《集合与函数的概念》

1、四川省德阳中学高2011 级复习第一章集合的概念及其运算第 1 讲集合的概念及运算数学 MATHEMATICS第一章 （必修一）集集合与函数的概念合kaodiandaodu01考点导读师生互动教学相长1. 了解集合的含义， 体会元素与集合的属于关系； 能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义。3. 理解两个集合的交集与并集的含义， 会求两个集合的交集与并集； 理解在给定集合中一个子集补集的含义， 会求给定子集的补集； 能使用文氏图表达集合的关系及运算， 体会直观图示对理解抽象概

2、念的作用。4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想。changguitixing02常规题型典型例题方法总结题型一集合的表示（ 1） 集合的含义：（ 2）体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义。3. 理解两个集合的交集与并集的含义， 会求两个集合的交集与并集； 理解在给定集合中一个子集补集的含义， 会求给定子集的补集； 能使用文氏图表达集合的关系及运算， 体会直观

3、图示对理解抽象概念的作用。4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想。【例 1】（ 1）集合 A=x|x=2k ，k Z ，B=x|x=2k+1 ，k Z ，C=x|x=4k+1 ， k Z ，又a A， b B，则一定有（）（ A） a+b A （B） a+bB （ C）a+b C （D） a+bA， B， C 中的任何一个（ 2）记满足下列条件的函数f （ x）的集合为M，当 |x 1| 1， |x 2| 1 时， |f （ x2） f2（x1） | 4|x 2x1| ，若 g（ x） = x +2x+1

4、，则 g（ x）与集合 M的关系（）（ A） g（ x） M （ B） g（ x）M （C） g（ x）M （ D）g（ x）M（ 3）（ 2012 年高考江西理） 若集合 A=-1 ，1 ，B=0，2 ，则集合 z z=x+y ，xA，yB中的元素的个数为（）（ A ） 5（B ） 4（C） 3（ D） 2【例 2】设 A 是数集，满足1 A，且 1A。aA1 a（）若 2A，求集合 A；（） A 能否为单元数集？若能，求出集合A，若不能，说明理由。【强化训练】题型二集合间的基本关系【例 3】若集合 P=y|y=x 2， x R， Q=y|y=x2+1， x R，则集合 PQ=（）（ A）

5、P（ B） Q（ C）（ D）无法确定【例 4】含有三个元素的集合既可表示为a ， b ，1 ，也可表示为 a 2， a+b，0 ，试求a2005+b2004 的值。a【例 5】集合 M=x|x= k+， kZ ， N=x|x= k+ ， k Z ，则（）2442（ A） M=N（ B） MN（ C） MN（ D） M N=【例 6】若非空集合 A、 B 满足 A B，则下列集合中为空集的是（）（ A） A B（ B） CUACUB （ C）CUA B（ D） A CUB题型三集合运算【例 7】已知集合M=（ x， y） |x+y=2 ，N=（x， y）|x y=4 ，则集合M N=（）（ A

6、） x=3， y= 1（ B）（ 3， 1）（ C） 3 ， 1 （ D） （ 3， 1） 【例 8】（ 1）已知集合 M= y|y=2x，N=y|y=x1，则 M N=（）（ A） y|y 1 （ B） y|y 1（ C） y|y 0（ D） y|y 0（ 2）全集 U=（ x， y）|x ， y R， A=（ x， y） |y3 =1 ，B=（ x，y） |y x+1 ，x2则 CU（ A B）=_ ；（ 3）若全集 U=R，f （ x），g（ x）均为 x 的二次函数， P= x|f （ x） 0 ，Q= x|g （ x）f (x)0P、 Q表示为 _ 。0 ，则不等式组的解集可以利用g

7、( x)0【强化训练】 已知集合 A= （x， y） | y3 =a+1 ，集合 B=（ x， y） | （ a2 1）x+（ ax 2 1） y=30 ，若两集合满足 AB=，试求实数 a 的值。【例 9】已知 A=x|x 2 ax+a2 19=0 ，B=x|log2（x2 5x+8）=1 ，C=x|x2+2x8=0 ，若A B且A C，求a 的值和集合A。【例 10】（1）已知取值范围。A=x|x 5| 10 ， B=x|x 5| k 且满足A B=B，求实数k 的（ 2）已知集合M= x|x a| 2 ， N= x| 2x1 1 ，则 M N，求实数 a 的取值范x2围。（ 3）已知 A

