复变函数与积分变换习题答案(最新整理)

1、一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。(1) iippp解： i = e 2 = cos(2) -1+ i sin22解： -1 = eip = cosp+ i sinp3(3) 1+ i3解：1+ i= 2eip/3 = 2 (cosp/ 3 + i sinp/ 3)(4) 1- cosa+ i sina解：cos(sini cos)1- cosa+ i sina= 2 sin2 a+ i2 sin aa= 2 sin aa+a222222ip a= 2 sin ap- a + p- a = 2 sin a - cos()i sin() e 2 2 2 2222 2(5) z3解：

2、 z3 = r3ei3q = r3 (cos 3q+ i sin 3q)(6) (6)e1+i解： e1+i = eei = e (cos1+ i sin1)(7) 1- i1+ i解： 1- i = 1- i = -i = ei3p/4 = cos 3p/ 4 + i sin 3p/ 41+ i1+ i二、计算下列数值a + ib(1)解：a + b e22i ar ctg b +2kpa4 a2 + b2 i 1 ar ctg b +kp 2aa + ib=1bi ar ctge 4 a2 + b2 e 2a= 1b- 4 a2 + b2 ei 2 ar ctg a3 i(2)3ipie

3、6 =+3i +2kppe2223 6 +3ip 2 kp解： 3 i = e = ip 2p + 6 3ie= -+eip 4p 6 + 322= -i(3) iii( i 2 +2kp )ip- 2 +2kpp解： i =i i(4)e = e i ip1/ip( )解：=ei 2 +2kp= e 2 +2kp(5) cos 5a解：由于： (eia)5 + (e-ia)5 = 2 cos 5a，(eia)5 = (cosa+ i sina)5 = 5而：n=055(e-ia)5 = (cosa- i sina)5 = 5cn (cosa)n (i sina)5-ncn (cosa)n (

4、-i sina)5-n所以：cos 5a= 1 52 n=0n=05 cn (cosa)n (i sina)5-n + (cosa)n (-i sina)5-n = 1 5cn (cosa)n (i sina)5-n 1+ (-1)5-n 52 n=0(6) sin 5a= 5 cosa(i sina)4 + c3 (cosa)3 (i sina)2 + (cosa)55= 5 cosasin4a-10 cos3asin2a+ cos5a解：由于： (eia)5 - (e-ia)5 = 2 sin 5a，所以：sin 5a= 1 52i n=0= 1 5cn (cosa)n (i sina)5

5、-n - (cosa)n (-i sina)5-n 5 cn (cosa)n (i sina)5-n 1- (-1)5-n 52i n=0= 1 (i sina)5 + c 2 (cosa)2 (i sina)3 + c 4i sina(cosa)4 )i55= sin5a-10 cos2asin3a+ 5sinacos4a(7) cosa+ cos 2a+ll + cos na解：2cosa+ cos 2a+ll + cos na= 1 (eia + ei2a +ll+ eina) + (e-ia + e-i2a +ll+ e-ina)1 eia(1- eina)e-ia(1- e-ina)

6、 1 eia(1- eina) (1- e-ia) + e-ia(1- e-ina) (1- eia)= 2 1- eia+1- e-ia = 2 2(1- cosa)= 1 eia + e-ia - 2 - ei (n+1)a - e-i (n+1)a + eina + e-ina 2 2(1- cosa)= 1 2 cosa- 2 - 2 cos(n +1)a+ 2 cos na = cosa-1- cos(n +1)a+ cos na2 2(1- cosa)2(1- cosa)sin(n + 1 )a- sin a=2 a22 sin2(8) sina+ sin 2a+ll + sin

7、na解：2isina+ sin 2a+ll + sin na= 1 (eia + ei2a +ll+ eina) - (e-ia + e-i2a +ll+ e-ina)1 eia(1- eina)e-ia(1- e-ina) 1 eia(1- eina) (1- e-ia) - e-ia(1- e-ina) (1- eia)= 2i 1- eia-1- e-ia = 2i 2(1- cosa)= 1 eia -1- ei (n+1)a + eina - e-ia +1+ e-i (n+1)a - e-ina 2i 2(1- cosa)= 1 2i sina- 2i sin(n +1)a+ 2i

8、 sin na = sina- sin(n +1)a+ sin na2i 2(1- cosa)2(1- cosa)-cos(n + 1 )a+ cosa=1.2 复变函数222 sin a21、试证明函数 f(z)=arg(z) (-parg(z) p)，在负实轴上(包括原点)不连续。证明：(1) 在负实轴上，任取一点 z = -a ，则分别由水平方向和垂直方向趋近 z 点有：limdy0+limdy0-f (z) =f (z) =limdy0+limdy0-arg(-a + idy) = parg(-a + idy) = -p显然函数在负实轴上不连续。(2) 在零点，沿 z = reiq方向

