高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象(二) 新人教版必修4

1、1.5 函数y=Asin(x+)的图象(二,知识提炼】 1.函数y=Asin(x+)，A0，0中参数的物理意义,A,x,2.函数y=Asin(x+)(A0，0)的有关性质,R,A,A,k,即时小测】 1.判断 (1)函数y= sin(x+)(0)的值域为 .( ) (2)函数y=3sin(2x-5)的初相为5.( ) (3)函数y=sin( )的一条对称轴方程为x= .(,解析】(1)正确.因为sin(x+)-1，1，故函数 y= sin(x+)的值域为 . (2)错误.函数y=3sin(2x-5)的初相为-5. (3)错误.当x= 时y=sin( )1. 答案：(1) (2) (3,2.函数

2、y=Asin(x+)+1(A0，0)的最大值为5，则A=( ) A.5 B.-5 C.4 D.-4 【解析】选C.因为A0，所以当sin(x+)=1时，ymax=A+1=5，所以A=4,3.函数 的振幅为_，周期为_，频率为_. 【解析】 的振幅为 ，周期为 ，频率为 答案,4.函数y=sin x+1的对称中心坐标为_. 【解析】函数y=sin x+1的对称中心坐标为(k，1)，kZ. 答案：(k，1)，kZ,5.函数f(x)=sin(x- )的图象的对称轴方程是_. 【解析】由x- =k+ ，kZ得x=k+ ，kZ. 函数f(x)=sin(x- )的图象的对称轴方程是x=k+ ，kZ. 答案

3、：x=k+ ，kZ,知识探究】 知识点1 函数y=Asin(x+)(A0，0)中参数的物理意义 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：参数A，与简谐运动中哪些物理量有关？ 问题2：前面所学的图象变换分别与哪些物理量的变化有关,总结提升】 1.对振幅、周期、频率及相位的说明 (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅. (2)T：T= ，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期. (3)f： ，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率. (4)x+：称为相位；当x=0时的相位称为初相,2.简记图象变换步骤 (1)由y=sin x到y=s

4、in(x+)的图象的变换称为相位变换. (2)由y=sin x到y=sin x的图象的变换称为周期变换. (3)由y=sin x到y=Asin x的图象的变换称为振幅变换. 因此函数y=sin x到y=Asin(x+)的图象的变换途径一般为： 相位变换周期变换振幅变换. 周期变换相位变换振幅变换,知识点2 函数y=Asin(x+)(A0)的性质 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：研究周期函数的性质的基本原则是什么？ 问题2：y=Asin(x+)的单调性、值域与u=x+，t=sin u，y=At的单调性、值域有什么关系,总结提升】 研究函数y=Asin(x+)性质的基本策略 (1)借助周

5、期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数. (2)整体思想：研究当x，时的函数的值域时，应将x+看作一个整体，利用x，求出的范围，再结合y=sin 的图象求值域,题型探究】 类型一 由图象求三角函数的解析式 【典例】1.(2015合肥高一检测)如图所示为函数y=Asin(x+)+k在一个周期内的图象，则这个函数的一个解析式为(,2.已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，| )在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的解析式. (2)设0 x且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和,解题

6、探究】1.典例1中，A，k的值与最大(小)值有什么关系？该函数的周期是多少？ 提示： 周期 2.典例2中，A的值是多少？为求，可利用哪两个关系？ 提示：A=2，可依据点(0，1)和( ，0)在函数图象上列方程组求,解析】1.选D.由图象可知 由 得=2. 所以y=2sin(2x+)-1. 因为点 在函数图象上， 所以 所以 ，kZ.可取= .故D正确,2.(1)显然A=2，又图象过(0，1)点， 所以f(0)=1，所以sin = ，因为| ，所以= 所以f(x)=2sin(x+ ).又因为 在f(x)的图象上， 所以 所以 =k(kZ)，= (kZ). 又因为 所以 故=2. 所以所求的函数的

