复数章节教案.(最新整理)

1、课程数学第第20 章20.1 节复数的概念授 课 时 数2授课方法讲授法授 课 时 间授课班级轮机1501教 学 目 的知识目标：通过理解数系的扩充过程，掌握复数的基本概念，并能理解复数的几何意义能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2） 启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3） 通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维力；教 学 重 点和 难 点重点：复数的定义和复数的几何意义。难点：复数的引入，理解复数引入的必要性以及复数与复平面和向量的一一对应关系复 习 提 问 与作 业 布 置p6练习 2预习教 学

2、思 路 、方 法 、手 段（1）在演示观察思维探究活动中，使学生认识复数（3） 在练习讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4） 在反思交流中，总结知识，品味学习方法教学备品教学课件、尺子【教学过程】师生活动设计意图知识导入活动 1：给出 4 个方程求解的问题。以下 4 个方程在对应的数系中是否有解？ x+1=0n2x = 1zx2 = 2qx2 +1 = 0r老师给出 4 个方程求解的问题，引导学生回顾数系的一步一步扩充的过程，为引入复数做铺垫。.本次活动，旨在提供学生参与活动的空间，调动学生的主观能动作用，激发学生的好奇心与求知欲。为本节课的学习作好准备.历史回顾老师带领大家一起学习数学史的相

3、关知识，回顾在数学的发展史上，复数的的发现以及发展历程，让同学们从历史的角度认识到复数学习的重要性和必要性。数学的发展是伴随着社会的需要和数学本身发展的需要的。同学们在学习数学史的过程中，可以帮助他们理清数学学习的思路和某些数学问题的历史重要性。教 学 过 程 设 计师生活动设计意图辨析定义活动 3：（1） 引入虚数单位i ,并规定i2 = -1复数的概念：形如 z = a + bi 这样的数称为复数，其中a 称为复数的实部， b 称为复数的虚部，且 a, b 都为实数。并引入复数集，用大写字母c 表示。c = z / z = a + bi, a, b r（2） 根据复数的基本形式，对复数进一

4、步分类。当b = 0 时， a + bi 就是实数，当b 0 时， a + bi 是虚数，其中 a = 0 且b 0 时称为纯虚数。（3） 复数相等的概念如果两个复数 a + bi 与c + di 相等，则等价于 a = c 且b = d .并在此强调，复数一般不能比较大小。思考： a + bi = 0(a, b r) 的充要条件是什么？（4） 典型例题选讲：1已知 (2x -1) + i = y - (3 - y)i ,其中 x, y r ,求 x, y .2已知 x2 + y2 - 6 + (x - y - 2)i = 0 ,求实数 x, y 的值.学生通过看书，预先了解复数的概念， 并在

5、老师的引导下进一步认识复数的基本形式。通过对复数中实部与虚部取值范围的讨论，让同学们理解复数与实数的关系。对复数定义的更深一步理解。通 过 例 题 的 讲解，了解学生的知识掌握程度。可以让学生先自己解答，老师再做讲解。类比研究复数的几何意义。（1）复数与复平面的一一对应复数 z = a + bi 与直角坐标系中的点 z (a, b) 一一对应。建立了平面直角坐标系来表示复数的平面，简称复平面， 其中 x 轴称为实轴， y 轴称为虚轴（虚轴不包括原点）。通过复数与复平面的一一对应和向量的一一对应，理解数形结合的思想，并把现在学习的新知识与以往学习的知识联系在一起。教 学 过 程 设 计师生活动设

6、计意图类比研究（2） 复数与平面向量的一一对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数一一对应，这样，我们可以用平面向量来表示复数。uur复数 z = a + bi 与平面向量 oz 一一对应（3） 典型例题选讲已知复数 z = (m2 + m - 6) + (m2 + m - 2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数 m 的取值范围。分析： 第二象限横坐标小于 0， 纵坐标大于 0， 则m2 + m - 6 0m2解决实际问题。体会数形结合的思想。表示复数的点所在象限的问题。（几何问题）复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题。（代数问题）把新