9、趋近于零点则：limdz0f (z) = lim arg(reiq) =qdz0显然，其极限结果与路径相关，则该函数在 0 点无极限。2、复平面上，圆周可以写成 azz + bz + bz + c = 0 ，这里 a，c 为实数，b 为复数。证明：在平面上圆的一般方程表示为：x2 + y2 + ax + by + c = 011则在复平面上： x =(z + z ), y =2 2i(z - z ) ，所以圆方程变形为： 2 222zz + a - i b z + a + i b z + c = 0bab c若令：=- i,= c a22 a则： azz + bz + bz + c = 02.

10、1 解析函数1、试证明下列函数处处不可微：(1)证明：f (z) = z(2)f (z) = x(1) 在 z 0 处，有： z dx + z dylim df (z) = limd z= lim xy= 1 lim xdx + ydydz0dzdz0 dx + idydz0dx + idyr dz0dx + idy若沿dz = deiq方向趋近于 z 点，则：lim df (z) = 1 lim xdcosq+ ydsinq= 1 ( x cosq+ y sinq) e-iqdz0dzr dz0deiqr显然，函数不可微。(2) 在 z = 0 处，有：lim df (z) = limdzd

11、z0dzdz0 dx + idy若沿dz = deiq方向趋近于 0 点，则：lim df (z) = limdz= e-iqdz0dzdz0 dx + idy显然，函数不可微。2、设：x3 - y3x3 + y3u(x, y) = x2 + y2 , v(x, y) = x2 + y2, z 0u(x, y) = v(x, y) = 0, z = 0试证明 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原点满足 c-r 条件，但不可微。证明：首先：u(x, y)xv(x, y)x(0,0)(0,0)= 1, u(x, y)y= 1, v(x, y)y(0,0)(0,0)= -1= 1显然： u(x

12、, y)x=(0,0),v(x, y)y(0,0)u(x, y)y(0,0)= - v(x, y)x(0,0)，在原点 f(z)满足 c-r 条件。而在(0,0)点，f(z)的导数定义为：dx3 - dy3 +dx3 + dy3f (z) = limdf (z)= limf (dz) - f (0)= limf (dz)= limdx2 + dy2i dx2 + dy2dz0dzdz0dx + idydz0 dx + idydz0dx + idy若沿dz = deiq方向趋近于 0 点，则：f (z) = limdz0df (z)=dz(cosq3 - sinq3 ) + i (cosq3 +

13、 sinq3 ) cosq+ i sinq1 (1+ i)(3 + e-i4q)4显然，函数在原点的导数不存在，所以函数虽然在原点满足 c-r 条件，但不可微。c-r 条件只是函数可微的必要条件。1.2 复变函数1、试证明函数 f(z)=arg(z) (-p 0) ； (6) 01- 2ecos x +e2(e 1)解：(5)padx0 a2 + sin2 x= 0pa22p=adx+ 1 - cos 2x 22adx0令： z = eix ，则：2a2 +1- cos xpadx=0 a2 + sin2 x2adz(1-1 z =1 2a+1-z + z2) iz= - 2a dz= - 2

14、a f (z)dzi z =1z2 - 2 (2a2 +1) z +1i z =1a2 +1显然， f (z) 存在两个一阶极点： z = (2a2 +1) 2a处于单位圆内，所以：，只有： z = (2a2 +1) - 2aa2 +1resz =(2a2 +1)-2af (z) =lim1a2 +1a2 +1 z - (2a2 +1) + 2a a2 +1z(2a2 +1)-2a14a a2 +1= -padx2a 1pa2 +1则： 0a2 + sin2 x = - i 2pi -=22pcos xdx4a a+1 (6) 01- 2ecos x +e2(e 0 z =ak x- x +1

15、1ipipi 5pi 5p而函数 f (z) =x4 - x2 +1ip存在四个一阶极点： z = e 6 , -e 6 , ei 5p6 , -e6 ，很显然处于上半平面内的孤立奇点只有： z = e 6 , e6 ，所以：res f (z) = lim1=1-ipe6=2 3ipip 2z (2z2 -1)ip ipz =e 6ze 62e 6 2e 3 -1resf (z) =lim1=1= -1ip2 3i= e 6i 5pi 5p 2z (2z2 -1)i 5p i 5p-ip -ipz =e 6ze 62e 6 2e 3-12e 6 2e3 -1 x2 +1-ip e 6ip e

16、6 所以： - x4 +1 dx = 2pi 2 3i + 2 3i = p3 计算下列实函数积分(3)-x sin x dx x2 +1 x sin x-x +12dx = 22x sin x0x +1dx = 2preszeimzk z +12ima 0z =ak解：根据定理：显然， f (z) =zeimz z2 +1存在两个一阶极点： z = i ，只有： z = i上半平面内，所以：res f (z) = limzeiz = 1z =izi z + i2e x sin x1p所以： -3.2 幂级数x2 +1 dx = 2p2e = e3、求下列幂级数的收敛圆1kln kkk(1)

17、(z - i)k =1解：(1)， (2) kk =1(z - 2)r = limk = lim= 1ck ck +11 / k1 / (k +1)k 所以，其收敛圆为以 i 为圆心的单位圆。(2)ln2 kln kk +1ln k k +1由于： r = lim ln2 (k +1) = lim ln (k +1)k = lim ln (k +1) = lim k = 1k ck k ln k(k +1)ln(k +1)k ln kk k r = lim k k ck +1= limk = lim= 1k (k +1)ln(k +1)所以，其收敛圆为以 2 为圆心的单位圆。3.3 幂级数展开

18、在指定的点的邻域上把下列函数展开为 taylor 级数0(8) sin2 z 和cos2 z 在 z = 0解：211n 2nz2nsinz =(1- cos 2z) =(1- (-1)22n=02)(2n)!= 1 - (-1)n 22n-1z2n2n=0(2n)!= 1 + (-1)n+1 22n-1z2n2n=0= (-1)n+1 22n-1(2n)!z2nn=1(2n)!211n 2nz2ncosz =(1+ cos 2z) =(1+ (-1)22n=02)(2n)!= 1 + (-1)n 22n-1z2n2n=0=n 2n-1(2n)!z2n4.1 留数定理1+ (-1)n=12(2

19、n)!1、确定下列函数的奇点，并计算留数，(1) ez(1+ z) ； (2)z (z -1)(z - 2)2 ，(3)ez (a2 + z2 ) ，(4)eiz(a2 + z2 )解：(1)ez (1+ z)显然 z = -1为其一阶极点，则：res f (z) = lim(z +1) ez (1+ z) = e-1z =-1z-1(2) z (z -1)(z - 2)2显然 z = 1为其一阶极点， z = 2 为其二阶极点，则：res f (z) = lim(z -1) z (z -1)(z - 2)2 = 1z =1z12res f (z) = lim d (z - 2)2 z (z

20、-1)(z - 2)2 = lim -1 = -1(3)z =2z2 dz ez (a2 + z2 )z2 ( z -1) 显然 z = ia 为其一阶极点，则：res f (z) = lim(z - ia) ez(a2 + z2 ) =eiaz =iares f (z) =z =-iazialim (z + ia) ez z-ia(a2 + z22iae-ia) = -2ia(4)eiz(a2 + z2 )显然 z = ia 为其一阶极点，则：res f (z) = lim(z - ia) eiz(a2 + z2 ) =e- az =iazia2iares f (z) =z =-ialim

21、(z + ia) eizz-ia(a2 + z2) = -ea2ia2、计算回路积分，(1)dz，l 为 x2 + y2 - 2x - 2 y = 0a (z +1 ( z -1)22l(3)az =21ez2 dz解：(1) 首先 l 的围线方程为： ( x -1)2 + ( y -1)2 = 2而被积函数存在三个孤立奇点 z = i,1，在围线内有两个孤立奇点： z = i,1res f (z) = lim(z - i)=1= 1z =izi (z2 +1)( z -1)22i (i -1)2 42d(z -1)21res f (z) = lim( 2 + )(1) = -z =1z1 d

22、z zdz1z -211pil所以： a (z2 +1)( z -1)2 = 2pi( 4 - 2) = - 2(2) 可以看出来，被积函数存在唯一孤立奇点 z = 0 ，且为本性奇点，对被积函数做 laurant 展开： 1 ez2= 1 1n=0 n! z2na可以看出： c-1 = 0 ，显然： z =21ez2 dz = 04.2 利用留数定理计算实积分1、确定下列函数的奇点，并计算留数，padx2pcos xdx(5) 0a2 + sin2 x(a 0) ； (6) 01- 2ecos x +e2(e 1)解：(5)adxp0 a2 + sin2 x= 0pa22p=adx+ 1 - cos 2x 22adx0令： z = eix ，则：2a2 +1- cos xpadx=0 a2 + sin2 x2adz(1-1 z =1 2a+1-z + z2) iz= - 2a dz= - 2a f (z)dza2 +1i z =1z2 - 2 (2a2 +1) z +1i z =1a2 +1显然， f (z) 存在两个一阶极点： z = (2a2 +1) 2a处于单位圆内，所以：，只有： z = (2a2 +1) - 2aa2