7、解析式为：f(x)=2sin(2x+,2)如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin(2x+ )和y=m(mR)的图象， 由图可知，当-2m1或1m2时，直线y=m与曲线 有两个不同的交点， 即原方程有两个不同的实数根， 所以m的取值范围为：-2m1或1m2； 当-2m1时，两根和为 当1m2时，两根和为,延伸探究】本例1中图象的最高点和最低点分别为P，Q，|PQ|=5，且P点坐标为(1，1)，Q点的纵坐标为-3，其他点坐标不知，试求函数解析式(其中0，,解析】易知A=2，k=-1.设函数的周期为T，则 故 所以 点P(1，1)的坐标代入上式，得 所以 (kZ)，=2k+ (kZ)， 又| ，故

8、= ，所以,方法技巧】确定函数y=Asin(x+)解析式的策略与步骤 若设所求解析式为y=Asin(x+)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定A. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T= ，确定. (3)确定函数y=Asin(x+)的初相的值的两种方法 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上,五点对应法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点( ，0)作为突破口.“五点”的x+的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+=0； “

9、第二点”(即图象的“峰点”)为x+= “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x+=； “第四点”(即图象的“谷点”)为x+= “第五点”为x+=2,变式训练】1.(2015黔西南高一检测)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) 【解析】选D.由图象知周期 所以A，C不合题意；对于B当x= 时y=0与图形不符.故选D,2.(2015武汉高一检测)函数f(x)=2sin(x+)(0，- )的部分图象如图所示，则，的值分别是(,解析】选A.由图象知 解得=2， 所以f(x)=2sin(2x+). 因为点 在函数图象上，所以 ，所以 += 2k+ ，kZ，即=2k- ，kZ，又 所以= 故选A,

10、补偿训练】1.已知函数y=Asin(x+)(A0，0，0)的部分图象如图所示，则A=_，=_，=_,解析】由图象知A=2， 故 所以y=2sin( +)， 又因为点( ，2)在函数图象上，所以 所以 ，kZ，即=2k+ ，kZ，又0，所以 答案,2.已知函数f(x)=Asin(x+)，xR，(其中A0，0，0 )的周期为，且图象上一个最低点为M( ，-2).求f(x)的解析式. 【解析】由函数f(x)图象上一个最低点为M( ，-2)，得A=2，由周期T=，得 由点M( ，-2)在图象上，得2sin( +)=-2， 即sin( +)=-1，所以 +=2k- (kZ)，故=2k- (kZ)，又0

11、，所以k=1，= .所以函数的解析式为f(x)=2sin(2x+,类型二 图象的对称性 【典例】(2015宿迁高一检测)在函数y=2sin(4x+ )的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是_,解题探究】本例中函数图象的所有对称中心坐标如何求？ 提示：令4x+ =k，kZ，求出对称中心的横坐标，纵坐标为0. 【解析】由4x+ =k(kZ)，得x= (kZ)， 所以函数y=2sin(4x+ )图象的对称中心坐标为( ，0)，kZ. 取k=1得( ，0)为距离原点最近的一个点. 答案：( ，0,延伸探究】 1.(变换条件)将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？ 【解析】

12、由 (kZ)得 x= (kZ)， 所以函数y=2cos(4x+ )图象的对称中心坐标为( ，0)，kZ， 取k=0得( ，0)为距离原点最近的一点,2.(变换条件)将本例中“sin”改为“tan”，其他条件不变，结果如何？ 【解析】由 (kZ)，得x= ，kZ， 所以函数y=2tan( )图象的对称中心坐标为( ，0)，kZ，取k=1得( ，0)为距离原点最近的一点,3.(变换条件、改变问法)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程. 【解析】由 ，kZ，得x= ，kZ. 所以函数y=2sin(4x+ )图象的对称轴方程是x= ，kZ，取k=0得x= 是距离y轴最

