四、2019年北京市一模试题及高频考点透析(数列、不等式极坐标与参数方程常用逻辑用语

1、2019年北京市各区一模试题分类解析及高频考点剖析六、数列（必修五）1.已知等差数列1,a,b，等比数列3,a+2,b+5，则该等差数列的公差为B . 3 或-1C . 3 D . -3直面考点：1）等差中项及等比中项性质；2）等比数列中任何一项都不能为0.略解：方法1由严5 2得*3(b+5) =(a+2)2仁翻:；，由于当a=-2时,a+2=0,等比数列中任一项均不能为0,故舍去，从而f 。等差数b = 7列中的三个数为1, 4, 7.公差为3.方法2依次把公差为3,-3 , -1代入已知条件，看是否满足就行。2.设等差数列aj的前n项和为Sn，aHa6，则S5等于（C ）A. 10B.

2、12C. 15D. 30直面考点：1）等差数列的性质；2）等差数列前n项和的含义；3） 等差中项；4）等差数列前n项和公式。略解：aaaa2a S5 =aaaaa153.已知数列an的通项公式a则使Sn v-4成立的最小自然数B . 82C . 81D . 80直面考点：1）对数的运算法则；2）数列前n项和的意义;3）解不= |og3洛E N* ）设其前n项和为Sn , n等于（C ）等式。略解：Sn = log1 132+|og33r+|og3+|og31log3齐宀1 12, n 壬 N*),则通项 an=( c )1 12n + 1A. 2n+1B.2n-1C. D.2n1直面考点：1）

3、递推关系的运用；2）合情推理能力。7.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0,1），然后接着按图所示在x轴，y轴平行方向来回运动（即）,若每秒运动一个单(0,0) T (0,1) T (1,1) T (1,0) t(2,0)位长度，那么第2019秒时，这个粒子所在的位置为（C）A. (16,44)B . (15,44 ).C. (14,44)D . (13,44 )直面考点：合情推理能力。X略解：选择A1, A2, A3, A4, A5,的坐标及运动方向作为突破口。t, =2(下)(1,1) t2 =6(左)(2,2) ts =12(下)(3,) t4 = 20(左)(4

4、,4)从而可猜想出通项公式为tn =2十4十6+8 + .十2n =n（n +1）,两相邻两数的积最接近2019的是n=44,故有点A44（44,44） , 44咒45 = 1980，此点再向左运动30秒，得点（14, 44）。8. 一个数字生成器，生成规则如下：第 1次生成一个数x，以后 每次生成的结果是将上一次生成的每一个数 x生成两个数，一个是-X ,另一个是x+3 .设第n次生成的数的个数为an ,则数列的前n 项和Sn=；若X=1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn , 则Tn =2n-1n13 4直面考点：1）等比数列前n项和公式；2）合情推理能力。略解：1)Sn =1 +2

5、+4+8+.+2n-1=空3”1。2-12）写出5行后，可以先求出:T, =1,丁2 =3,丁3 =6,丁4 =10,丁5 =14不完全归纳，猜想：Tn “34n 6(n =1)(n =2)(n 3)9.已知数列an的前n项的和为Sn，且有务=2 , 3Sn =5an -an_1+3Sn_, （n 2, n迂N*）. （I）求数列G 的通项公式；（H）设bn = （2 n-1応，求 数列tbj的前n项的和Tn.解: (I) 由 3Sn =5an-an4+3Sn=3an =5an-an( n2,n 亡 N*)得=丄，(n 2,n 忘 N*),3 分and2所以数列an是以2为首项，1为公比的等比

6、数列，所以an=225分+(n) bn =(2 n-1)”22 /. Tn =1X2 +3X2。+5咒2+ +(2 n-1) ”？2 7 分+同乘公比得Tn =仔20 +3心+5天2, +(2n-1) C 9 分 二 1Tn =1咒2 +2咒20 + 2冥2)+22, + +2 2 -(2n- 1)21n10 分=2+ 41 -(1)2 -(2n -1)右11/. Tn =12-(2n +3)右13直面考点：1）数列通项与前n项和的关系。an =S（nJ时2 ）前n项和的方法：错位相错法。iSn Sn-1 （n 2时，n 忘 N *）适合求通项为一个等差数列与一个等比数列对应项相乘后得一新数