8、= x|10+3x x2 0 ， B= x|x 2 2x+2m 0 ，若 A B=B，求实数 m的取值范围。（ 4）已知集合A= x|x 2 axx a， a R ， B= x|2 x+1 4 ，若 AB=B，试确定a 的取值范围。【强化训练】 已知集合 A=x|x 3+2x2 x 20，B= x|x2+ax+b 0，且 A B= x|x+20 ， A B= x|1 x 3 ，求 a， b 的值。【例 11】关于实数 x 的不等式 | x(a1)2| ( a1)2与 x2 3（ a+1）x+2（ 3a+1）220 且 aR 的解集依次记为 A 和 B，求使 AB 的实数 a 的取值范围。分析：

9、（ 1）求出集合 A、B；（ 2）由 AB 列出关于 a 的不等式组，从而求出a 的取值范围。【点拨】分类讨论应做到：(1) 起点的寻找；（ 2）层次的划分，分类时应做到既不重复，又不遗漏。zhuantitanjiu03 专题探究专题探究优化思维【例 1】已知集合 A=（ x， y） |x 2+mx y+2=0 ， B=（ x， y）|x y+1=0， 0x 2 ，若 A B，求实数 m的取值范围。【注释】 集合问题与函数、 方程和不等式以及与整个中学数学知识有关，要正确运用集合的思想将问题相互转化，特别是数与形、代数与几何之间的转化。【强化训练】集合A=（ x， y）|y=a|x| ， B=

10、 x|y=x+a ，若 A B 为单元素集合，试求实数 a 的取值范围。ya | x |a | x | x a 。于是分情况 a 0与 a 0 讨论。分析：a xy【例 2】已知集合 M=（ x， y） |y= 16 x2y 0 与 N=（ x， y） |y=x+a ，若 M N=，求实数 a 的取值范围。【强化训练】设 A=（x，y）|x| 1，|y| 1 与 B= x| （ x a）2+（ y a） 21 ，若满足 A B，求实数a 的取值范围。【例 3】已知三集合2A=（ x，y）|x=n ， y=an+b，n Z ， B=（ x，y） |x=m， y=3m+15，m Z 与集合 C=（

11、 x，y） |x 2+y2 144 ，问是否存在实数a， b，使得：（ 1）A B；（ 2）（a， b） C 同时成立？分析：假设存在a、 b 使得成立，得到a 与 b 的关系后与x2+y2 144 联立，然后讨论联立的不等式组。解法 1：假 存在 a、b 使得 A B成立， 集合A=（x， y） |x=n ， y=an+b，n Z2A1=（ x，y）|y=ax+b ，xZ 与 B1=（ x，与 B=（x，y）|x=m，y=3m+15，m Z 分 集合2yaxb 与抛物 y3x215至少y） |y=3x+15， x Z ，于是两集合分 于直 要有公共点，即方程 y3x 215y 得 3x23x

12、2yax有解，于是消去 ax+15 b=0，从而依据bax+15 b=0 有解得22=a 12（15 b） 0，即 a 12b180（ 1）又 a2+b2 144（ 2），于是由（ 1）与（ 2）得（ b 6） 20，即 b=6，将 b=6 代入（ 1）得 a2 108，再将 b=6 代入（ 2）得 a2 108，于是可得a= 63 ，于是将 a= 63 与 b=6代入方程3x2+15=ax+b，得3x2 63 x+9=0，解得 x=3Z，此与已知矛盾。故不存在 数 a， b，使得： AB；（ a， b） C 同 成立。【点 】（ 1）解法中“ 0”， 是一个方程有解的必要条件，即0 只能保

13、直 与抛物 有公共点，但 个公共点不一定是整数点， 而利用另一个条件可求得a、 b 不能使二曲 的交点 整数点，因此符合 意的a、 b 就不存在了。（ 2）凡涉及“是否存在” 、“是否具有某种性 ”等 一 的未定 的 式探索性 ：假定 成立， 而 演 推理，在推 程中，若出 矛盾，即可否定假 ， 的另一面成立； 如果推 程流 ， 没有受阻，没有矛盾 生，一直推 符合已知的条件（定理、公理等） ，从而假 成立。解法 2：由 A B，表示存在正整数n，使得 an+b=3n2+15，（ a， b）22a、 b 的混合 anb3n 215， n ZC，即有 a +b 144，因此原 等价于关于a2b2

14、144是否有 数解。22222222222222，由（ 3n +15）=（ an+b） =n a +b +2nab（ n a +b ） +（ a +n b ），于是依据a +b 144得（ 3n2+15）2144（ 1+n2），即（ n23） 2 0，从而得 n=3，与已知 n Z 矛盾。故不存在 数a， b，使得（ 1） AB；（ a， b） C 同 成立。解法 3：假 存在 a、 b 使得（ 1） A B；（ a， b） C 同 成立， 依 意，将22nx+y 3n2y=an+b 代入 y=3m+15 得， an+b3m 15=0，于是由 m=n可知点（ a， b）在直 15=0 上，从而

15、由原点到直 nx+y 3n2 15=0 的距离 3n215121n2 12（由 n Z 知等号不成立） ，即点（ a， b）到集合d=+31n21 n 2C中 心距离大于半径，故（a， b）C，与假 矛盾。故不存在 数a， b，使得（ 1） AB；（ a， b） C 同 成立。【点 】 此 不但可利用解析几何中直 与 的有关知 解决，而且可利用三角代 解决。shi ti yan jiu 04试题研究试题研究思维突破一、 1. 已知集合 M=x|x=m+1，m Z ，N=x|x=n 1， nZ ， P=x|x=p+1， p Z ，62326则 M、 N、 P 足的关系是（）A. M=N P B.

16、 MN=P C. MN PD. NP=M【点 考点】考 描述法表示集合2. 全集 U=1，2，3，4，5 ，若集合S 和P 足SP=2，CUSP=4，CUSCUP=1 ，5 ， （）A. 3S， 3 P B. 3 S， 3CUP C. 3 CUS， 3 P D. 3 CUS， 3CUP【点 考点】考 交集与 集的运算3.已知 P=0 ，1 ， M=x|xP ， A. P MB. PMC. PP 与M的关系是（ M D. PM）【点 考点】考 集合与集合的关系4. 集合P=x ，1 ，Q=y，1， 2 ，其中x， y 1 ， 2， 9 且 PQ，把 足上述条件的一 有序整数 （x， y）作 一个

17、点， 的点的个数是（）A. 9B. 14C. 15D. 21【点 考点】考 真子集与点集5.若集合M=（ x， y） |sin的元素的个数是（）个x|+|tan y|=0，N=（ x，y） |x2+y 22 ， M N 中A. 4B. 5C. 8D. 9【点 考点】考 交集的运算二、填空 2*_ 。2 4b+5， bN*， M 与P 的关系是【点 考点】考 集合的表示法7.已 知a 0 b |a|， 集 合A=x|a x b ， B=x|B=_； AB=_。 b x a， 则A【点 考点】考 利用数 行数集运算8.设A=x|x2 2x 3=0 ，B=x|ax 1=0 ，若A B=B， 所有 足

18、条件的a 的集合是_ 。【点 考点】考 交集的性 与方程的解集三、解答 9. 集合A=x|2lgx=lg（ 8x 15）， x R， B=x|cosx 0，x R，求A B 的元素2的个数 _ 。【点 考点】考 数集的 合运算10.已知集合A=x|x2 6x+8 0 ， B=x|x2 4ax+3a20 。（ 1）若 A B，求 数 a 的取 范 ；（ 2）若 A B=，求 数 a 的取 范 ；（ 3）若 A B= x|3 x 4 ，求 数 a 的取 范 。【点击考点】考查不等式的解集与数集的运算的综合问题数学 MATHEMATICS第一章 （必修 1）集集合试题能力训练合1. 设集合 A= x|1 1 4 ， B= x|m 1 x 2m+1 。322x（ 1）当 x N 时，求 A 的子集的个数;（ 2）当 x R 时且 A B=时，求m的取值范围。2.对于适合 |p| 2 的任意一个实数，定义集合A= x|x 2+px+1 2x+p ，求所有这样的集合 A 的交集。3.若 M= x|lg 2ax1， N=x|1 x 2且 N M，求实数 a 的取值范围。lg( a x)4.已知集合 A= x|x3+2x2