13、近的一条对称轴,方法技巧】三角函数对称轴、对称中心的求法,补偿训练】对于函数f(x)=2sin(2x+ )，给出下列结论： 图象关于原点成中心对称； 图象关于直线x= 成轴对称； 图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到； 图象向左平移 个单位长度，即得到函数y=2cos 2x的图象. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析】选C.f(0)=2sin(20+ )0，故错误； f( )=2sin(2 )=2，故正确；y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得y=2sin 2(x+ )，故错误； y=2sin(2x+ )的图象向左平移 个单位长度得

14、y=2sin2(x+ )+ =2sin(2x+ )=2cos 2x，故正确,延伸探究】(改变问法)求本例中函数图象的对称中心坐标和对称轴方程. 【解析】由2x+ =k，kZ，解得x= ，kZ， 由2x+ =k+ ，kZ，解得x= ，kZ，所以对称中心坐标为( )，0，kZ， 对称轴方程为x= ，kZ,类型三 三角函数图象性质的综合应用 角度1：三角函数的奇偶性 【典例】(2015孝感高一检测)将函数y=sin(2x+ )的图象沿x轴向左平移m(m0)个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为(,解题探究】若函数y=sin(x+)是奇函数，则是什么样的角？ 提示：=k，kZ,解析】选A.

15、函数y=sin(2x+ )的图象向左平移m个单位长度，得到函数y=sin2(x+m)+ =sin(2x+2m+ )的图象， 由于所得函数是一个奇函数，所以2m+ =k，kZ. 所以m= ，kZ，故当k=1时，m取最小值,延伸探究】本例条件中“奇”改为“偶”其他条件不变，结果如何？ 【解析】所得函数y=sin(2x+2m+ )是偶函数，则2m+ = k+ ，kZ，故m= ，kZ，当k=0时，m取最小值,角度2：三角函数的单调性 【典例】(2015镇江高一检测)f(x)= sin 2x+1(0)在区间 上为增函数，则的最大值为_. 【解题探究】本例中函数f(x)的单调递增区间与区间 有什么关系？

16、提示：区间 包含于f(x)单调递增区间,解析】因y=sin x在每个闭区间 (kZ)上为增函数，f(x)= sin2x+1(0)在每个闭区间 (kZ)上为增函数，依题意知 对某个kZ成立，此时必有k=0，于是 解得 ，故 的最大值为 . 答案,角度3：三角函数的最大(小)值问题 【典例】(2015南昌高一检测)若f(x)=2sin(x+)+m，对任意实数t都有f( +t)=f( -t)，且f( )=-3，则实数m的值等于_. 【解题探究】本例中，由f( +t)=f( -t)可知函数f(x)图象具有什么特征？ 提示：x= 是函数f(x)图象的对称轴,解析】因为f( +t)=f( -t)，所以x=

17、 是函数f(x)图象的对称轴，所以当x= 时，f(x)取最大值或最小值. 所以f( )=2+m或f( )=-2+m，又f( )=-3，所以m=-5或m=-1. 答案：-5或-1,方法技巧】 1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y=Asin(x+)和余弦型函数y=Acos(x+)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(x+)，当=k(kZ)时为奇函数，当=k (kZ)时为偶函数；对于函数y=Acos(x+)，当=k(kZ)时为偶函数，当=k (kZ)时为奇函数,2.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)确定函数y=Asin

18、(x+)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x+看作一个整体，可令“z=x+”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间,3.求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y=asin x+b(或y=acos x+b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(-1sin x(cos x)1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性. (2)求解形如y=asin2x+bsin x+c(或y=acos2x+bcos x+c)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令t=sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可.求解过程中要注意t=sin x(或cos x)的有界性,变式训练】 1.(2015全国卷) 函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(,解题指南】根据图象，利用五点法求出，的值，确定f(x)的解析式，求出f(x)的单调递减区间,解析】选D.由五点作图知， 解得=，= ，所以f(x)=cos(x+ )， 令2kx+ 2k+，kZ，解得2k- x2k+ ，kZ，故f(x)的单调递减区间为(2k- ，2k+ )(kZ,2.若函数f(x)=Asin(x+)+1(0，|)对任意实数t