分式的概念及基本性质分式的运算华东师大版(最新整理)_1

1、分式的概念及基本性质 分式的运算一. 本周教学内容：1. 分式的概念及基本性质2. 分式的运算二. 重点、难点重点：分式的基本性质、分式的运算难点：分式的运算三. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理a1. 分式的概念形如（a、b 是整式，且 b 中含有字母， b 0 ）的式子叫做分式。其中 a 叫分式的分子，b 叫分式的分母。b注：（1） 分式的分母中必须含有字母（2） 分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类单项式整式用心 爱心 专心 122 号为您服务- 1 -有理式分式多项式3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。a a ma

2、=，=a m（m 为整式，且 m 0 ）b b mbb m4. 分式的约分与通分（1） 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。步骤：分式的分子、分母都是单项式时分子、分母是多项式时（2） 通分：把 n 个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。求最简公分母的步骤：各分母是单项式时各分母是多项式时5. 分式的运算（1） 乘除运算（2） 分式的乘方（3） 分式的加减运算（4） 分式的混合运算【典型例题】例 1. 下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。ab21axx

3、+ 1111， ， ， -， ( x - y) ，(a + b) ，ax3x - yp4ya - 2分析：本例主要考查的知识点是分式的概念。正确地理解与区分整式和分式的概念是解题的关键。整式包括单项a式和多项式，分式是指形如，其中 a，b 都是整式，且 b 中含有字母的式子，所以，判断一个有理式是否为分式就是b看分母中是否含有字母，若有，则为分式；若无，则为整式。用心 爱心 专心 122 号为您服务- 2 -解：整式有：a ， x + 1 ， 1( x - y) ；3p4ab21x11分式有：， ， -ax，x - yy(a + b)，。a - 2点拨：（1） p为圆周率，是一个常数，不能看作

4、字母。（2） 判断是否是分式，只看形式，不能看化简后的结果。例 2. 下列分式何时有意义x - 114xx（1）x + 2（2）| x|-1（3） x 2 - 1（4） x 2 + 2x分析：只有当分式的分母不等于零时，分式才有意义。x - 1解：（1）由 x + 2 = 0 得 x = -2 ，当 x -2 时，分式有意义。x + 21（2）由| x|-1 = 0 可得 x = 1，当 x 1且 x -1 时，分式有意义。| x|-1（3） 由 x 22- 1 = 0 得 x = 1，当 x 1且 x -1 ，分式4有意义。x 2 - 1x（4） 由 x+ 2x = 0 得 x( x + 2

5、) = 0 ， x1 = 0，x2 = -2 ，当 x 0 且 x -2 时，分式 x 2 + 2x 有意义。点评：首先求出使分母等于零的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义。例 3. 下列分式何时值为零下列各式中 x 为何值时，分式的值为零？（1）4x + 3 3x（2）x - 1x 22-| x|（3）( x - 1)( x + 2)分析：分式的值为零，要求分子等于零且分母不等于零。4x + 3 = 0解：（1）当3x 0x - 1 = 0，即 x = - 344x + 3时，分式的值为零。3xx - 1（2）当x 2 02-| x|= 0，即 x = 1时，分式x 2的值为零。

6、2-| x|（3）当( x - 1)( x + 2) 0，即 x = 2 时，分式的值为零。( x - 1)( x + 2)点评：（3）题中分母为( x - 1)( x + 2) ，要使其不为 0，则 x - 1 0 且 x + 2 0 ，所以有 x 1且 x -2 。例 4. 考查分式基本性质1. 填空。x（1）=xy( y 0)（2）3xy= ()x + 1()x 2 - 2xx - 2（3）x - y = ()x + yx 2 - y 2( x - y 0)（4）a 2 - ab =a - b ab()分析：填入的式子应使等式左右两边相等，如（1）式右边分子是左边的分子乘了 y，所以由分

7、式的基本性质，分母也要乘以 y，才能使其值不发生变化。x解：（1）=xyx + 1( xy + y)用心 爱心 专心 122 号为您服务- 7 -（2）3xy=x 2 - 2x(3y)x - 2（3）x - y x + y= ( x 2 - 2xy + y 2 )x 2 - y 2（4）a 2 - ab ab= a - bb点评：分子分母乘的数必须是同一个，其中（3）式分子变形后是( x - y) 2 ，应写成 x 2 - 2xy + y 2 。2. 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。1 x - 1 y（1）0.3x + y（2） 340.02x - 0.5y1 x +