7、学习的知识与之前学习的知识进一步融合，让学生在发现中学习，并理解知识点之间的关系， 有利于对新知识的理解和旧知识的巩固。在解决具体问题时所发现的新的数学思想方法，可以帮助同学们在今后的学习中多角度的思考问题，解答问题，有利于学生思维的拓展。共轭复数概念：一般地，如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数， 则称这两个复数互为共轭复数。复数 z 的共轭复数记作 z ，即 z = a + bi(a, b r) ，则z = a - bi .典型例题精讲：已知 z = 2x + (x +1)2 i ，且2x + (x +1)2 i = y + (2x2 + y)i(x, y r) ，求这个复数的共轭复数。

8、教 学 过 程 设 计师生活动设计意图课堂反馈1. 下列命题是真命题的是（）a. -i 是方程 x2 = -1 的一个根 b.3i 是无理数c.复数3 + (2a - 2)i(a r) 为虚数d. i log2 不是纯虚数32.1z z = m +1- (2m + n - 3)i, m, n r， 则 n =（）3. 1- x + i = 1+ 2 yi(x, y r) ，求 x, y 的值。4.若不等式 m2 - (m2 - 3m)i (m2 - 4m + 3)i +10 成立，求m 的值。课后反思我们之前在学习是实数时，都会涉及到数的运算问题， 那么对于复数，我们是不是也可以定义相关的运算

9、呢？可以的话，怎么定义呢？思考题给学生留有继续学习的空间和兴趣。课堂总结1、通过数系的扩充过程引入复数。通过对数学史知识的了解知道了复数的重要性和学习复数的必要性。2、在理解复数的有关概念时应注意：（1）明确什么是复数的实部与虚部；（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；（3）弄清复平面与复数的几何意义；(4） 两个复数不全是实数就不能比较大小3、通过本节课的学习,你有哪些收获？你还有什么疑惑吗？教师组织学生回顾本节课学习的内容。谈谈自己的收获， 不拘形式，有多少说多少，鼓励学生大胆质疑.作业布置1 p#1,4,6472当m 为何值时，2m2 - 3m - 2z =+ (m2 +

10、3m -10)i 是（1）实数；（2）m2 - 25纯虚数；（3）虚数教学反思1要注意知识的连续性：复数 a + bi(a, b r) 是二维数，其几何意义是一个点(a, b) ，因而注意与平面解析几何的联系2注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解， 培养学生数形结合的数学思想课程数学第第20 章20.2 节复数的运算授 课 时 数4授课方法讲授法授 课 时 间授课班级轮机1501教 学 目 的知识目标：掌握复数的加减乘除的运算及几何意义能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能

11、力的培养；（2） 启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3） 通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维力；教 学 重 点和 难 点重点：掌握复数的运算及几何意义难点：复数的减法和除法复 习 提 问 与作 业 布 置p6练习 2预习教 学 思 路 、方 法 、手 段复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i2 换成-1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.在练习讨论中深化、巩固 知

12、识，培养能力；在反思交流中，总结知识，品味学习方法教学备品教学课件【教学过程】第 12 课时（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。设 z1=a+bi，z2=c+di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、复数的加法运算律:交换律：z1+z2=z2+z1结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 3、复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为oz1 、oz 2 ，即oz1 、oz 2

13、的坐标形式为oz1 =(a，b)， oz 2 =(c，d) 以oz1 、oz 2 为邻边作平行四边形 oz1zz2，则对角线 oz 对应的向量是oz ，由于oz =oz1 + oz 2 =(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以oz1 和oz 2的和就是与复数(a+c)+(b+d)i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于 z1z2=(ac)+(bd)i，而向量z 2 z1 =oz1 -oz 2 =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以oz1 和oz 2对应的向量

14、6、例题讲解：例 1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)的差就是与复数(ac)+(bd)i例 2、已知复数 z1=2+i，z2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 a、b，求 ab 对应的复数 z，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z=z2z1=(1+2i)(2+i)=1+i，z 的实部 a=10，虚部 b=10，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。即 ab 所表示的复数是 zbza. ，而 ba 所表示的复数是 zazb。例 3、复数 z1=1+2i，z2=2+i，z3=1

15、2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。分析一：利用 ad = bc ，求点 d 的对应复数。解法一：设复数 z1、z2、z3 所对应的点为 a、b、c，正方形的第四个顶点 d例 2 图对应的复数为 x+yi(x，yr)，是：ad = od - oa =(x+yi)(1+2i)=(x1)+(y2)ibc = oc - ob =(12i)(2+i)=13i ad = bc ，即(x1)+(y2)i=13i，x - 1 = 1 y - 2 = -3x = 2解得 y = -1故点 d 对应的复数为 2i。分析二：利用原点 o 正好是正方形 abcd

