导数及其应用82201

1、导数及应用导数的概念、几何意义、导数的运算和导数的应用、定积分与微积分基本定理。年份题号所占分值难度系数o7io、215、12O.36、O.2Oo810、215、12O.63、O.1Oo92112O.13io3、13、21、5、5、12O.77、O.13、O.32119、215、12知识单元基本考点命题重点导数的概念与几 何意义导数的概念、导数在几何中的应用、 导数在物理中的应用导数在几何中的应用导数的运算基本初等函数的求导公式、导数的四 则运算法则、复合函数的求导法则基本初等函数的求导公 式、导数的四则运算法 则、复合函数的求导法则导数的应用判断函数单调性及求函数的单调区 间、求函数的极值最

2、值、用导数解决 优化问题判断函数单调性及求函 数的单调区间、求函数的 极值最值、用导数解决优 化问题定积分及微积分 基本定理定积分的概念、定积分的几何意义、 微积分基本定理、定积分在几何和物 理中的应用定积分的概念、定积分的 几何意义、微积分基本定 理、定积分在几何中的应 用主干知识梳理1. 导数的几何意义函数y= f(x)在X= Xo处的导数f (Xo)就是曲线y = f(X)在点(Xo,f(Xo)处的切线的斜率，即k= f (Xo).曲线y= f(X)在点(Xo, f(Xo)处的切线方程为y f (Xo) = f (xo)( x Xo).(3)导数的物理意义：S(t) = v(t) , v

3、()= a(t),2. 基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x) = cf ，(x)= 0f(x) = X (n N )f，(x) = nxn1f (x) = sin xf ( X)= cos xf (x) = cos xf (x) = sin Xf (x) = ax(a0 且 aM 1)f(x) = axln af(x) = exf (X) = exf (x) = log ax ( a0 且 aM 1)1f (x)=xln af (x) = ln x1 f(x)/ X2)导数的四则运算法则 u(x) v(x) = u(x) v(x). u(x)v(x

4、) = u(x)v(x) + u(x)v(x).2v(X)謝、u (x)v(xv、u(2x)v(x) (v(x)半0).（3） 复合函数求导 复合函数y=f（g（x）的导数和y=f（u）,u= g（x）的导数之间的关系为 g=f (u)g(x).3函数的性质与导数（1）在区间（a, b）内，如果f（x）0，那么函数f （x）在区间（a, b）上单调递增； 在区间（a, b）内，如果f （x）v0，那么函数f （x）在区间（a, b）上单调递减.2） 求可导函数极值的步骤 求f （x）；求f （x） = 0的根; 判定根两侧导数的符号；下结论. 求函数f（x）在区间a, b上的最大值与最小值的步

5、骤求 f ( x) ； 求f（x） = 0的根（注意取舍）； 求出各极值及区间端点处的函数值； 比较其大小，得结论（最大的就是最大值，最小的就是最小值）命题方向：1、利用导数求函数的单调区间在某个区间(a, b)内，如果f (x)0,那么函数 尸f(x)在这个区间内单调递增;如果f (x) 0在区间(a, b)上恒成立.(2)若可导函数f(x)在(a,b)上单调递减，则f (x)0或f (x)2,则 f(x)2x+ 4的解集为().A (1,1)B . ( 1 ,+x)C. ( X1)6.曲线 y = xex+ 2x+1在点(0,1 )处的切线方程为5. (2008 年，已知X = 3是函数f

6、(x) =aln(1 +x) + x2 _10x的一个极值点.四川卷)(I)求a的值;(II)求函数f(x)的单调区间;(III)当直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.21.(本小题满分12分)设函数 f(x)=ln(x+a)+x2(I)若当x = -1时，f (x)取得极值，求a的值，并讨论f (x)的单调性;e(II )若f (x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于In -.213【解析】(I)，依题意有f(1)=0，故a=-.X +a2从而f (x)=.3 x +222x2 +3x+1(2x+1)(x+1)f(x)的定义域为，I 2+x ，当 一3

7、 x c T时，f (X)0 ； 丿 21当 Tcxv- 时，f(x)0 .2从而，f(x)分别在区间，-1 ,I 2丿，+X 单调增加，在区间！ 1,单调减少.I 2 丿I 2丿22 X + 2ax +1 (n) f (X)的定义域为(a, +比),r(x)=竺一X +a方程 2x2+2ax+1=0的判另式 =4a2-8 .(i)若也0，即-J2a0,故f(x)的极值.(ii)若 A =0，则 a-J2或 a =-42 .若 a =72，X“72,+)，f(X)_(72x-i)2x+72当 X返时，f 1x)=0,2，时,丿f x)0，所以f (x)无极值.若 a = J2，x(J2,+g)

8、，f(x)=Sx：)0，f(x)也无极值.X(iii)若A 0，即a J2或a J2，则2x2吃a州=0有两个不同的实根xia 石-2-a+Ja2 -22， X2 _2xi -a, X2 -a , X2 -a , f (X)在f (x)的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知f (x)在X =为，X = x2取得极值.综上，f (X)存在极值时，a的取值范围为.f (x)的极值之和为1设函数f（x）=ax+（a, b忘Z），曲线y = f （x）在点（2, f（2）处的切线方程为y=3. x+b（I）求f（X）的解析式:（n）证明：函数y = f（X）的图像是一个中心对称图形， 并求其对称中心;（川）证明：曲线 y = f（X