8、2 y23分析：（1）式的分子、分母要同乘以 50；（2）中的分子分母要同乘以 12。即分子分母同乘各分母的最小公倍数。解：（1）0.3x + y0.02x - 0.5y=(0.3x + y) 50 (0.02x - 0.5y) 50= 15x + 50y x - 25y1 x - 1 y34( 1 x - 1 y) 12344x - 3y（2） 12x +y23=( 1 x + 223y) 12=6x + 8y点评：乘以同一个数时要兼顾各项，不要漏项，如果扩大倍数化为整系数之后能约分，则要进行约分。例 5. 约分-21a 3b5c（1） 56a 2b10d3ab(a - b) 6（2） 12

9、a(b - a) 3（3）x 2 - 4x + 4x 2 - 4（4）(3a - 2a 2 )(3 - 2a - a 2 ) (a 2 + a)(2a 2 - 5a + 3)分析：本例所考查的知识点是约分的方法。（1）（2）两式的分子、分母都是单项式或几个因式乘积的形式，所以可以直接约去分子、分母的系数的最大公约数和分子、分母中相同因式的最低次幂；（3）式的分子、分母是多项式， 应该先分解因式再约分；而（4）题的分子、分母看似没有公因式，实质应进一步分解因式，且要把每一个因式的最高次系数化为正数。解：（1）-21a 3b5c56a 2b10d= - 7a 2b5 3ac 7a 2b5 8b5d

10、= - 3ac8b5d（2）3ab(a - b) 612a(b - a) 3= 3a(a - b) 3 b(a - b) 33a(a - b) 3 (-4)= - 14b(a - b) 3（3）x 2 - 4x + 4x 2 - 4=( x - 2) 2=( x + 2)( x - 2)x - 2x + 2（4）(3a - 2a 2 )(3 - 2a - a 2 ) (a 2 + a)(2a 2 - 5a + 3)= -a(2a - 3) -(a 2 + 2a - 3)a(a + 1)(2a - 3)(a - 1)= a(2a - 3)(a - 1)(a + 3)a(a + 1)(2a - 3

11、)(a - 1)= a + 3a + 1点拨：分式运算的结果一般把分子和分母均按照字母降幂排列，且尽量使最高次项的系数为正。例 6. 通分：（1）3， -4a 2b5，6b2c12ac2x + 2x3（2） 2x + 2 ， x 2 - x - 2 ， 8 - 4x分析：本例所考查的知识点是通分的方法。通分的关键是确定最简公分母，如果分母是单项式，应从系数、相同字母、不同字母三个方面确定最简公分母；如果分母是多项式，应先分解因式，然后把每个因式当作一个因数（或字母）， 再按照单项式求最简公分母的方法，确定最简公分母。解：（1）q最简公分母是12a 2b2c23 4a2b=3 3bc24a2b

12、3bc2=9bc212a2b2c2-56b2c= -5 2a 2c6b2c 2a 2c= -10a 2c12a 2b2c212ac2=1 6ab22ac2 6ab2=6ab212a 2b2c2（2）q最简公分母是4( x + 1)( x - 2) x + 22x + 2= ( x + 2) 2( x - 2)2( x + 1) 2( x - 2)= 2( x + 2)( x - 2)4( x + 1)( x - 2)x=x 4=4xx 2 - x - 2( x - 2)( x + 1) 44( x + 1)( x - 2)38 - 4x=3( x + 1)-4( x - 2)( x + 1)=

13、 -3( x + 1)4( x + 1)( x - 2)点拨：（1） 通分时所取的公分母必须是最简公分母，否则会使计算繁琐。（2） 当两个分式的分母中某个因式只差一个符号时，应提取负号，变成相同的因式。例 7. 分式运算1. 计算：（1）-a 2b3c ( -6cd ) ； 5ab2（2）a 2 + 7a - 8 4a - a 3a 2 - 43a + 24（3） （3）x 2 + 2xy + y 2xy - y 2xy + y 2x 2 - 2xy + y 2（4） (ab - b2 ) a 2 - b2a + b分析：本例考查的知识点是分式的乘除运算。当分式运算中有乘除运算时，应把乘除运算

14、都转化为乘法运算来进行， 在运算过程中要注意正确确定结果的符号。当分子、分母中出现多项式时，应先分解因式再计算，整式可看作分母是 1 的分式。解：（1）-a 2b3c ( -6cd ) =5ab2(-a 2b) (-6cd ) 3c 5ab2= 6a 2bcd =15ab2c2ad 5b（2）a 2 + 7a - 8 4a - a 3a 2 - 43a + 24= (a + 8)(a - 1)-a(a 2 - 4) a 2 - 43(a + 8)= a - 1-3a（3）x 2 + 2xy + y 2xy - y 2xy + y 2x 2 - 2xy + y 2= ( x + y) 2 y(