7、列的前n项和。10.若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个 数列为调和数列.已知数列an是调和数列，对于各项都是正数的数 列Xn，满足Xn% =Xn异丰=焉42时（n N）.X2X3X4X5X6X7X8X9IIIHHII（n）把数列xn中所有项按如图所示的规律排XiX10（I）证明数列Xn是等比数列；成一个三角形数表，当X3 =8, X7 =128时，求第m行各数的和;（皿）对于（n）中的数列xn，证明:n 厶 +3 + 川 + Xn j .2 3X2 1X3 1Xn + 12证明：（I）因为xan =XV=Xa吐，且数列Xn中各项都是正数,所以 an Ig Xn =an +

8、 lg=andg Xn 七.设 an lg Xn =anH1lg XnH1 =andg XnM = p ,因为数列an是调和数列,21 1=+an4lanan42所以，空+丄an41 an an 七由得=Ig xn, =lgxann , lg xn十，an十an42=Ig Xn七，代入式得，所以 2lg Xn+ =lg Xn +lg Xn七，即 lgx24i =lg(XnXnH2).故x2厂XnXn七，所以数列Xn是等比数列.5分解：（n）设Xn的公比为q，则X3q=X7，即8q=128 .由于xQ ,故q =2 .于是 Xn =X3qn=872 =2n.注意到第n （n =1,2,3，川）行

9、共有n个数,所以三角形数表中第1行至第行共含有1 +2+3+H)+(m _1)= m(m-k k 4r(1,2,3jll,n), 个数.2因此第m行第1个数是数列Xn中的第卫哼+ 1 = m m + 3 2k +2k-22 3 2k项.m2 m故第m行第1个数是xm2. =2m2 mH2所以第m行各数的和为Sm=22 (2m-1)m2 mH221=2 2 (2m-1)（皿）因为Xn =2n，所以Xk 12k1Xk-2k*-12k-1 22(2k-丄22所以X2 1X3 1X2 JXn打1221 n+ =2 2又兀12k -11Xk中一12-122(2-1)所以 2+3+ 川 + 丘1 AQ+t

10、+HiJX2 TX3 -1Xn 出一122已)ve+e)2we)n所以1-23g+川+ xnT 卫.X2 T X3 1xn*1 2n +14分直面考点:1）等差中项；2）对新信息的处理能力；3）恒等变形能 对于连等式（有幕），常用的手段是两边取对数；4）等比数列的定义x2+=XnXn七二数列Xn是等比数列（各项不为 0）； 5）不等式的证明方法放缩法；6）等比数列前n项和公式；7）综合运用知识的能力。11.已知数列aj满足：a1 =0,2an+1, n为偶数，2an # n +1,n =2,3,4，川.2 +2a1, n为奇数，(I)求 a5,a6,a7 的值;a?(n)设ba|n1，试求数列

11、bJ的通项公式;解军：(I)a1=0 , a = VI 2a1 = 1 , 83=2+24 = 2 , a4=1 + 2a = 3 ,二 as =3+2a2 =5 ; as =1+2a3 =5 ; a7=4 + 2a3=8. 3 分(n)由题设，对于任意的正整数n,都有:a：丰 2 + 2a2n 1 bn+ =2n1bn+ -bn4. 数列是以b-=0为首项，i为公差的等差数.n 1b 直面考点:1)函数的思想及分段函数；2)对通项的理解及等差数列的定义。-312.已知数列Xn满足X1=4，亦二3 I )求证：Xn3 ；( n )求证:2Xn -4Xn+3即n =k +1时，结论成立.由（1）

12、（2）可知对任意的正整数n ,都有Xn 3.4 分（n）证明:2 2X X_Xn3 X _ Xn +4Xn 3 _ （X 1）（X 3）Xn 半一Xn =- - Xn =2x-42x-42x-4因为Xn3，所以士宀2 时，an =Sn - Sn=(a -1)an/又 ai = S = 1 ,an =1(n =1),i(a1)a2, (n 2).（皿）当 a =4, n32时，a4n，此时9an_9x3y(an +3)(an+3) (3x4n+3)(3天4n，+3)3x429ai(4n，+1)(苹斗+1) _4n，+1 _羊斗+1又 b =901=31 (a3)(a3)8bn =3S1 1n _

13、2 I ,n d 丄.,14+14+1(n =1)(n2)Ti3，3Tn=bl+b2 +川+bn=- + (8恙1是1）+川+严1）-718 4n+1若心，则等式+羔=8为|+舒8，“5不是整数，不符合题意.若n二2，则等式Tn+竺=7为r占+冷，“ 5-是 4nri是5的因数.当且仅当n=2时，丄L 是整数，扎=44+1综上，当且仅当A =4时,存在正整数Z，使等式+釜=成立.直面考点：1）数列通项与前n项和的关系。fS1（n =1时）c、2an=时 2 ） Sn2=SnSn 沁 n 二 2） （ & 工 0 ）ISn Sn-1 （n 2时，n N二Sn,数列&是等比数列.3）数列求和方法一

