向量内积的坐标运算与距离公式教学设计

1、第五章平面向量【教学目标】5.4.2向量内积的坐标运算与距离公式1.掌握向量内积的坐标表示,并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题.2.能够根据平面向量的坐标,判断向量是否垂直.3.通过学习向量的坐标表示,环节教学内容师生互动设计意图1.已知非零向量 a与b，贝U a与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求cos?a, b?教师提出问题.学生回忆解答.师生共同回忆旧知识.为知识迁移做准备.使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生 辩证思维能力.【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用.【教学难点】向量内积的坐标表达式的

2、推导，即a b= | a | | b | cos?a, b?与a b= aibi + a2b2两个式子的内在联系.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法.向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统 一.无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算.教学中教师要引导学生抓住 这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成.【教学过程】已知ei, e2是直角坐标平面上的基向量，a= (ai, a2), b= (bi, b?),你能推导出a b的坐标公式吗？探究过程a b= (aiei + a2e2) (biei + 匕2代)=ai

3、biei ei + aib2ei ez+ a2biei e2+ a2b2e2 - e2,又因为ei-ei= i, e2 e2= i, ei e2= 0,学生讨论并回答，教师再提出的下列问题:(1) (aiei + a2e2) (bi ei +b2 e2)是怎样进行运算的?(2)69 , e2 e2 , ei的内积是怎样计算的?教师针对学生的回答进行点评师生共同写出详细的探究过程.问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计通过学生的探究给出结论,比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线所以积运算，最终都归结性运算还是向量的内a b= aibi +

4、a2b2.为直角坐标运算.定理 在平面直角坐标系中，已知ei， e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量 a = (ai, a2), b= (bi, b2),a b= aibi + a2b2.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.我们还可以得到以下结论:(1)向量垂直的充要条件为a丄姑 ai bi+ a2 b2= 0;(2)两向量夹角余弦的计算公式为aibi + a2b2cos?a, b?=问题:(i)若已知a= (ai, a2),你能用上面 的定理求出I a |吗？解因为2I a I = a a = (ai, a2) (ai, a2)2 , 2 =ai + a2 ,所以 I

5、a |= Jai2 + a?2.这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式.若已知A(xi, yi), b(x2,目2，你能求出|AB|吗?解 因为 A(xi, yi), B(x2, y2),所以AB = (x2-Xi, y2-yi).因为 I a |= ai2 + a22，所以I AB|=y X2 Xi)2 + 卜2 yi)2,这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式.例 i 设 a = (3, - i), b= (i, - 2),求:教师给出向量内积的直角坐标运算公式.并引导学生用文字叙述.在教师的引导下学生讨论得出.教师提出问题，稍加点拨.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据向量的坐标求向

6、量长度的计算公式.教师提出问题.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式.学生尝试解答.教师针对学生的回答进行点评.通过对问题的详细探究得到性质，比直接给出结论更容易被学生接受同时加深对 a b = aibi + a2b2的理解从而提高学生的思维能力.使刚刚学过的知识及时得到应用.通过例i可让学生加深对向量内积的 a b; 1 a |;直角坐标运算公式及 | b |; 解a ？a, b?.向量的长度公式的理b= 3X 1 + ( 1) X ( 2)解和记忆.=5; | a |=寸 32+ (-O2 =遁 | b |=寸+ (-2)2 =护;因为cos?a,b?= a

7、”b =_5_ =亚-|a |b|2 所以?a,b?= n已知 A(2, 4), B( 2, 3),教师点拨，学生解答.巩固公式，形成求I云B|.教师针对学生的回答进行技能.点评.因为 A(2, 4), B( 2, 3)，所AB = ( 2, 3) (2, 4)=(4, 7),所以 |AB|= 772+ ( 4)2 =侮.已知 A(1 , 2), B(3, 4), C(5,教师点拨，学生讨论解答.在板书证明的过0），求证: ABC是等腰三角形.小组讨论时教师巡视，并程中，突出解题思路证明因为针对学生的回答给予补充、完与步骤.BB = (3 1,4 2) = (2,2),善.最后师生共同完成此题

8、.BC = (5 1,0 2) = (4,2),师给出具体的解题步骤.BC = (5 3,0 4) = (2,4),屁 |= V42 + ( 2)2 =/20 ,|bC|22 + ( 4)2 =畅,所以 |怎3|= |EBC|.因此 ABC是等腰三角形.例 4 已知 A(1, 2), B(2, 3), C( 2,5)，求证：Xb丄XC .证明因为AB = (2 1, 3 2) = (1 , 1),XC = ( 2 1, 5 2)= ( 3, 3),教师点拨，学生解答.教师针对学生的回答进行点评.可得AB AC = (1 , 1) ( 3,所以Xb练习A(1 , 2), B(2 ,n5)，求证：ZBAC=2.1.已知2 已知点P的横坐标是通过学生讨论,老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点顺利帮助学生完成.3) = 0.3), C( 2,点N( 1, 5)的距离等于10,求点P的坐标.本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有:(1)直接用两向量的坐标计算内积;(2)根据向量的坐标求模;(3)根据两点坐标求两点间的距离;(4)判定两向量是否