15、x - y)( x - y) 2 =y( x + y)x 2 - y 2y 2（4） (ab - b2 ) a 2 - b2a + b= b(a - b) a + b= b(a + b)(a - b)点拨：分式的除法运算，常常转化为乘法运算。根据乘法法则应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再约分， 但在实际演算时，可根据情况先约分，再相乘，这样做既简单易行，又不易出错。2. 计算：（1） (-a 8 ) (- b ) 7 (- 1) 6 ；abx 2y 2 3- y 4（2） (-)y 2 (-)x (-)x分析：本例所考查的知识点是分式乘除、乘方混合运算。在计算过程中，如果既有乘除运算，

16、又有乘方运算时， 要先对分式进行乘方，再把除法转化为乘法来进行运算。运算的顺序是先乘方，后乘除。解：（1） (-a 8) (-b ) 7 (-1) 6ab= (-a 8) (- b7a 7) 1b6= a 8 b7 1a 7 b63= ab（2） (-x ) 2y 2 (- y )2x (- y ) 4x= x 2 - y 6 y 4y 4 (x 3 )x 4= x 2 - y 6 x 4y 4 (= - x 3y 2x 3 )y 4点拨：在对分式进行乘方时，除了注意把分式的分子、分母分别乘方外，还要注意乘方中的符号问题。3. 计算：1-x - 11-x + 12x 2 + 1分析：本例所考查

17、的知识点是异分母分子的加减运算。根据法则，应先通分，化为同分母分式再计算，但本例如果一次通分，计算比较复杂，注意到各分母可逐次运用平方差公式，因而可采用逐步合并的方法。1解：-x - 11-x + 12=x 2 + 1( x + 1) - ( x - 1) -( x - 1)( x + 1)2x 2 + 1=2-x 2 - 1=4x 4 - 112x 2 + 1= 2( x 2 + 1) - 2( x 2 - 1)( x 2 + 1)( x 2 - 1)4. 计算：a + 11- a - 11a - 11 - (a - 1)(a + 1)1 - (a 2 - 1)2 - a 2错解：a + 1

18、- a - 1 =a + 1 -1=a + 1=a + 1= a + 1-a - 1a + 1a - 1错解分析：上述解法错在第一步，应该把-a - 1看作分母是 1 的式子，写成或-1，而不是-。11正解：1a + 1- a - 1 =1-a + 1a + 1 =11 - (a + 1) 2a + 1= - a 2 + 2aa + 1考点：分式的运算是中考的必考内容。分式的混合运算及化简求值是历年来中考的热点，每年的中考题对该类题目都有考查，特别是与二次根式、三角函数等相联系的有关化简，求值的题目更是频繁出现。另外，灵活运用各种运算技巧进行分式运算也是不容忽视的一个方面。5. 计算： (a

19、+ 1 +4a 2 + 2a - 3) a 2 - a1 - a 2a + 3分析：本例所要考查的是分式的加减乘除混合运算，分式的混合运算一般先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的。分子或分母如果出现多项式应先分解因式。解： (a + 1 +4a 2 + 2a - 3) a 2 - a1 - a 2a + 3= a + 1 +4 (a + 3)(a - 1)a(a - 1)(1 + a)(1 - a)a + 3= a + 1 -4 1a(a - 1)(a + 1)(a - 1)a - 1= (a + 1) 2 - 4aa(a + 1)(a - 1)1a - 1=(a - 1) 2a(a + 1

20、)(a - 1)=1a(a - 1)=1a 2 + a1a - 1点拨：（1） 分式运算过程中应特别注意符号。如41 - a 2= -4a 2 - 1= -4(a + 1)(a - 1)运算过程中不能漏掉负号。（2） 在运算过程中，如果分式分解因式后自身就能约分，可先约分，这样可以简化运算过程。6. 计算：1 - x 2x 2 + 4x + 4 ( x - 1) 2 x 2 + 3x + 2x - 1错解：原式=(1 + x)(1 - x) ( x + 2) 2 ( x - 1)( x + 2)( x + 1)= (1 + x)(1 - x) ( x + 2) 21( x - 1)( x +