14、一裂项相消法;4）综合运用知识的能力。14.在数列an中，ai=3, an az-2 n+1 (n 2,且 n-N *) . (I)求a2 , a3的值；（n）证明：数列an+n是等比数列，并求%的通项公式；（皿）求数列an的前n项和Sn.解：(I) ； a1 =3 , an =an斗一 2 n+1 (n 2,且 n 亡 N *),a2 = ai 4 +1 = 6 ,a3 = a2 6 +1 =1.4 分an + n (-anjL-2n+1) + n 怜一 n+1(n)证明:=-1 ,an+( n1)an+ n1an+ n 1二数列an +n是首项为ai +1 =4，公比为-1的等比数列.7分

15、an + n=4(-1)2即 an =4 (-1)2-n ,二an的通项公式为an =4 (-1严-n (n亡N ).8 分(皿)解：丫 an的通项公式为 an =4(-1)2 - n (n N *),所以当n是奇数时,Sn 上 ak34 C)k-k24 -岁1(n2 +n -8) .102nn彳当n是偶数时，心心旷一+). 12综上,Sn =1 2(n +n-8), n是正奇数,2丄(n2+n),n是正偶数.213 分直面考点:1)由递推公式求指定项；2)等比数列的定义;3)分类讨论思想;4)数列求法的方法一一分组求和法。15.已知数列J 中，a1 =2 , a2=3，其前n项和Sn满足Sn

16、P+5j = 2Sn+1(nX2,n-N *).( 1)求数列右n 的通项公式；(2)设 b4nD- 2(an Z 为非零整数，n迂N * ),试确定)的值，使得对任意n迂N *，都有bn十 bn成立.解：(I )由已知，e，-Sn )-(Sn-Sn)= 1 (门二2 , N* ),2 分即卩 ai a = 1 ( n 二 2 , n 匸 N ),且.a a = 1 .二数列 是以ai =2为首项，公差为1的等差数列. an = n +1 .4 分(II ) an= n+1，二 bn =40(-1)7右，要使 bn bn 恒成立,二 bn专-bn =4n -4n +(-1 九 2n-(-12n

17、 0恒成立,3 4n -31(-1$艺十:0恒成立,(-in眾2n恒成立.(i)当n为奇数时，即A -2n恒成立,10 分当且仅当n=2 时，-2亠有最大值-2 ,A 2 .12即-2a1，又a为非零整数，贝J A 1.综上，存在几=一1，使得对任意n N，都有bnAbn.14分 直面考点：1)数列通项与前n项和的关系；2)等差数列的定义；3) 不等式恒成立问题；4)综合运用知识的能力。16.设集合W由满足下列两个条件的数列Qn 构成:答业 “n ；存在实数M使an兰M。(n为正整数)(I)在只有5项的有限数列&,、抵中，其中a1,a2,a3=3,为集合W中的元素;(H)设cj是各项为正数的等

18、比数列，Sn是其前n项和，C3 J ,4S =7，试证明sj壬W，并写出M的取值范围。4解：(I )对于数列an，取 啓鱼=2 = 02，显然不满足集合 W的条件故不是集合W中的元素。对于数列bn，当n門123,4,5时，不仅有 =3 2 , 罟 =40,4乌+03七=7，整理得，6q2-q-1=0q q 4q=2，. G Cn =尹ISn =2 - 277 分对于 P N,有 & ；Sn =2-右-二2-jn 二 Sn 十，且 Sn 2且n 亡 N*), an a1 a2an J.+丄 5 分a卄anan,b =丄+丄+.+丄+丄an + a1 a2an4 an二 bn十an (bn +1总

19、卅=0(n 2且n 丘 N*);当 n=1 时，b2a(b1 +1方2=-37直面考点：1)构造法求数列的通项公式;2)综合运用知识解决问题的能力。七、不等式(必修五)1.设 M2= (73)川 P=3 何(其中 0xy ),则M ,N,P大小关系为(D)(A) M N P(B) NPM ( C) P McN ( D) P vNj3x*3y=32 =N3.xy= P 22.奇函数f(x)在(=,0)上单调递增，若f(-1)=0,则不等式f(x)vO的解集是（A ）A.（亠，1）U（0,1）B.U（1,TC.（-i,o）u（o,i）D.（i,o）U（r）直面考点：1）函数的奇偶性与单调性；2）用

