高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 新人教版必修4

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一,自主预习】 主题1:周期函数及正弦函数、余弦函数的周期性 1.观察f(x)的部分图象,思考下列问题,1)观察图形,函数图象每相隔多少个单位重复出现? 提示:每相隔1个单位重复出现,2)由诱导公式一: 结合正(余)弦曲 线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势 是怎样的,提示:自变量x增加2的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化. 定义:_ _ _ _,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得,当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么,函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的,周期,最小正周

2、期: 定义:_ _,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小,的正数,那么这个最小正数称为函数f(x)的最小正周期,简称周期,3)对于一般函数y=f(x)如何描述这种相似的特征? 正弦函数、余弦函数是_,_都是它的周期,最小正周期是_,周期函数,2k(kZ且k0,2,主题2:正弦函数、余弦函数的奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线,回答下面的问题. 正弦曲线,余弦曲线,1)观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性? 提示:y=sinx,xR的图象关于原点对称,y=cosx,xR的图象关于y轴对称,2)上述特征反映出正、余弦函数的什么性质? 用符号语言描述:sin(-x)=-sinx,cos(-x

3、)=cosx. 正弦函数、余弦函数的奇偶性:正弦函数为_,余弦函数为_,奇函数,偶函数,深度思考】 结合教材P35例2你认为应怎样通过解析式求周期? 第一步:_; 第二步:_,利用变形:sin(x+2)=sin,由周期函数的定义求出周期,预习小测】 1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是() A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 【解析】选A.f(x)=sin(-x)=-sinx,f(-x)=-sin(-x)= sinx=-f(x).故f(x)为奇函数,2.下列函数中最小正周期为 的是() A.y=cos x B.y=cos x C.y=sin3x D.y=si

4、n 4x 【解析】选D.y=cos x的最小正周期为6. y=cos x的最小正周期为4. y=sin3x的最小正周期是 . y=sin4x的最小正周期是,3.函数y=3cos 的最小正周期是() A.B.C.2D.5 【解析】选D.最小正周期,4.f(x)=sinxcosx是(填“奇”或“偶”)函 数. 【解析】f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx= -f(x).所以f(x)=sinxcosx是奇函数. 答案:奇,5.已知函数f(x)=sin (0)的周期为,则 f = . 【解析】由f(x)=sin (0)的周期为, 所以 =,故=2. 所以f(x)=sin,所以

5、答案,备选训练】求f(x)=sin 的最小正周期.(仿照 教材P35例2解析过程) 【解析】因为 所以由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为,互动探究】 1.利用周期函数的定义探求y=Asin(x+)(0)的 周期. 提示:因为Asin =Asin(x+)+2 =Asin(x,由周期函数的定义可知,函数y=Asin(x+)(0)的周期为T=,2.若函数y=Asin(x+)为奇函数,则应满足什么条 件?若为偶函数呢? 提示:若函数y=Asin(x+)为奇函数,则=k,kZ, 若函数y=Asin(x+)为偶函数,则=k+ ,kZ,3.若函数y=Acos(x+)是偶函数,则应满足什么条 件?若为

6、奇函数呢? 提示:若函数y=Acos(x+)是偶函数,则=k,kZ. 若函数y=Acos(x+)是奇函数,则=k+ ,kZ,探究总结】 知识归纳,方法总结: 函数周期的求法 (1)定义法:将f(x+T)化成f ,然后由定义求 得周期为 . (2)公式法:y=sin(x+)的周期T= . (3)图象法:观察图象的变化趋势求周期,题型探究】 类型一:求三角函数的周期 【典例1】(1)(2016承德高一检测)函数f(x)= 2sin(2x+)的最小正周期为. (2)作出函数f(x)= 的图象,并求f(x)的最小正 周期,解题指南】(1)利用三角函数的周期公式T= 求解. (2)先化简f(x)的解析式

7、,并作出该函数图象,然后根据 图象求f(x)的最小正周期. 【解析】(1)由 得函数f(x)=2sin(2x+)的最小正周期为. 答案,2)将f(x)= 化为f(x)=|sinx|, 因为f(x)=|sinx|= 所以作出f(x)= 的图象如图所示. 由图象可知f(x)的最小正周期为,延伸探究】1.若题(2)条件不变,则判断f(x)的奇偶性. 【解析】由函数f(x)= =|sinx|,其定义域为R, 且f(-x)=|sin(-x)|=|-sinx|=|sinx|=f(x).故f(x)= 为偶函数,2.题(2)中“函数f(x)= ”换为“函数f(x)= ”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析

8、】f(x)= =|cosx|,图象如图所示. 由图可知T,规律总结】对函数最小正周期的理解 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y= sin2x的最小正周期是,因为y=sin(2x+2)= sin2(x+),即是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数,是对x而言的,而非2x,2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数f(x)=c,任意一个正实数都是它的周期,因而不存在最小正周期,补偿训练】求函数f(x)=2cos 的最小正周期. 【解析】由T= ,所以f(x)=2cos 的最小正 周期为,类型二:正、余弦函数的奇偶性 【典

9、例2】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(+x). (2)f(x)=sinxsin,解题指南】先判断函数的定义域是否关于原点对称, 再判断f(-x)与f(x)的关系,进而可确定函数的奇偶性. 【解析】(1)f(x)的定义域为R, 因为f(x)=xsin(+x)=-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx, 所以f(-x)=f(x).故f(x)为偶函数,2)f(x)的定义域为R,由已知可得f(x)=sinxcosx, 因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x),所以f(x)是奇函数,规律总结】三角函数奇偶性的判断方法 (1)

10、定义法:借助诱导公式利用奇偶函数的定义判断. (2)图象法:作出三角函数图象根据对称性作出判断,巩固训练】 1.若函数 是偶函数,则a=_. 【解析】因为,所以 答案：-3,2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= . (2)f(x)= . 【解题指南】先求定义域,再由f(-x)与f(x)的关系判 断,解析】(1)因为函数的定义域为R,且 所以f(-x)=cos =cos x=f(x), 故函数f(x)=sin 是偶函数,2)由2cosx-10,即cosx ,得定义域为 (kZ).定义域关于原点对称.再由f(-x)= =f(x), 故f(x)= 是偶函数,类型三:三角函数周期性与奇偶性的综

11、合 【典例3】(1)(2016济宁高一检测)设函数f(x)= sin ,则f(x)是 () A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数,C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数,2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数. 若f(x)的最小正周期是,且当x 时,f(x)=sinx, 则f 的值为(,解题指南】(1)先将f(x)=sin 化简,再判断. (2)利用周期性及奇偶性将f 的值转化为 范围 内的某一角的值,解析】(1)选B.因为f(x)=sin =-sin =-cos2x, 所以该函数的最小正周期为,且为偶函数. (2)选D,规律总结】 1.利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性,可以把x+nT(nZ)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题,2.判断y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具有奇 偶性的关键 判断函数y=As