勾股定理笔记要点(最新整理)_1

1、勾股定理基础知识汇总一、已经学过的有关直角三角形中的边角关系4.勾股数的几种表达方式(1).2n +1, 2n2 + 2n, 2n2 + 2n +1（ 毕 达 哥 拉斯）5cbahadcb(2)n2 -1, 2n, n2 +1（柏拉图）(3)m2 - n2 , 2mn, m2 + n2 （丢番图）1. 两锐角之间的关系： a + b = 90o2. 边与高的关系： ab = ch3. 边与角之间的特殊关系：在直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半；4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。二、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即 a2 + b2 = c2三、勾

2、股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。四、勾股数组1. 如果三个正整数 a, b, c 满足关系 a2 + b2 = c2 ，那么 a, b, c 叫做勾股数。2. 勾股数的性质如果 a, b, c 是勾股数， k 为正整数， 那么ka, kb, kc 也是勾股数请探究上述三个表达式，思考下列问题（1） 你能从勾股数 3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？（2） 柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？与你已经学过的哪些公式有关联？五、勾股定理应用（1） 学习过勾股定理之后三角形的特殊关

3、系3o如果a = 30 ，那么 a : b : c = 1: 22o如果a = 45 ，那么 a : b : c = 1:1:思考：勾股数的定义中有何限制？3. 常用勾股数：3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；l如果 a, b, c 是直角三角形的三条直角边，那么以 a+ b，c + h，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形如果 a, b, c 是直角三角形的三条直角边，那么以111， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角abh形（2） 藤绕树问题的解法（4） 蚂蚁最短路径问题公式我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地dhbacf上，高二丈，周三尺，有葛藤自根

4、缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，a把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 a 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 b 处则问题中葛藤的最短长度是尺bedhfefdaecghgcabbb c edfaaacchgg（3） 长方体盒子对角线的长度公式fdhceagb六、典型例题例 1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形abcd、正方形 efgh、正方形 mnkt 的面积分别为 s1、s2、

5、s3若正方形 efgh 的边长为 2， 则 s1+s2+s3=【答案】12（3）伽菲尔德（ garfield ，1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图2 证明了勾股定理（1876年 4 月 1 日，发表在新英格兰教育日志上），现请你尝试该证明过程2.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是 a，b ，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1） 画出拼成的这个图形的示意图（2） 证明勾股定理4. 问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明 方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法 进行了证明著名数学家华罗

6、庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言定理表述请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3 分）ccdcabaabbbeac（图 1）（图 2）尝试证明以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b为底，以 a + b 为高的直角梯形（如图 2）请你利用图 2，验证勾股定理；（4 分）知识拓展3.（1）如图 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：q bc = a + b ， ad =a + b 2c（ 2） 如 图 2，rtabc rtcd

7、e ，又q在直角梯形 abcd 中有 bcad2（填大小关系），即 b = d = 90o ，且 b，c，d 三点共线试证明ace = 90o ；ab a + b c（3 分）accbeaabbbcad图 1图 2当 a2+b2c2 时，abc 为钝角三角形(4 分)(3)判断当 a=2,b=4 时，abc 的形状，并求出对应的 c 的取值范围(4 分)5. 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形7.阅读材料：x2 +1( x - 3)2 + 4例：说明代数式+并求它的最小值的几何意义，解：x2 +1( x - 3)2 + 4( x - 0)

8、2 +12( x - 3)2 + 22（1） 在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边 形的名称；（2） 如图，将abc 绕顶点 b 按顺时针方向旋转 60得到dbe，连接 ad，dc，ce，已知dcb=30求证：bce 是等边三角形；求证：dc2+bc2=ac2，即四边形 abcd 是勾股四边形+=+如图，建立平面直角坐标系，点 p ( x，0) 是 x 轴上一点，( x - 0)2 +12( x - 3)2 + 22则可以看成点 p 与点 a(0，1) 的距离，可以看成点 p 与点 b (3，2) 的距离，所以原代数式的值可以看成线段 pa 与 pb 长度之和， 它的最小值就是 pa +

9、pb 的最小值设点 a 关于 x 轴的对称点为 a ，则 pa = pa，因此，求 pa + pb 的最小值，只需求 pa+ pb 的最小值，而点 a 、 b 间的直线段距离最短，所以 pa+ pb 的最小值为线段 ab 的长度为此，构造直角三角形2acb ，因为 ac=3，cb=3 ，所以 ab = 3，2即原式的最小值为3根据以上阅读材料，解答下列问题：( x -1)2 +1（1）代数式+( x - 2)2 + 9的值可以看成平面直角坐标系中点 p ( x，0) 与点 a(1，1) 、点 bx2 -12x + 37 的距离之和（填写点 b 的坐标）6. 在abc 中，bc=a,ac=b,a

10、b=c，设 c 为最长边当a2+b2=c2 时，abc 是直角三角形；当 a2+b2c2 时， 利用代数式 a2+b2 和 c2 的大小关系，探究abc 的形状(按角分类)(1) 当 abc 三边长分别为 6,8,9 时， abc 为 c2；当abc 三边长分别为 6,8,11 时，abc为三角形(4 分)（2）代数式+x2 + 49 的最小值为(2) 猜想：当 a2+b2c2 时，abc 为锐角三角形；“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are v

11、ery happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and inn