勾股定理知识点及典型例题(最新整理)

1、八下第 18 章 勾股定理勾股定理知识点导航一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足 a2b2c2 的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三

2、角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1） 确定最大边（不妨设为 c）；（2） 若 c2a2b2，则abc 是以c 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜

3、边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于bahegfbaccccc斜边的一半，那么这条直角边所对的角dab等于 30。5. 勾股定理的作用：ba（1） 已知直角三角形的两边求第三边。a（2） 已知直角三角形的一边，求另两边的关cbab系。（3） 用于证明线段平方关系的问题。n（4） 利用勾股定理，作出长为的线段6、2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理：（一）结合三角形：1. 已知 d abc 的三边 a 、b 、 c 满足 (a - b)2 + (b - c)2 = 0

4、，则 d abc 为三角形2. 在 d abc 中，若 a 2 =（ b + c ）（ b - c ），则 d abc 是 三角形，且 903. 在 d abc 中，ab=13，ac=15，高 ad=12，则 bc 的长为 4、已知 x - 12 + x + y - 25 与 z 2 - 10z + 25 互为相反数，试判断以 x 、 y 、 z 为三边的三角形的形状。5、.已知：在 d abc 中，三条边长分别为 a 、b 、 c ， a = n 2 - 1， b =2 n ， c = n 2 + 1（ n 1） 试说明： c= 90 。6. 若 d abc 的三边 a 、 b 、 c 满足

5、条件 a 2 + b 2 + c 2 + 338 = 10a + 24b + 26c ，试判断 d abc 的形状。a - 67. 已知+ 2 b - 8 + (c - 10)2 = 0, 则以 a 、b 、 c 为边的三角形是 （二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1） 一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动 米第 1 题图第 2 题图第 3 题图（2） 如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的

6、滑动距离 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3） 如图，梯子 ab 斜靠在墙面上，acbc，ac=bc，当梯子的顶端 a 沿 ac 方向下滑 x 米时，梯足 b 沿 cb方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是（）a. x+yb. xyc. x yd. 不能确定（4） 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 1 m，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为 h，则下列式子总能成立的是（）a. ab = b 2b. a 2+ b 2= 2h

7、2c. 1 + 1 = 1abhd.1 + 1 = 1a 2b 2h 2变：c如图，在 rtabc 中，acb=90，cdab 于 d，设 ab=c，ac=b，bc=a，cd=h。+=111求证：（1）a 2b 2h 2（2） a + b c + hadb（3） 以 a + b，h，c + h为三边的三角形是直角三角形试一试：（1）只需证明 h 2 ( 1a 2+ 1 ) = 1 ，从左边推到到右边b 2（2） (a + b)2 (c + h)2（3） (a + h)2 + h 2 = (c + h)2 ，注意面积关系 ab = ch 的应用3. 爬行距离最短问题：1. 如图，一个无盖的正方体

8、盒子的棱长为 10cm，得到c1 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）（1） 假设昆虫甲在顶点c1 处静止不动，如图 a，在盒子的内部我们先取棱 bb1 的中点 e，再连结 ae、 ec1 ，昆虫乙如果沿途径 a e c1 爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点 a 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2） 如图 b，假设昆虫甲从点c1 以 1厘米/秒的速度在盒子的内部沿c1c 向下爬行，同时昆虫乙从顶点a 以 2 厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一

9、试：对于（2），当昆虫甲从顶点 c1 沿棱 c1c 向顶点 c 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2. 如图，一块砖宽 an=5，长 nd=10，cd 上的点 f 距地面的高 fd=8，地面上 a 处的一只蚂蚁到 b 处吃食，要爬行的最短路线是cm3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 dm 、3 dm 、2 dm ，a 和 b 是这个台阶两相对的端点， a 点有一只昆虫想到 b 点去吃可口的食物， 则昆虫沿着台阶爬到 b 点的最短路程是分米？d. 5a4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面

10、从点 a 爬到点 b，则它走过的路程最短为（ ）a.3ab. (1 +2 )ac. 3amqabpn5、如图，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 a 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 b 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3）6、如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 a 点沿表面爬行至右侧面的 b 点

11、，最少要花几秒钟？7 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招， 就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为 3 cm，绕一圈升高 4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为 8 cm，绕一圈爬行 10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高多少厘米？mqpnaal8、如图，a、b 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，b且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m， 两村庄之间的距离为 d(已知 d2=400000m2

12、)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？4、实际问题1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。32. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。3. 如图， 一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定， 两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 b、c 两点，在江对岸取一点 a，使 ac 垂直江岸，测得 bc50 米，b60，则江面的宽度为 。5、如图，公路 mn 和公路 pq 在 p 点处交汇，点 a

13、 处有一所中学，ap=160 米，点 a 到公路 mn 的距离为 80 米， 假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？5、求边长：1.如图所示，在四边形 abcd 中，bad=90 0 ，dbc=90 0 ，ad=3，ab=4，bc=12，求 cd。6、方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由 a 点出发沿正东方向 an 航行，在 a 点望湖中小岛 m，测得man30，当他到 b点时，测得mbn45，ab100 米，你能算

14、出 am 的长吗？mabn2. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? 若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?7、折叠问题：1. 如图，矩形纸片 abcd 的长 ad=9，宽 ab=3，将其折叠，使点 d 与点 b 重合，那么折叠后 de 的长是多少？2. 如图，在长方形 abcd 中，将abc 沿 ac 对折至aec 位置，ce 与 ad 交于点 f。（1）试说明：af=fc；（2）如果 ab=3，bc=4，求 af 的长3. 如图，在长方形 abcd 中，dc=5，在 d

15、c 边上存在一点 e，沿直线 ae 把abc 折叠，使点 d 恰好在 bc 边上，设此点为 f，若abf 的面积为 30，求折叠的aed 的面积adebfc4. 如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 ac=6，bc=8， 现将直角边 ac 沿直线 ad 折叠，使它落在斜边 ab 上，且与 ae 重合， 你能求出 cd 的长吗？5. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边ac=6，bc=8，将abc 折叠，使点 b 与点a 重合，折痕为 de，则 cd 等于（）252275a.b.c.d.43436、如图，矩形纸片 abcd 的边 ab=10cm，bc=6cm，e 为 bc 上一点，将矩形纸片

16、沿 ae 折叠，点 b 恰好落在 cd 边上的点 g 处，求 be 的长.8、利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边 d 点 1.5 米的 c 处，直立长着一根芦苇，出水部分 bc 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 b 恰好落到 d 点，并求水池的深度 ac.9、旋转问题31、如图，p 是等边三角形 abc 内一点，pa=2,pb= 2求abc 的边长。,pc=4,2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 abcd，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 phf 的直角顶点 p 落在 ad 边上（不与 a、d 重合），在 ad 上适当移动三角板顶点 p：能否使你的

17、三角板两直角边分别通过点 b 与点 c？若能，请你求出这时 ap 的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 p 在 ad 上移动，直角边 ph 始终通过点 b，另一直角边 pf 与 dc 的延长线交于点 q，与 bc 交于点 e，能否使 ce=2cm？若能，请你求出这时 ap 的长；若不能，请你说明理由.3、如图，正方形 abcd 中，e 是 bc 边上的中点，f 是 ab 上一点，且 fb =吗？为什么？1 ab ，那么def 是直角三角形4“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, pe

18、ople who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relev