勾股定理的证明和应用(最新整理)_1

1、第 3 章 勾股定理知识结构：（1） 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（2） 勾股定理的验证用拼图法,借助面积不变的关系来证明1. 勾股定理1.在直角三角形中已知两边求第三边（3） 应用2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高（1）如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形2. 勾股定理的逆定理（2） 勾股数1. 满足 a2+b2=c2 的三个正整数a,b,c 称为勾股数（1）3,4,5（2）5,12,13勾股定理2. 常见的勾股数（3）8,15,17求几何体表面上两点间的最短距离（1）勾股定理的简单应用解决实际应用问题3. 应用（2）勾股定理

2、逆定理的应用判定某个三角形是否为直角三角形3.1 勾股定理一、求网格中图形的面积求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。二、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。三、勾股定理的验证运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。3.2 勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为 a,b,c 且 a2+b

3、2=c2,那么这个三角形是直角三角形。注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。（2）不是所有的 c 都是斜边，要根据题意具体分析。当满足 a2+b2=c2 时，c 是斜边，它所对的角是直角。勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：勾股定理勾股定理的逆定理条件在 rtabc 中，c=90，a，b，c分别为a，b，c 的对边在abc 中，a2+b2=c2，a，b，c 分别为a，b，c 的对边结论a2+b2=c2c=90区别勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“这个三角形的三边满足 a2+b2=c2”，即由“形” 到“数”勾

4、股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2”为条件，进而得到“ 这个三角形是直角三角形”，即由“数” 到“形”联系都与“一个三角形的三边关系 a2+b2=c2”及“直角三角形”有关二、勾股数满足关系 a2+b2=c2 的 3 个正整数 a，b，c 称为勾股数。详解：（1）如：32+42=52，所以 3,4,5 是一组勾股数，常见的勾股数有 3,4,5；5,12,13；6,8,10等。（2） 勾股数必须是正整数。（3） 一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。（4） 记住常用的勾股数可以提高做题速度。3.3 勾股定理的简单应用一、勾股定理的应用运用勾股定理可以解决生活

5、中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。注意：应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。二、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。【勾股定理的证明】例 1如图，是用硬纸版作成

6、的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为 a 和 b，斜边为 c，大直角三角形直角边都为 c，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。(1)画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。(2)用这个图形证明勾股定理。例 2数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空。操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为 a、b、c，如图。(1) 拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图、图可发现，图中两个小正方形的面积之和图中小正方形的面积(填“大于”“ 小于”“等于”)，用关系式可表示

7、为；(2) 拼图二：用 4 张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，图中共有 3 个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为 s 大、s 中、s 小，其关系是 ，用 a、b、c 可表示为；(3) 拼图三：用 8 张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中 3 个正方形的面积按大小顺序分别记为 s 大、s 中、s 小，其关系是，用 a、b、c 可表示为 .（思考题）如图，在abc 中 ab2=ac2=3，d 是 bc 上一点，且 ad=1，则bddc=.【勾股定理的应用】例 1（基础题）利用勾股定理求三角形的边长已知abc 中，c=90，ab=c，ac=b（c 为斜边、a、b 为直角边）（1）如

8、果 a=7，b=24，求 c；（2）如果 a=15，c=17，求 b.例 2已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长填空：（1） 直角三角形的一条直角边和斜边的比是 3:5，已知这条直角边的长是 12，则斜边长为.（2） 在 rtabc 中，c=90，b=60，b=6（c 为斜边，a、b 为直角边）则c=，a=.例 3利用勾股定理说明边的关系如图，ad 是abc 的中线，试说明：ab2ac2=2（ad2cd2）e例 4利用勾股定理求面积：a如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ac6cm， bc8cm，现将直角边ac 沿直线折叠，使它落在斜边 ab 上，且点 c 落到 e 点，求a

9、cd 的面积是多少?cdb例 5求等腰三角形底边上的高如图，在abc 中，ab=ac=5,bc=6,ad 是 bc 边上的中线，求 ad 的长。例 6利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形已知 a、b、c 为abc 的三边，且满足 a2b2c2338=10a24b26c试说明：这个三角形是直角三角形。dc例 7勾股定理及其逆定理的综合应用：（1）如图， 四边形 abcd 中，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，b=90， a求四边形 abcd 的面积。b（2） 、下列几组数中是勾股数的是（填序号）32、42、52 5、12、13 1 、 1 、 10.9、1.2、1.534

10、5（3） 如图，在 rtabc 中，acb90，ad、be、cf 分别是三边上的中线.2若 ac1，bc求证：ad2cf2be2；是否存在这样的 rtabc，使得它三边上的中线 ad、be、cf 的长恰好是一组勾股数？ 请说明理由（提示：满足关系 a2b2c2 的 3 个正整数 a、b、c 称为勾股数）例 8构造直角三角形求角的度数如图，在abc 中，acb=90，ac=bc，p 是abc 内的一点，且 pb=1，pc=2，pa=3.把acp绕 c 点逆时针旋转 90使点 a 和点 b 重合，得到四边形 abdc，求bpc 的度数。例 9勾股定理在实际生活中的应用a 市接到台风警报时，台风中心

11、位于 a 市正南方向 125 km 的b 处，正以 15km/h 的速度沿bc方向移动。（1） 已知 a 市到 bc 的距离 ad=35 km，那么台风中心从 b 点移到 d 点经过多长时间?（2） 如果在距台风中心 40 km 的圆形区域内都将受到台风影响，那么 a 市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到 1 分钟)?例 10最短路径问题1、有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，a 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 c 处，求蚂蚁爬行的最短距离.2、如图 1，长方体的长为 20，宽为 10，高为 25，点 b 离点 c 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 a 爬到点 b，

12、需要爬行的最短距离是多少？3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cma 和 b 是这个台阶上两个相对的端点，点 a 处有一只蚂蚁，想到点 b 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 b 的最短路程为 .4、如图所示：有一个长、宽都是 2 米，高为 3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 a 点爬到 b点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。总结 1：利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面：（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短。总结 2：利用勾股定理求最短路径问题一般步骤：（1）画出展开图；（2）确定点的位置；（3）连接线段；（4）用勾股定理求解。简化步骤是

13、：画图定点连线求解注意：如果不是两个相对顶点的最短路径，不能用之前给的公式去求解。例 11探究题1、探索与研究：方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90所得，所以bae90，且四边形 acfd 是一个正方形，它的面积和四边形 abfe 面积相等，而四边形 abfe面积等于 rtbae 和 rtbfe 的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的 rtbea 和 rtacd 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？2、已知：在 rtabc 中，c=90a、b、c 所对的边分别记作 a、b、c如图 1，分别以a

14、bc 的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作 s1、s2、s3，则有 s1+s2=s3；（1） 如图 2，分别以abc 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作 s1、 s2、s3，请问 s1+s2 与 s3 有怎样的数量关系，并证明你的结论；（2） 分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图 3 所示，其面积由小到大分别记作 s1、s2、s3，根据（2）中的探索，直接回答 s1+s2 与 s3 有怎样的数量关系；（3） 若 rtabc 中，ac=6，bc=8，求出图 4 中阴影部分的面积“”“”at the end, xiao bian gives you

15、a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks