复变函数试题及答案(最新整理)

1、12一、填空题（每小题 2 分）c 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛- 6 -1、复数- 2i 的指数形式是 d 如果 v 是 u 的共轭调和函数,则 u 也是 v 的共轭调和函数2、函数w = 1 将szz上的曲线(x - 1)2 + y 2 = 1变成s( w = u + iv )上4、根式3 - 1 的值之一是（）w的曲线是 a 1 -3 ib 3 - ic -3 + id - 1 +3 i3、若1 + e z= 0 ,则 z 222222224、(1 + i)i = 5、下列函数在 z = 0 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）5、积分-2+i (z + 2)2 dz = -2a

2、1sin 1b cos 1zctg 1c ezd lnz6、积分 12pi z =1sin z zdz = z6、下列积分之值不等于 0 的是()7、幂级数(1 + i)nz n 的收敛半径 r= a dz3b dz1c dzz 2 + 2z + 4d dzcos zn=0z =1 z -2z =1 z -2z =1z =18、 z = 0 是函数1- 1 的奇点7、函数 f (z) = arctan z 在 z = 0 处的泰勒展式为（）e ze z - 1znz 2nn z 2n+19、re sz =1 z 2- 1 = a (- 1)n=02n + 1（ z 1）b(- 1)n=0（ z

3、 1）2n10、将点 ,i,0 分别变成 0,i, 的分式线性变换w = ()nz 2n+1 ()n z 2n 二、单选题（每小题 2 分）1、设a为任意实数，则1a=（）c - 1n=02n + 1（ z 1）d - 1n=0（ z 1）2na 无意义b 等于 18、幂级数(-1)n+1z 2n 在 zn=0 1内的和函数是（）c 是复数其实部等于 1d 是复数其模等于 12、下列命题正确的是（）a 11 - z 2b 11 + z 2c 1z 2 - 1d -11 + z 2a i 2ib 零的辐角是零119、设 a i ，c： z - i =1，则 z cos z dz = （）2c (

4、a - i)c 仅存在一个数 z,使得z= -zdz = izi2p3、下列命题正确的是（）a 函数 f (z) = z 在 z 平面上处处连续b 如果 f (a)存在,那么 f (z)在a 解析a0bic2piedicosie10、将单位圆 z 1 的分式线性变换是（）a w = eib z - a ( a1 - az 1)b w = eib z - a1 - az( a 1)d w = eib z - a ( a 1)z - a2、证明方程ez + 5zn + 1 = 0 在单位圆 z 1内有n 个根三、判断题（每小题 2 分）1、（）对任何复数 z, z 2 =z 2 成立一填空题（每小

5、题 2 分，视答题情况可酌情给 1 分，共 20 分）5- p- pi1i ln 2 +2kp42、（）若a 是 f (z)和 g(z)的一个奇点,则a 也是 f (z) + g(z)的奇点1 4e 6，2 u =2， 3 (2k+1)pi ,(k=0, 1,2l)， 4 ee (k=0, 1,2l )3、（）方程 z 7 - z 3 + 12 = 0 的根全在圆环1 z 2 内5 - i ,60 ,731,8 可去，9 e22， 10 - 1z4、（）z= 是函数 f(z)=z 5(1 - z)2的三阶极点二 单选题（每小题 2 分，共 20 分）1 d2 d3 a4 a5 b6 b7 c8

6、 d9 a10 a5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题 6 分）z1、已知 f (z) = x 2 + axy + by 2 + i(cx 2 + dxy + y 2 ) 在s 上解析,求 a,b,c,d 的值三 判断题（每小题 2 分，共 10 分）1 2 3 4 5 2、计算积分5z - 2 dzz =2 z(z - 1)2四 计算题（每小题 6 分，共 36 分）1 解： u = x 2 + axy + by 2 , v = cx 2 + dxy + y 2l3分3、将函数 f (z) = z - 1 在 z = 1的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围z + 1ux = vy

7、2x + ay = dx + 2 y+4、计算实积分 i= 0x 2(x 2 + 1)(x 2 + 4) dxuy = -vxax + 2by = -2cx - dy5 分5、求 f (z) =1 在指定圆环2 z - i 0 共形映射成单位圆 w 02 解：被积函数在圆周的 z及二阶极点 z=1re s f (z) = 5z - 2 = 2 内部只有一阶极点 z=0= -2l2 分五、证明题（每小题 7 分）z =0(z - 1)2z =0z1、设（1）函数 f (z) 在区域 d 内解析re s f (z) = 5z - 2 = 2= 22l5分z =1z =1zz =12 5z - 2

8、dz =p2i(-2+2)=0z =2 z(z - 1)3 解： f (z) = z - 1l6 分w = l(i) = 0w = i z - iz + i k = i4 分6 分z + 1五 证明题（每小题 7 分，共 14 分） 21 1 n ()n1证明:设k : z - z0 r(k d)q f (z) 在 z0 解析= 1 -= 1 -z + 1z -1 = 1 - - 2 z - 14 分1 +n=0 f (n) (z )2由泰勒定理f (z) =0 (z - z )nn!0(z k d)2 分（ z - 1 2）6 分4 解: 被积函数为偶函数在上半 z 平面有两个由题设f (n

9、) (z ) = 0n=0 f (z) f (z0 )， (z k d)4 分0一阶极点 i,2i1 分由唯一性定理f (z) f (z0 )(z d)7 分1 +x 2i= 2 - (x 2 + 1)(x 2 + 4) dx2 分2 证明：令 f (z) = 5zn ，j(z) = e z + 1l2 分= 1 2pire s f (z) + re sf (z) 3 分(1） f (z)及j(z)在 z 1解析2z =iz 2z =2iz 2(2） z= 1上，f (z) = 5zn = 5=pi(z + i)(z 2 + 4) z=i + (z 2 + 1)(z + 2i)= pz =2i

10、5 分6 分j(z) = e z + 1 e z+ 1 e z+ 1 = e + 1 j(z) ，由儒歇定理在 z= 1内5 解： f (z) =11 分( )( )( )(z - i)(z + i)n ( fz +jz , z = 1) = n ( f z , z= 1) = n7 分=1(z - i)2111 + 2i z - in(2i)n3 分一、填空题（每小题 2 分）(cos 5j+ i sin 5j)21、 (cos 3j- i sin 3j)3 的指数形式是 2、ii =6解:= (z - i)2 (-1)n=0w =l(i)=k z - i(z - i)n2 z - i +6

11、 分l2 分3、若 0r1，则积分z =rln(1 + z)dz =z + iw = k2i3 分4、若v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是 5、设 z = 0 为函数 f (z) = z 3 - sin z 3 的 m 阶零点，则 m =(z + i)2( ) f (z) ax 2 - y 2 - 2xyib x 2 + xyi6、设 z = a 为函数 fz 的 n 阶极点，那么re sz =a f (z) =c2(x - 1) y + i( y 2 - x 2 + 2x)d x3 + iy 3 z nn!7、幂级数的收敛半径 r= n=08、在下列函数中， re s f (

12、z) = 0 的是（）z =08、 z = 0 是函数 z 5 sin 1 的奇点z9、方程 z 7 - z 3 + 12 = 0 的根全在圆环内a f (z) =e z - 1z 2sin z + cos zb f (z) =sin z - 1zz1110、将点 ,i,0 分别变成 0,i, 的分式线性变换w = 二、单选题（每小题 2 分）c f (z) =zdz cos zf (z) =e z - 1 - z1、若函数 f (z)在区域 d 内解析，则函数 f (z)在区域 d 内（）9、设 a i ，c： z - i =1，则c (a - i)2 dz = （）a 在有限个点可导b 存

13、在任意阶导数c 在无穷多个点可导d 存在有限个点不可导a0b2pic2piedicosie2、使 z 2 =z 2 成立的复数是（）10、将单位圆 z 1 的分式线性变换是（）a 不存在b 唯一的c 纯虚数d 实数a w = eib z - a ( a1 - az 1)b w = eib z - a ( a 1)d w = eibz - a z - a( a 1)a pi sin1b pi sin1c 2pi sin1d 2pi sin14、根式3 i 的值之一是（）三、判断题（每小题 2 分）满分10得分a 3 - ib -3 - ic id - i2222sin z1、（）幂级数 z n

14、在 z 1)满分14得分0 a + cosqre s f (z) = 06 分6、求将单位圆 z 1共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换w = l(z) 1 z =1111 1使符合条件 l = 0 ， l(1) = -13 解： f (z) =-= -+2 分 2 z + iz - iz - i2i 1 + z - i 五、证明题（每小题 7 分）1、设函数 f (z)在区域 d 内解析，证明：函数i f (z)也在 d 内解析2、证明：在 z = 0 解析，且满足的 f 1 = 1 ， f 1 = 1 （ n = 1,2l ）的函数 f (z)= - 1 z - i+ n=0- 1()n

15、 (z - i)n(2i)n+12i 5 分 2n - 12n 2n 2n（0 z - i 2）6 分不存在4 解：在 c 内 f (z)有一个二阶极点 z 0 和一填空题（每小题 2 分，视答题情况可酌情给 1 分，共 20 分）p一个一阶极点 z = i1 分1 ei19j，2- -2kpe 2(k=0,) ， 3 0， 4- u ， 591re s f (z) = 1= 023 分6 - n，7 + ， 8 本质， 91 z 2， 10 -zz =0 z + 1z =0二 单选题（每小题 2 分，共 20 分）1 b2 d3 c4 d5 a6 c7 c8 d9 a10 a三 判断题（每小

16、题 2 分，共 10 分）re s f (z) =z =i1z 2 (z + i)z =i= - 12i5 分1 2 3 4 5 所以原式 2pi 0 -1 = -p2i 6 分四 计算题（每小题 6 分，共 36 分）5解：令 z = eiqi f (z) 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u yl4 分i = z =1a +1dzz + z -1 iz21 分比较 f（z）的 cr 方程且四个偏导数在 d 内连续i f (z) 也满足 c-r 方程 i f (z) 在 d 内解析l7 分= 2 dz3 分( )iz =1 z - (-a +a 2 - 1)z - (-a -a

17、 2 - 1)2证明：假设在 z = 0 解析的函数 f z 存在被积函数在 z= 1内的有一个且满足 f 1 = 1 ， f 1 = 1 （ n = 1,2l ）l2 分 2n - 12n 2n 2n一阶极点 z = -a +a 2 - 1q点列 1 = 1 以 z = 0 为聚点1 2n 2nre sf (z) = 5 分z =-a+i= 2pi 2a2 -112 a 2 - 1=2p6 分在点列 1 上, f 1 = 1i 2 a 2 - 1a 2 - 1 2n 2n 2nz - 16 解： w = l 1 = k2z - 1= k2l2 分由解析函数的唯一性定理在 z = 0 的邻域内

18、 f (z)= zl5 分 2 1z - 2z -12但在这个邻域内又有 f 11 矛盾=1 - 1( )21 2n - 12nl 1 = k= -k = -1 1 - 22所以k = 2z - 1l4 分在 z = 0 解析的函数 f (z)不存在l7 分于是所求变换w = 22 = 2z -1l6 分z - 2z - 2五 证明题（每小题 7 分，共 14 分）1 证明：设 f(z)=u（x，y）+iv（x，y）f (z) = u（x，y）-iv（x，y）i f (z) = v（x，y）-i u（x，y）f（z）在 d 内解析， ux = vy ,u y = -vxl2 分“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are ver