高等数学：BIT4导数

1、知识回顾,1)复合函数求导;（重点,2) 隐函数求导；（重点,3)含参方程求导；（重点,3)式表示在曲线 上的点 处的切线MT与极轴ox,若曲线C由极坐标 表示,4.极坐标方程求导公式,首页,则可转化为以极角为参量的参量方程,这时在相应的条件下可得,3,轴的夹角的正切（图56,过点M的射线OH与切线MT的夹角,4,将（3）式代入（4）式则得向径与切线夹角的正切,的正切则是,5,例2 证明：对数螺线 (图57)上所有的点的切,证 由（5）式得，对每一,首页,与向径的夹角 为常量,值都有,即在对数螺线上任一点的切线与,向径的夹角等于,五、相关变化率,相关变化率问题,已知其中一个变化率时如何求出另一

2、个变化率,求解步骤,1)建立相关方程F(x,y)=0,2)将相关方程两端对t求导(利用隐函数和复合函数求导法),得到dx/dt,dy/dt满足的关系,3)解出所要求的变化率,例9,解,仰角增加率,五、小结,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则,相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解,作业,P110: 1(4) , (5) ; 2 (2); 5 ; 7 (2) , (10); 8 (1) (9); 13,第五节,2.4 高阶导数,

3、一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度,定义,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求法举例,1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,例1,解,例2,解,例3,解,注意,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)逐阶求导，寻求规律，写出通式,例4,解,同理可得,例5,解,例6. 设,求使,存在的最高,分析,但是,不存在,2,又,阶数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 高阶导数的运算法则,莱布尼兹公式,例7,解,3.间接法,常用高阶导数公式,例8,

4、解,例9,解,举例说明求隐函数的二阶导数的方法,对方程两边关于x求导,得,两边再求导，得,将,代入上式得,说明： 求隐函数的二阶导数，要先求出隐函数的一阶导数,在一阶导数表达式的两边再对x求导数,二、隐函数的二阶导数,例10,解,把求出的一阶表达式代入二阶导数的表达式,的导数公式为,参数方程确定的函数的二阶导数为,三、参数方程确定的函数的二阶导数,设,解,例2,求参数方程,确定的函数的二阶导数,解,代入公式得,例1,的二阶导数,函数,解,例12,设物体作变速直线运动，运动方程为,那么它的瞬时度为,若速度v仍是时间,t 的函数，我们可以求速度v对时间t的变化率,在力学中把它叫做物体在给定的,时刻

5、加速度，记作,也就是说，物体加速度,是路程,对时间t的二阶导数 , 即,这就是二阶导数的力学意义,四、二阶导数的力学意义,解,故,例13,一 显函数高阶导数,逐次求导，从中发现，总结规律,二隐函数的二阶导数,求隐函数的二阶导数，先求出一阶导数,在一阶导数表达式的两边再对 x 求导数,隐函数的导数的表达式中只能有 x, y 而不能保留,三参数方程确定的函数的二阶导数,五、 内容小结,1(1)(3); 2(1); 4(2)(4); 6(1)(5); 7(4); 11,作业,习题,2.5 微 分,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线

6、性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求,二、微分的定义,定义,微分的实质,由定义知,三、可微的条件,定理,证,1) 必要性,2) 充分性,例1,解,四、微分的几何意义,M,N,几何意义:(如图,五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,六、微分形式的不变性,结论,微分形式的不变性,例4,解,例3,解,例5,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立,七、小结,微分学所要解决的两类问题,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分

7、的方法,叫做微分法,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学,导数与微分的联系,导数与微分的区别,思考题,思考题解答,说法不对,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念,微分在近似计算中的应用,一、计算函数增量的近似值,例1,解,二、计算函数的近似值,例1,解,常用近似公式,证明,例2,解,三、误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差,定义,问题:在实际工作中,绝对误差与相对

8、误差无法求得,办法:将误差确定在某一个范围内,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差,例3,解,四、小结,近似计算的基本公式,复 习 课,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,一、主要内容,1、导数的定义,定义,2.右导数,单侧导数,1.左导数,2、基本导数公式,常数和基本初等函数的导数公式,3、求导法则,1) 函数的和、差、积、商的求导法则,2) 反函数的求导法则,3) 复合函数的求导法则,4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,适用范围,5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,6) 参变量函数的求导法则,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,5、微分的定义,定义,微分的实质,6、导数与微分的关系,定理,7、 微分的求法,求法