21、2)( x + 1)=1( x + 2) 3x 2 + 3x + 2错解分析：这道题的做法有两处错误：一是未按运算顺序运算，不应该把( x - 1) 和先约分，而应该把x - 1除法转化成乘法后，按从左到右的顺序运算；二是出现了符号错误， (1 - x) 和( x - 1) 约分后的结果不是 1，而是-1。正解：原式=(1 + x)(1 - x) ( x + 2) 21( x - 1) 2 ( x + 2)( x + 1)x - 1= -( x + 1) 2( x + 2)( x - 1) 2忽视运算顺序，错用乘法分配律。1117. 计算：x 2 - y 2 (+)x + yx - y111错

22、解：x 2 - y 2 (+)x + yx - y=11+11x 2 - y 2x + yx 2 - y 2x - y=1( x + y)( x - y) ( x + y) +1( x - y)( x + y) ( x - y)用心 爱心 专心 122 号为您服务- 8 -=1+1x - yx + y=x + y+x - y( x - y)( x + y)( x - y)( x + y)=2x( x - y)( x + y)mm错解分析：解错此题的原因是自造所谓的除法分配律。事实上， m (a + b) +。ab111正解：x 2 - y 2 (+)x + yx - y=1x 2 - y 2=

23、12x( x + y)( x - y) ( x + y)( x - y)( x + y)( x - y)2x= 12x例 8. 能力提高题2211. 已知 x - 3x + 1 = 0 ，求 x +的值。x2分析：本例所考知识点是分式和完全平方公式。根据现有知识，不可能直接求出 x 的值。根据完全平方公式知x 2 + 1 = ( x + 1 ) 2 - 2 。若能求出 x + 1 的值则问题即可解决。由 x 2 - 3x + 1 = 0 ，可知 x 0 ，则 x - 3 + 1 = 0 ，x 2xxx x + 1 = 3 ，从而问题得解。x解：q x 2 - 3x + 1 = 0， x 011

24、两边同除以 x，得 x - 3 += 0 ，即 x += 3xx x 2 + 1x 2= ( x + 1 ) 2 - 2 = 9 - 2 = 7 ，即 x 2 + 1 = 7xx 2213141点拨：准确把握乘法公式，灵活对乘法公式进行变形是解决本题的关键。另外， x， x x 2， x x 3x 4，具有对称性及 x21与 x 2 ， x31与 x 3 ， x41与的互为倒数性，都可以用 x + x 41 或 x - x1表示。如：xx 2 + 1= ( x + 1 ) 2 - 2 ， x 2 - 1= ( x + 1 )( x - 1 ) ；x 2x 4 + 1x 4x= ( x 2 +x

25、 2xx1 ) 2 - 2x 2x 4 - 1 = ( x 2 + 1 )( x 2 - 1 ) = ( x + 1 ) 2 - 2( x + 1 )( x - 1 )x 4x 2x 2xxx112x - 3xy + 2 y用心 爱心 专心 122 号为您服务- 9 -2. 已知+ = 5，求的值xyx + 2xy + y分析：首先应排除一种错误的想法，若试图从已知条件1 + 1 = 5中求出 x 以及 y 的具体值，然后代入求值，显然xy是行不通的。那么如何求呢？待求的分式也不能化简。所以应该着眼于找已知与未知之间的“桥梁”，即共同点，这就需要利用分式的基本性质把已知条件变形。11解法一：由

26、+ = 5，可知 x 0，y 0 ，故在等式两边同乘以 xyxy得 x + y = 5xy2x - 3xy + 2 y故x + 2xy + y= 2( x + y) - 3xy ( x + y) + 2xy= 2 5xy - 3xy 5xy + 2xy= 7xy = 17xy解法二：q xy 0 ，将所求分式的分子分母同除以 xy，得2( 1 + 1 ) - 32x - 3xy + 2 y = (2x - 3xy + 2 y) xy =xy= 2 5 - 3 = 1x + 2xy + y( x + 2xy + y) xy2 + ( 1 + 1 )xy2 + 5点拨：（1） 利用分式基本性质变形

27、时，必须注意所乘的（或所除的）整式不能为零。（2） 运用整体代入法求值是解决本题的关键。（3） 交待 x 0，y 0 很重要。一方面，这是应用分式基本性质的要求，另一方面，它是以后解分式方程检验增根的理论依据。（答题时间：60 分钟）一. 填空x1. 分式有意义，则 x x - 5x 2 - 42. 若分式的值为零，则 x x + 23. 计算：1-a - 36= a 2 - 94. (-3 a 2bc) (-3ab) = 45. 化简(ab - b2 ) 11a - b ab的结果为 2x + xy - 2 y6. 已知- = 2 ，则分式xyx - 2xy - y = 7. 不改变分式的值

