函数与极限课件

1、第一章,高等数学基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,函数与极限,第一章,二、区间与邻域,三、函数的概念,一、集合,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函 数,2,函数与极限,一、集 合,1. 定义及表示法,具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合,组成集合的事物称为元素,注1,集合通常用大写的英文字母,表示,其元素则用小写的英文字母,表示,注2,元素 a 属于集合 A , 记作,元素 a 不属于集合 A , 记作,注3,含有有限个元素的集合称为有限集,不是有限集的集合称为无限集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3

2、,函数与极限,注4,不含任何元素的集合称为空集,注5,对于数集，习惯上有如下记号,全体自然数的集合记作,全体整数的集合记作,全体有理数的集合记作,全体实数的集合记作,注6: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集,表示 M 中排除 0 与负数的集,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,函数与极限,表示法,1) 列举法,按某种方式列出集合中的全体元素,例,有限集合,自然数集,2) 描述法,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,实数集合,x 为有理数或无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,函数与极限,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A,2. 集合之间的关系及运算,定义2,则称

3、 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,函数与极限,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算,A余集或补集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,其中集合I 称为全集或基本集,7,函数与极限,二、 区间与邻域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区间,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点,称为开区间,称为闭区间,记作,记作,8,函数与极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无限区间,半开区间,注,两端点间的距离称为区间的长度,9,函数与极限,

4、机动 目录 上页 下页 返回 结束,点a的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径,去心 邻域,左 邻域,右 邻域,邻域,以 为中心的任何开区间均是点 的邻域,10,函数与极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,表示以点,为中心,为半径的邻域,也就是开区间,例2,以点,以2为半径的去心邻域为,即,以1,为中心,11,函数与极限,定义域,三、函数的概念,定义,记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,自变量,因变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,有确定的数值和它对应,则称 是 的函数,注,构成函数的要素为,定义域与对应法则,两函数相等,它们的定义域和对应法则均相同,12,函

5、数与极限,对应法则,值域,定义域,定义域,函数的表示方法,解析法,图象法,列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合,例如, 绝对值函数,定义域,值 域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,函数与极限,分段函数,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,表示不超过 x 的最大整数,阶梯曲线,注,14,函数与极限,例3,判断下面函数是否相同,并说明理由,与,与,解,虽然这两个函数的表现形式不同,但它们,的定义域,与对应法则均相同,所以这,两个函数相同,虽然它们的自变量

6、与因变量所用的字母不同,和对应法则均相同,所以,这两个函数相同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,函数与极限,例4 判断下列函数是否为相同的函数,不是,是,不是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数是否相同，仅取决于D 和 f，而与f 的表达形式无关，也与变量的记号无关,16,函数与极限,例5,求函数,义域,解,即,为整数,的定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,函数与极限,例6,设,定义域,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,函数与极限,四. 函数的几种特性,设函数,且有区间,1) 单调性,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数,单调减函数,机动

7、 目录 上页 下页 返回 结束,单调增加或单调减少的函数 统称为单调函数,注 函数单调与否同所论区间有关,19,函数与极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数,若,则称 f (x) 为奇函数,说明: 若,在 x = 0 有定义,则当,为奇函数时,必有,偶函数的图形关于y 轴对称 奇函数的图形关于原点对称,20,函数与极限,例 判断下列函数的奇偶性,非奇非偶,偶函数,奇函数,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,函数与极限,则称,在X上有界,为有界函数,3) 有界性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,否则称为无界,设函数,

8、的定义域为,数集,若,在D上有界,22,函数与极限,设函数,的定义域为,数集,若,则称,若,则称,由上述定义易见有下列结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有下界,在 上有界,在 上既有上界又,上界,下界,23,函数与极限,例如,故函数 有界,且 是它的上界,是它的下界,注意:有界,无界是相对于区间而言的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是无界的,有界,无界,无界,24,函数与极限,证明,的定义域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故 取 M=1,则对,都有,25,函数与极限,4) 周期性,且,则称,为周期函数,若,称 T 为周期,周期为,周期为,通常说周期函数的周期是指其最小正周

9、期,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,函数与极限,例如: 常量函数,注,并非任何一个周期函数都有最小正周期,每一个正数都是其周期,但这个函数无最小正周期,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地，函数的周期性主要是指三角函数，如 y=sinx，y=cosx 的最小正周期是2， y=tanx, y=cotx 的最小正周期是,27,函数与极限,注意：两个周期函数的和或积是不是周期函数，取决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数,例 下列函数是不是周期函数,是,不是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,函数与极限,五. 反函数与复合函数,定义: 设函数 y=f (x)的定义域为D，值

10、域是f ( D)如果对于每一个 yf ( D) 都有惟一确定的且满足 y =f (x) 的 x D与之对应，从而得到一个以y 为自变量，x为因变量的函数，我们称此函数为 y =f (x)的反函数，记作,习惯上,的反函数记成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 函数,其反函数为,29,函数与极限,性质,1) yf (x) 单调递增,其反函数,减,存在，且也单调递增,减),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称,3）互为反函数的两个函数，如果原函数为奇函数，则反函数也是奇函数,30,函数与极限,例,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,机动 目录

11、上页 下页 返回 结束,指数函数,4) 互为反函数的两个函数 及 有,31,函数与极限,例,解,分段函数的反函数应当逐段求,解得,反函数为,解得,反函数为,又对于直接函数 y = x 3 来说其值域为 1, 8,故反函数 的定义域为 1, 8,x 1, 8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,函数与极限,解得,反函数为,综上所述，所求反函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,函数与极限,反三角函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,函数与极限,它是奇的增函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,函数与极限,它是减函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,函数

12、与极限,它是奇的增函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,函数与极限,它是减函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,38,函数与极限,一些恒等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,函数与极限,2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 构成复合函数的条件,不可少,例如, 函数链,函数,但函数链,不能构成复合函数,可定义复合,内函数,外函数,40,函数与极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数,例如,可定义复合函数,41,函数与极限,例,将下列函数分解成基本初等函数的复合,解,是由,是由,四

13、个函数复合而成,三个函数复合而成,是由,六个函数复合在而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,42,函数与极限,分段函数的复合运算,例,设,求,解,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,43,函数与极限,或,或,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,44,函数与极限,1.幂函数,六. 初等函数,1) 基本初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,45,函数与极限,2.指数函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,46,函数与极限,3.对数函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,47,函数与极限,4.三角函数,正弦函数,机动 目

14、录 上页 下页 返回 结束,48,函数与极限,余弦函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,49,函数与极限,正切函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,50,函数与极限,余切函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,51,函数与极限,正割函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,52,函数与极限,余割函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,53,函数与极限,2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数,可表为,故为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:一般地分段函数不是初等函数,形式上分段但可化为一个解析表达式的函数可能是初等函数,54,函数与极限,内容小结,1. 集合、区间、邻域的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,作业 P1