广东省汕头市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题理新人教版

1、2013 年汕头市高二年级期末统考试题数学（理科）本试卷共6 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效3非选择题必须用0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题

2、卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回参考公式： 体积公式： V柱体 S h，V锥体1 S h ，其中 V , S, h 分别是体积、底面积和高；3一、选择题： （本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . ）1.已知全集 U R ，集合 A x | 0 2x1 ， B x |

3、log 3 x0 ，则 A CU B（ ）A x | x 1B x | x 0C x | 0 x 1D x | x 02.已知 i 是虚数单位，则复数 z i+2i 23i 3 所对应的点落在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）ABCDxy14. 已知变量 x, y 满足约束条件x10 ，则 e2 x y 的最大值是（）xy1A. e3B.e2C. 1D.e 4开1s=0,n=1否5.双曲线 x2y2 1的渐近线与圆 x2( y2) 21相切，a2b2则双曲线离心率为（）A 2B 3C 2D 36.阅读下面程序

4、框图 , 则输出结果 s 的值为（）A 1B 3C 3D 3227. 在下列命题中，“2”是“ sin1”的充要条件； ( x31 ) 4的展开式中的常数项为2；2x设随机变量 N (0,1) , 若 P(1)p ，则P(10)1p ；2已知命题 p: x(0,),3 x2x ； 命题 q:x(,0),3 x2x , 则命题 p (q) 为真命题；其中所有正确命题的序号是（）ABCD8. 设 Q 为有理数集， a,bQ ，定义映射 f a,b : QQ ， xaxb ，则 fa ,bf c,d 定义为 Q 到 Q的映射： ( f a ,bf c, d )( x)fa ,b ( f c, d (

5、 x) ，则 ( f a ,bfc, d )（）A f ac ,bdB.f a c ,bdC.fac ,ad bD.f ab,cd二、填空题：（本大共6小题 , 每小题5 分 , 共 30 分 , 把答案填在答题卡的相应位置）( 一 ) 必做题 (9 13 题)9. 抛物线 yx2的焦点坐标为.10. 函数 yx 22x3 在点 M (2,3) 处的切线方程为.11若向量， ， 满足 且 ，则?（ +2） =.12我们知道， 任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在ABC 中，三条边 a, b,c 对应的内角分别为A、 B、 C ，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为

6、：a2b2c 22bc cos A ,请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意，表述中不能出现任何字母）：13不等式2x1 2x 1解集为 _ _.CAEO2BDM( 二 ) 选做题 (14 15 题，考生只能从中选做一题)14（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点( 2, ) 为圆心，2半径为 2 的圆的极坐标方程为.15如图， O 中的弦 CD 与直径 AB 相交于点 E ， M 为 AB 延长线上一点， MD 为 O 的切线， D 为切点，若 AE 2 ， DE4， CE 3 ，DM 4 ，则 OB _,MB三解答题：（本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

7、16. （本小题共 12 分） 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a24 ， S535 （）求数列 an 的前 n 项和 Sn ；（）若数列 bn 满足 bpan( p 0)，求数列 bn 的前 n 项的和Tnn17. （本小题满分 12 分）空气质量指数 PM 2.5 ( 单位 : g / m3 ) 表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量 , 这个值越高 , 就代表空气污染越严重 :甲、乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数PM 2.5 进行监测 , 获得 PM 2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示:甲城市乙城市15 天（）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市

8、30 2 2 432 0 4?（注：不需说明理由 )内哪个城市空气质量总体较好48 9 655（）在 15 天内任取 1 天，估计甲、乙两城市61 5 164空气质量类别均为优或良的概率；7876 9 782 3 088 0 7( ) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个 ,设 X 为空气质9891 8 0 9量类别为优或良的天数, 求 X 的分布列及数学期望 .18. （本小题满分 14分） 已知函数 f ( x)2sin x sin(2x) 2sin 2 x 1 ( xR ) .（）求函数 f ( x) 的最小正周期及函数f ( x) 的单调递增区间；（）若 f (x0)2， x0(

9、， 求 cos2 x0 的值 .23,)44( ) 在锐角ABC 中，三条边 a, b,c 对应的内角分别为A、 B、C ，若 b2， C5，123且满足 f ( A)2， 求 ABC 的面积。28219. （本小题满分 14 分）在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ， ABC 是正三角形， AC 与 BD的交点 M 恰好是 AC 中点，又 PAAB 4 ， CDA120 ，点 N 在线段 PB 上，且 PN2 （）求证：BDPC ；P（）求证：MN / / 平面 PDC ;N（）求二面角APCB 的余弦值ADM： x2y 2BC20. （本小题满分 14 分）已知椭圆1 (a b

10、0) 的离心率CM :b2a2e316，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为5（）求椭圆 M 的方程；（）若 O 0,0 、 P 2,2 , 试探究在椭圆C 内部是否存在整点 Q ( 平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点 ), 使得OPQ 的面积 S OPQ4 ? 若存在 , 请指出共有几个这样的点？并说明理由( 不必具体求出这些点的坐标 ) 21（本小题满分14 分） 设函数 f (x)=x2 +bln (x+1) ，其中 b 0。( ) 当 b 1时，判断函数f (x) 在定义域上的单调性；2( ) 求函数 f (x) 的极值点；( ) 证明对任意的正整数 n，不等式 ln (

11、1 +1) 12 -13 都成立。nnn2013 年高二统考理科数学试题答案一、选择题：DCBBCDCC二、填空题：110、 x y 5 011、09、 0,412、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2 倍的差，（本题可以酌情给分，得分0 分， 4 分， 5 分）（对于文字表达不太规范的可以考虑给4 分）13、 x | x1、4 sin15、 4,4 2 41424三、解答 ：16、解：（） 数列 an 的首 a1，公差 da1d4则5(5 1)d 4 分5a1235a11 5 分，d3 an3n2 6 分 前 n 和n(1 3n 2)n(3n1)

12、7 分Sn22（） an3n2 ， bnp3n2 ，且b1pp0 8 分当 n 2 ， bnp3 n 2p 3 定 ， 9 分bn 1p3 (n 1)2 数列 bn 构成首 p ，公比 p3的等比数列 10 分所以（ 1）当p31 ，即p ，Tnn 11 分1（ 2）当 p31 ，即 p1 数列 bn 的前 n 的和是Tnp(1p 3 n )p 3n1p 12 分1p 3p3117、（本小 分12 分）解：（）甲城市空气 量 体 好. 4 分（）甲城市在15 天内空气 量 或良的共有10 天，任取1 天，空气 量 或良的概率 102 ，5 分153乙城市在15 天内空气 量 或良的共有5天，任

13、取1 天，空气 量 或良的概率 51 ， 6 分153212在 15 天内任取 1天，估 甲、乙两城市空气 量 均 或良的概率 33.9 8 分( )X 的取 0,1,2， 9 分5P( X0)C50 C10231)C51C101100)C52 C1002C152， P( XC152， P( XC15221721X 的分布列 ：0 11 分X12P310272121数学期望 EX03110222 12 分72121318、解 : f ( x) 2sin xcos x2sin 2 x1 1 分sin 2xcos2x2 sin(2 x 3 分4) . 2（）函数f ( x) 的最小正周期T 4 分

14、2. （）解法一：由已知得f ( x0 )sin x0cos x02 6 分23 ，两 平方，得 1sin 2x02所以sin 2x07 7 分99因 x0( ( 8 分,4) ，所以 2x02,) . 42所以 cos 2x01(7 )242. 9 分99解法二：因 x0( 5 分4,) ，所以 x0(0,) .442又因 f ( x0 )2 sin(2x02 sin( x02 6 分)3，2244得 sin( x01所以 cos( x011)222 7 分).4)(3.433所以， cos 2x0sin(2 x0)sin2( x02)2sin( x0)cos( x0)44412242 9

15、分239.3( ) 因 A)2 sin 2(A)2f (282 sin A2842 10 分所以 sin A1ABC 角三角形，所以 A 11 分，又因 266所以由 ABC, 且 C5得到： B5 12分1212所以 bc2，且ABC 的面 S1 bc sin A12 2 sin1 14 分22619、 明： (I)因 ABC 是正三角形， M 是 AC 中点，所以 BMAC , 即 BDAC 1 分又因 PA平面 ABCD ， BD平面 ABCD ， PABD 2 分又 PAACA ，所以 BD平面 PAC 3 分又 PC平面 PAC ，所以 BDPC 4 分（）在正三角形 ABC 中，

16、BM23 5 分在 ACD 中，因 M 为 AC 中点， DMAC ，所以 AD CDCDA120 ，所以 DM23 ，所以 BM : MD3:1 6 分3在等腰直角三角形 PAB 中， PAAB 4 ， PB42 ，所以 BN : NP3:1， BN : NPBM : MD ，所以 MN / /PD 8 分又 MN平面 PDC， PD平面 PDC ，所以 MN / / 平面 PDC 9 分（）因 BADBACCAD90，所以 ABAD ，分 以 AB, AD,AP 为 x 轴 ,y轴 , z 建立如 的空 直角坐 系，所以 B(4,0,0),C (2,2 3,0),D (0,4 3 ,0),

17、P(0,0,4) 10 分3由（）可知，DB(4,43 ,0) 平面 PAC 的法向量11 分3PC(2,23, 4) ， PB(4,0,4)zPN 平面 PBC 的一个法向量 n( x, y, z) ,nPC02x23y4z 0则，即4 z0，nPB04xDAyMCBx令 z 3, 平面 PBC 的一个法向量 n (3, 3,3) 12 分 二面角A PC B 的大小 ( 然 角 ) ，7则 cosn DB7nDB7所以二面角 APCB 余弦 7 14 分720、解： ( ) 设椭圆 C 的半焦距 c ,由 意可知道：2a2c16a5c3，解得c 3 分a53又因 a 2b 2c2 ，所以

18、ba2c24所以 的方程 x 2y 21 6 分2516（）依 意OP22 , 直 OP 的方程 yx , 7 分因 S OPQ4 , 所以 Q 到直 OP 的距离 22 , 8 分所以点 Q 在与直 OP 平行且距离 2 2 的直 l 上 ,设 l : yx m ,m2 , 解得 m4 10 分则22yx4当 m4 时 , 由x2y2,25116消元得41x2200x0, 即200x 0 12 分41又 xZ , 所以 x4,3, 2, 1 , 相 的 y 也是整数 , 此 足条件的点Q 有4 个 .当 m4时 , 由 称性 , 同理也得 足条件的点Q 有 4个. 13分 上 , 存在 足条

19、件的点Q , 的点有 8 个 . 14 分21、解： ( ) 由 意可知：函数f ( x) 的定 域 ( 1,) ， 1 分且 f / (x) 2xb2x 22 x bx1x1 2 分设 g (x)2x22x b2( x1 )2b10 恒成立 (b1 )222所以 f /(x) 0 任意 x( 1,) 恒成立，函数 f (x)在定 域上是增函数； 3 分8( ) 然由 ( ) 可知：当b 1 ，函数无极 点； 4 分212( x1) 2当 b/( x)20 恒成立， ， fx12所以函数在定 域上 增，无极 点； 5 分当 b1 ， f /(x) 0有两个不同的解2x1112b，x2112b22（ A） 然b0 ， x11， x20 ，即 x1( , 1), x2 ( 1, ),b 0 ， f / ( x), f (x) 的 化情