28、，使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数，则8. 若3m = 3，3n = 2 ，则3m-3n 的值为 1 - a - a 2=1 + a - a 3 用心 爱心 专心 122 号为您服务- 119. 已知a 2- 6a + 9 与(b - 1) 2互为相反数，则式子( ab- b ) (a + b) 的值是 a10. 如果 xm xn = x ，则 m 与 n 的关系是 二. 选择题1. 下列运算正确的是（）331 6241 84141262a. a a = ab. b 3a 3= a bc. x2 6x = x12d. a a = a2. 下列等式中不成立的是（）x 2 - y 2x 2

29、 + xy + y 2xyyyxy 2 - x 2a.x - y= x + yb.x - y= x + y c.x 2 - xy =x - yd.-=xyxya3. 化简b- b -aa 2 + b2ab的结果是（）2a2a2ba. 0b.c. -bbd. -a4. 计算a - 1 (a - 1) 的正确结果是（）aa11a. 1b. 1c.d.a + 1a - 1x - y5. 下列各式与相等的是（）x + y( x - y) + 5a.( x + y) + 52x - yb.2x + y( x - y) 2c.x 2 - y 2x 2 - y 2d.x 2 + y 22xy6. 分式中 x

30、、y 都扩大 2 倍，那么分式的值（）x - ya. 变为原来的 2 倍b. 不变c. 变为原来的 4 倍d. 无法确定7. 下列各式正确的是（）- x + yx - ya. =- x - yx + y- x + yb. =x - y- x - y x - y- x + yc. =- x - yx + y x - yx + yx - yd. =- x - yx + yx 2 - 18. 如果分式的值为零，那么 x 等于（）xa. 1 或 1b. 1c. 1d. 1 或 29. 小明从家到学校每小时走 a 千米，从学校返回家里每小时走 b 千米，则他往返家里和学校的平均速度是每小时走（）a +

31、bab2ababa. 千米b.千米c.千米d.千米2a + ba + b2(a + b)( x - 2)( x + 1)10. 若代数式的值为零，则 x 的取值应为（）| x|-1a. x = 2 或 x = -1b. x = -1c. x = 1d. x = 2三. 解答题1. 已知am = 3，an = 5 ，求a 4m-3n 的值。2. 计算：+122（1）a 2 - 93 - a（2）a 2 - ab a 2 ( ab- b )a（3） (a 2 - 4a 2 - 4a + 4-1 ) a - 2a + 1a + 23. 先化简再求值（1）1-x + 1x + 3x 2 - 1，其中

32、x = -22a2 - 2a + 12（2）a2 - a+ ，其中a =a（3） (3x -x - 2x) x + 2x 2 - 4x，其中 x = -4四. 阅读理解题1. 请你阅读下列计算过程，再回答所提出的问题。用心 爱心 专心 122 号为您服务- 12x - 3 -x 2 - 131 - x=x - 3( x + 1)( x - 1)=x - 3( x + 1)( x - 1)- 3ax - 1-3( x + 1)b( x + 1)( x - 1)= x - 3 - 3( x + 1)c= -2x - 6d（1） 上述计算过程中，从哪一步开始出现错误： （2） 从 b 到 c 是否正

33、确： （3） 请你写出正确的解题过程。2. 先阅读，然后回答问题。= -aa 2 - 2ab - 3b2若 b2 ，求 a 2 - 6ab - 7b2 的值。a解：因为b= -2 ，所以a = -2b （第一步）a 2 - 2ab - 3b2所以 a 2 - 6ab - 7b2= (-2b) 2 - 2(-2b)b - 3b2(-2b) 2 - 6(-2b)b - 7b2= 5b29b2= 5 （第二步）9（1） 回答问题：第一步运用了的基本性质；5b25第二步的解题过程运用了的方法，由 9b2得 ，是对分式进行了。9xyzx + y - z（2） 模仿运用，已知= 0 ，求的值。346x - y + z用心 爱心 专心 122 号为您服务- 13一. 填空参考答案1121. 52. 23.4.aca + 345. ab3a 2 + a - 1326.7.8.9.10.m - n = 14a 3 - a - 183二. 选择题1. c2. b3. d4. c5. c6. a7. a8. a9. b10. d三. 解答题4m-3n4m3nm 4n