16、的中心来解。解法二：因为点 a 与点 c 关于原点对称，所以原点 o 为正方形的中心， 于是有(2+i)+(x+yi)=0，x=2，y=1.故点 d 对应的复数为 2i.点评：根据题意画图，通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。（三）课堂练习：1. 设 o 是原点，向量uuur ， uuur 对应的复数分别为2 - 3i ， -3 + 2i ，那么向量uuroaobba 对应的复数是（d）a -5 + 5ib -5 - 5ic 5 + 5id 5 - 5i2. 当 2 m 1 ）或压缩（ r2 1）成原来的 r2倍得到这就是复数乘法的几何意义作为特例， j是模为 1，辐角为j的复数，

17、任意复数 z = rq乘以j，意义是其向量的模不变，绕坐标原点逆时针旋转了j角因此， j叫做旋转因子i= 是一个特殊的旋转因子，复数 zi 表示将 z 对应的向量绕坐标原点，沿着顺时针方2向旋转 2电学中将正弦交流电源作用下产生的电压和电流统称为正弦量一般研究的都是同频率的正弦量因为频率相同，所以要确定电压，只要确定它的最大值um 和初相j就可以了 以电压为例，设电压u = um sin(wt +j) ，以它为虚部的复数为u = um cos(wt +j) + ium sin(wt +j)= um ei(wt +j) = eiwt um eij.设复数u&m = umeij，则其模是电压u 的

18、最大值；其辐角为对应正弦量的初相位，旋转因子eiwt 是模为 1，在复平面上以角速度w沿逆时针方向旋转的向量，表示对应正弦量的角频率m由此看来，复数u&m = umeij的模和辐角正好能反映电压 u 的最大值u 和初相位j因此，正弦量可以用复数来表示这种用复数来进行正弦交流电路分析计算的方法叫做相量法， 用来表示正弦量的最大值和初相的复数叫做相量为了加以区别，表示相量时，在表示相量的大写字母上面加“ ”例如， u = um sin(wt +j) ，相应相量表示为mmmmu&= u eij = u j= u (cosj+ i sinj) 巩固知识 典型例题例 2求下列已知电流的合成电流：i =

19、30 sin(100t + ) ，13i = 40 sin(100t - ) .23分析两个同频率的正弦量的合成仍是正弦量，其频率不变，只是峰值及初相位与原来 i i(- )不同，电流 i1和i2 相应的相量为 i1 = 30 e 3 与 i2 = 40 e 3 .那么，我们只要求出 i = i1+ i2 的模和幅角，就可以求出复数 i 的三角形式，从而求出合成电流 i i i(- )解对应于电流 i1 和 i2 的相量分别为： i1 = 30 e 3 ， i2 = 40 e 3i i(- )则i = i1 + i2= 30 e 3 + 40 e 3 = 30(cos+ i sin) + 40

20、cos(-) + i sin(-)3333= 30( 1 +3 i) + 40( 1 -3 i) = 35 - 5 3 i .于是i& =2222352 + (-5 3)2-5 3= 36.06 ， tanq= -3 ，q= -1354 故 i1 和 i2 的合成电流 i= 36.06 sin(100t -1354 ) .357动脑思考 探索新知进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是：（1） 写出对应相量；（2） 将各相量写成复数的代数形式；（3） 进行复数的加、减运算；（4） 将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量.巩固知识 典型例题例 3已知电压u1 =2 sin(wt

21、+ 3 ) ， u2 = sin(wt - 4 ) 求（1）电压的相量u&1，u&2 （2） u1 + u2 解（1）u& =2(cos + =2 +6 i，i sin)13322u& = cos(- ) + i sin(- ) =2 -2 i24422（2）u&+ u& =2 +6 i+2 -2 i1222222=+6 - 2 i2= 1.414 + 0.518i = 1.51(cos 207 + i sin 207 ) ，故u1 + u2 = 1.51sin(wt + 2007 ) 理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：进行同频率正弦量的合成计算的基本步骤是： 结论：（1） 写出对应相量；（2） 将各相量写成复数的代数形式；（3） 进行复数的加、减运算；（4） 将运算结果化成复数的三角形式从而得到同频率正弦量的合成量.*继续探索 活动探究(1) 读书部分：教材(2) 书面作业：教材习题 33（必做）；学习与训练训练题