦克劳林公式：f(x) = f(O) +f(O

10、)x +上x22!+njpC+皿xnn!一些函数展开成幕级数:丄 m彳丄丄m(m 一1)2(1+x) =1+mx+ x2!35x , xsin X =x -中一3!5!m(m-1)(m-n+ 叭nx.n!2n4x” +(_1)2(2n-1)!+欧拉公式:ix丄e =cosx +isinxL.eix +eTxcosx =或 Iix 2 4. e -esi nx = 2三角级数:+处a处f(t)=A0+S AnSin(n Bt+n)=0 中艺(an cos nx+bnSi n nx)n#2nz1其中，a。=aA0，an = An si n%，g AnCOSn， t=x。正交性：1,sin X, c

11、osx, sin 2x,cos2xsin nx,cosnx 任意两个不同项的乘积在-兀月上的积分=0。n，n，高等数学复习公式傅立叶级数:f(x)=鱼+2； (an cosnx+bnSinnx),周期 =2；i2an1 =f f (x)cosnxdx (n = 0,1,2)兀-JI兀|bn1=f f (x)sinnxdx(n = 1,2,3)2 兀81 11+ + 325211 +=6224十1宀223242111 I 223242+=(相加)62 兀=（相减）12正弦级数:2an =0, bn =Jf(x)sinnxdxn = 1,2,3f(x) =2 bnsin nx是奇函数余弦级数:2b

12、n = 0, an = J f (x) cos nxdxn = 0,1,2 af(x)=+送an cosnx是偶函数2第7页共9页周期为21的周期函数的傅立叶级数:高等数学复习公式ao处f(X)=丄 +5； (an cos +bn sin2 n4l1 ； /、 nj an =- J f (x) cosdx其中1I1n双|bn = - f (x)sindxI1 A1空)，周期=2llnTix(n =0,1,2 )niix(n =1,2,3)微分方程的相关概念:或 P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0一阶微分方程：yf (x, y)可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)d

13、y = f(x)dx的形式，解法:Jg(y)dy =Jf (x)dx 得：G(y) = F(x) +C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成 鱼= f(x,y)=(x,y),即写成的函数，解法：dxx设u =，贝U=u +xx dx即得齐次方程通解。岂,u+dxdu 分离变量，积分后将 代替u,dx dxX 半(u)-ux一阶线性微分方程:1、一阶线性微分方程:dx+p (x)y=Q(x)第15页共9页当Q(x) =0时，为齐次方程，y=CeTP(x)dx当Q(x) H0时,为非齐次方程，y=(JQ(x)ex)dx_rP(x)dxdx + C)e2贝努力方程:理+ P( x)y =Q(

14、x)yn,( nH0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx+Q(x,y)dy =0中左端是某函数的全微 分方程，即： 廿亠 乩cudu(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy =0,其中：一 =P(x, y), =Q(x, y) exc/. u(x, y) =C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：d2ydy卄&)三0时为齐次dxdx f(X)H 0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)”+ py+qy=0,其中 p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(r2 + pr+q=0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y”,y：y的系数;2、求出(A)式的两个根1,23、根据r1, r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:r1， r2的形式(*)式的通