反证法证明题(简单)(最新整理)

1、反证法证明题例 1. 已知a ， b ， c 为dabc 内角.求证： a ， b ， c 中至少有一个不小于 60o.证明：假设dabc 的三个内角a ， b ， c 都小于 60o， 即a 60o， b 60o， c 60o，所以a + b + c 2 ，则有 a 2 - b ，所以 a3 (2 - b)3 即 a3 8 -12b + 6b2 - b3 ，所以 a3 8 -12b + 6b2 - b3 = 6(b -1)2 + 2 .因为6(b -1)2 + 2 2所以 a3 + b3 2 ，与已知 a3 + b3 = 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例 4. 设an 是公比为的

2、等比数列， sn 为它的前 n 项和.求证：sn 不是等比数列.证明：假设是s 等比数列，则 s 2 = s s ，n213111即 a2 (1+ q)2 = a a (1+ q + q2 ) .因为等比数列 a1 0 ，所以(1+ q)2 = 1+ q + q2 即 q = 0 ，与等比数列 q 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.2例 5. 证明是无理数.m22证明：假设是有理数，则存在互为质数的整数 m，n 使得=.n所以 m =2n 即 m2 = 2n2 ，所以 m2 为偶数，所以m 为偶数.所以设 m = 2k (k n *) ，从而有4k 2 = 2n2 即 n2 = 2k

3、 2 .所以n2 也为偶数，所以 n 为偶数.与 m，n 互为质数矛盾.2所以假设不成立，所求证是无理数成立.例 6. 已知直线 a, b 和平面，如果 a a, b a，且 a / /b ，求证a / /a。证明：因为 a / /b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面b。因为 a a，而 a b，所以 a与b是两个不同的平面因为b a，且b b，所以ai b= b .下面用反证法证明直线 a 与平面a没有公共点假设直线 a 与平面a有公共点 p ，则 p ai b= b ，即点 p 是直线 a 与 b 的公共点，这与 a / /b 矛盾所以a / /a.例 7已知 0 a, b, c

4、 1, (2 - b)a1, (2 - c)b1，则(2 - a)c(2 - b)a(2 - c)b1(2 - a) + a又因为设 0 a, b, c 0，且 x + y 2，则和中至少有一个小于 2xy1 + y1 + x证明：假设2，2，xy因为 x, y 0，所以1+ y 2x,1+ x 2 y ，可得 x + y 2与 x + y 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例 9设 0 a, b, c ,(1 - b)c ,(1 - c)a ,4441则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 64(1 - a) + a 21又0 a, b, c 1 0 (1

5、 - a)a 2 = 4同理： (1 - b)b 1 ,4(1 - c)c 141以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c与矛盾64所以原式成立例 10. 设二次函数 f (x) = x 2 + px + q ，求证：f (1) ,f (2) ,f (3) 中至少有一个不小于 1 .2证明：假设f (1) ,f (2) ,f (3) 都小于 1 ，2则 f (1) + 2 f (2) +f (3) 2.（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有f (1) + 2 f (2) +f (3) f (1) - 2 f (2) + f (3)（2）= (1 + p + q) -

6、2(4 + 2 p + q) + (9 + 3 p + q) = 2（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the

7、 importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document is also edited