初中数学竞赛——余数定理和综合除法

1、第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一除法定理：和是两个一元多项式，且，则恰好有两个多项式及，使，其中，或者比次数小。这里称为被除式，称为除式，称为商式，称为余式.二余数定理：对于一元次多项式，用一元多项式去除，那么余式是一个数。设这时商为多项式，则有也就是说，去除时，所得的余数是.三试根法的依据（因式定理）：如果，那么是的一个因式.反过来，如果是的一个因式，那么。四试根法的应用：假定是整系数多项式，又设有理数是的根（是互质的两个整数），则是常数项的因数，是首项系数的因数.特别的，如果，即是首1多项式，这个时候，有理根都是整数根。典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知，试求除以所得的商式和

2、余式.【例2】 已知，试求除以所得的商式和余式.【例3】 已知,，试求除以所得的商式和余式.二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：.【例5】 用综合除法求除以所得的商式和余数.（1），；（2），.【例6】 用综合除法计算：.【例7】 先用综合除法求出除以所得的商式和余式，不再作除法，写出除以的商式和余式.，.（1）；（2）.三. 余数定理和多项式理论【例8】 ，求余数的值.【例9】 除以的余数是多少？【例10】 （1）求除所得的余数；（2）求除所得的余数.【例11】 多项式可以被和整除，求，.【例12】 试确定、的值，使多项式被整除.【例13】 已知能被整除，求的值.【例14】 证明：当，是

3、不相等的常数时，若关于的整式能被，整除，则也能被积整除.【例15】 多项式除以、所得的余数分别为3和5，求除以所得的余式.【例16】 已知关于若的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是.求这个三次多项式.【例17】 已知关于的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三项式.【例18】 已知除以整数系数多项式所得的商式及余式均为，试求和，其中不是常数.【例19】 已知除以，其余数比除所得的余数少，求的值.【例20】 若多项式能被整除，求，的值.【例21】 如果当取，时，多项式分别取值，试确定一个二次多项式.四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：.【例23】 分解因式：.【例24

4、】 分解因式：.【例25】 分解因式：.【例26】 分解因式：【例27】 分解因式：【例28】 分解因式：【例29】 分解因式：【例30】 分解因式：【例31】 分解因式：思维飞跃【例32】 若，求的值.【例33】 若（）既是多项式的因子，又是多项式的因子，求.【例34】 求证：若，则多项式除以所得的余式是.【例35】 除以，多得的余数分别为，求除以多得的余式.【例36】 求证：能被整除.作业1. 分解因式：（1）.（2）.（3）.2. 若除以所得的余数为7，除以所得的余数为5，试求的值.3. 多项式除以、和所得的余数分别为1、2、3，试求除以所得的余式.4. 若能被整除，求与的值.5. 分解因式：.6. 分解因式：.7. 分解因式：.8. 分解因式：.9. 分解因式：.10. 分解因式：.11. 分解因式：.12. 分解因式：.13. 已知多项式能被整除，求的值.14. 求证：，都是的因式