20、图象解不等式。3.设a 0,b 0,a+b+ab =24，贝B ）A. a+b有最大值8B.a+b有最小值8C. ab有最大值8D.ab有最小值8直面考点：1）均值不等式；2）取特殊值法。略解：取a=b,求出对应的a + b及ab的值，可淘汰C Db 4若A，B，C为AABC的三个内角则舟的最小值为直面考点：1）三角形的内角和；2）均值不等式；3）导数在求最值 上的应用。略解：方法1设A=x 则y十凡，则八-+匕=0X =孚，最小值为。3兀方法2判别式法。化y=4 +一1为关于X的一元二次方程，然后判X 兀一X别式大于等于0,得到关于y的一元二次方程，解出y即可。方法34十 =丄竺+丄=丄空K

21、壬比空！ + m+Ax 兀X 兀 X 兀-X 兀x2兀-2x=丄22兀-2x） +4 +1 +一2x一=丄5 + 2（ 2兀 2x + 一x一 丄X 9 兀x2兀-2x 兀X2兀-2x 兀（当且仅当壬空即x = 2;i时取等号）x2皿-2x35.已知函数f（X）= log1 （x+1）的图像与函数y = g（x）的图象关于y轴对2称；（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）解不等式f（X）+ g（x） ；0 .解：（1）由于函数y=g（x）与f（x）=iog1（x+1）的图象关于y轴对称，故2y =g(x)=log1(-x +1)2jx +1 0(2) f(X)+g(x) 0= log 1(-

22、x +1) +log1(X +1) 0= -x+1 0= -1 cx c12 2 21 -X 1且X HO故不等式的解集为x1-1cx0*x + y20223x2 + （y+2）2= 1,-；点A在曲线C上，点M（x,y）在平面区域直面考点：1）参数方程与普通方程的互化；2）圆的参数方程；3） 画能力；4）线性规划。x十3 （参数y =3t注：正确画出圆的图形及可行域是解题的关键。7.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为 t R）,圆C的参数方程为（参数旅0,2兀）,则圆C的圆心y = si n 日 +2坐标为,圆心到直线I的距离为.（0，2）； 242直面考点：1）直线的参数方程化普

23、通方程的方法：加减或代入消参 法；2）圆的普通方程化为参数方程的方法；3）点到直线的距离公式。8.在平面直角坐标系xoy中，直线1的参数方程为参数tR 圆C的参数方程为xFOsfr （参数朕0）,则圆心到直线l的距y =si no离是。运 直面考点：1）直线的参数方程化普通方程的方法：加减或代入消参 法；2）圆的普通方程化为参数方程的方法；3）点到直线的距离公式。9.圆C的极坐标方程P =2cos8化为直角坐标方程为该圆的面积为2 2.x 2x + y =0 ,兀/2+2_ p2直面考点：1）直角坐标与极坐标的互化x = Pco讯及:y 一 ； 2）y = Psin 日-=tanelx圆的标准

24、方程与一般方程的互化；3）圆的面积公式。注：P =2cos&的两边同时乘以P是常见的技巧。10.已知椭圆:2参数），将其化为直角坐标方程是离心率e二x = Pco或y + y2直面考点：1）直角坐标与极坐标的互化f- CO： 及; 2）ly = Psi n 日/ = tan 日lx椭圆的参数方程；3）椭圆的离心率一一e仝及a,b,c关系：a2=b2 + c2a注：充分利用sin2日+ cos2T =1来消参。11.经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为 。P = 2cos日直面考点：1）直径所对的圆周角是直角;2）直角三角形中余弦函数定义；3）极坐标与极坐标的含义。12.直线l：

25、xJ3y=0与曲线cjx = a7忑cosW（9为参数，ao）有J = y/2 sin 护两个公共点A,B，且AB =2，则实数a的值为_；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为2,P2 4P COS0 +2=0直面考点：1）圆的参数方程；2）垂径定理；3）点到直线的距离公 式；4）普通方程与极坐标方程的互化一一直角坐标与极坐标的互化及厂 y = Psi 门日广=ta n&13.已知圆的极坐标方程为P = 2cos ,则圆心的直角坐标(1,0) 1；半径长为直面考点：直面考点：1 ）直角坐标与极坐标的互化x = co及ly = Psin 日八卩2； 2）圆的标准方程与一般方程的互化。 广=ta n9注：P = 2cos&的两边同时乘以P是常见的技巧。九、常用逻辑用语（选修2-1）1.下列命题中的假命题是（D ）A. /x0且xH1，都有 x+丄 2xB. pa北，直线ax + y = a恒过定点（1,0）C. 3R,使f（X）= （m -1）站*是幕函数D.g迂R，函数f（x）=s in （2xN）都不是偶函数直面考点：1）全称命题与特称命题；2）对