中值定理与导数的应用1(终)17084

1、中值定理与导数的应用内容概要名称3.1中值定理3.2洛必法则名称罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理基本形式条件主要内容(3.1、3.2 )y = f(X)： (1)在a,b上连续；(2)在(a,b)内可导；(3) f (a) = f (b)y = f(X)：( 1)在a,b上连续；(2)在(a,b)内可导f (x)、g(x):(1)在a,b上连续，在(a,b)内可导；(2)在(a,b)内每点处gx) H 00OCY型与一型未定式0处结论至少存在一点E迂(a,b)使得至少存在一点E亡(a, b)使得f/( 3=f(b)-f b -a至少存在一点砖(a,b)使得f/( _ f(b)-f(a)

2、b -a通分或取倒数化为基本形式0处1) K 型：常用通分的手段化为 一型或型；0处0K2) 0，比型：常用取倒数的手段化为 上型或一型，即:0C00处0 -处二二一或 0 处=1/K 01/ 0C取对数化为基本形式1) 0型:取对数得 0= e0ln0，其中0和0=0心化二0C或 0 ln 0= 0 8=1/02) 1处型：取对数得1处=Kln1e1/处或心ln1=心0=1/00 03)处型：取对数得处OlnoC=e1/比或 0 In 处二 0 8=1/00 0-0。课后习题全解习题3-1 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 匕。(1) f(X)

3、=2x2 -x-3I_1,1.5 ；(2)f(X)=xj,0,3。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程f / ( 9 = 0 ,得到的根E便为所求。解：(1 ) f(X)=2x2 -X-3 在1,1.5上连续，在(1,1.5)内可导，且 f(1) = f(1.5) =0， f(X)=2x -x-3在1,1.5上满足罗尔定理的条件。令f(E)= 4E- 1= 0得(2)v f(x) =xj3-x 在0,3上连续，在(03)内可导，且 f(0)=f(3) = 0 ,f (X)= X寸3 X在0,3上满足罗尔定理的条件。令匚f 7 9 =J3- 9 丄=:=0，得9 = 2

4、亡(0,3)即为所求。2 2.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x3 -5x2 +x-2在区间0,1上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程厂(空晋，若得到的根的0,1则可验证定理的正确性。3232解：Ty=f(x)=4x -5x + x-2 在0,1连续，在(0,1)内可导，/ y = 4x -5x + x-2 在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的条件。又f (1) = -2,f (0) = 2， f (X) =12x2 -10x +1，.要使 fEun1fU0,只要-121.(0,1)，.至=乞西壬(0,1)，使f ,(E = f-f(0)，验

5、证完毕。121-0 3.已知函数f(x)=x4在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的 E。解:要使f(E) = f (2)f (1)，只要4 e = 15=巴=J晋，从而E = 忘(1,2)即为满足定理的。 4.试证明对函数 y = pX2 +qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点E总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为a,b，则函数y = px2 + qx + r在a,b上连续，在(a,b)内可导，从2 2b -a而有 f(E)= f(b)-f(a)，即 2 E + q=( Pb +qb+r)( Pa +qa + r) b -a解得比，结论成立。2 5.函数f(

6、X)=x2解：T f(x) =x及g(x)=x +1在1,2上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有与g(x) =x2 +1在区间1,2上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值E。知识点：柯西中值定理。思、路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程= f (b) f(a)，得到的根E便为所求。g (X)= 2x H 0，所以满足柯西中值定理的条件。要使fC) g E)_ f(2)-f(1)只要矍，只、要g(2) -g(1)2 E=-，解3g(E)g(b)g(a)14得E =(1,2)，E即为满足定理的数值。9求证: 6.设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内

7、可导，且f(1)=0 存心(01)，使 f( L巴知识点：罗尔中值定理的应用。从而由罗尔中值定理，至少有一点& ( & , &)U (x1,x3)，使得f ”( 9 = 0。f/(x) f(x)，用的方法。然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常从而由罗尔定理，至少有一点& (&，&)，使得f ( & =5 & +1 = 0，这不可能。证明：构造辅助函数F(x) =xf(x) , F (X)= f(X)+xf(X)根据题意F(x)=xf(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(1) =1 -f (1) = 0,F(0) =0 ”f(0) = 0,从而由罗

8、尔中值定理得：存在E (0,1)，使f ( EF E) = f( E E+ f ( E =0，即 f( E = -E。f ( X)注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使f (X)= ，只要X帶一十lnf x)如 XlfnXf)-fX() 0只要设辅助函数F(x) =xf(X) 7.若函数f (x)在(a,b)内具有二阶导函数，且 f (xj = f(X2)= f(X3) (a X1 c X2 vxs 0，f(0) = 1 0,二由零点定理，至少有一点E亡(0,1)，使得f ( & = & + E 1 =0 ;假设X5 +x1 = 0有两个正根，分别设为&、 &( & W &)，则f

9、(X)在在&, & 上连续，在(&,三2 )内可导，且f( & ) = f(E2)=0，方程x + X-1 =0只有一个正根。 10.不用求出函数f(X)=(x -1)(x -2)(x-3)(x -4)的导数，说明方程 f (X)=0有几个实根,并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：T f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)在1,2、2,3、3,4上连续,在(1,2)、(23)、(3,4)内可导，且 f (1) = f (2) = f (3) = f(4) =0 ,由罗尔中值定理，至少有一点& e (1,2)、 &迂

10、(2,3)、 &迂(3,4),使得f( &) = f( &) = f ( ) = 0 ,即方程f (x) = 0至少有三个实根,又方程f (X)=0为三次方程，至多有三个实根,- f(x)=0有3个实根，分别为&红1,2)、&巳23)、&巳3,4)。 11.证明下列不等式:(1) I arctana - arctanq 丄X 1 + X知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程:寻找函数y = f(X),通过式子f ( &) = f (b) - f(a) b-a(或 f (b) f (a) = f ( E)(b a)证明的不等式。证明：(1 )令 f(X)= arc

11、tan x， 丁 f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理，得|arctana-arctanb =|f( &(b-a)=(2)令 f(x) =ex(X 1)，V f(x)在1,x上连续，在(1,x)内可导,b-a| 勻b-a由拉格朗日中值定理，得eX _e =e x-1），V 1 9e(x _1)= ex_e，从而当 x 1 时,Xe ex。（3）令 f（X）=1 n（1 + X）（X0） , V f（X）在0,x上连续，在（0,x）内可导,由拉格朗日中值定理，得In(1 +x) =1 n(1 +x) -In(1 +0) = f( 9(x-0)=V 0 9 X，二丄X1

12、 + 90，In(1 +x) C X。(4)令 f(X)= In X(X 0) , V f (x)在x,1 + x上连续，在(x,1 + x)内可导,由拉格朗日中值定理，得In(1 +丄)=ln(1 +x) -Inx = f( 9(1 -0)=丄X911 1，即当 X aO时，In(1 +)。1+xX1+x2x 12.证明等式：2arctanx + arcsin=nx1).1 +x知识点：f（x）=0u f（x）=C （ C为常数）。思路：证明一个函数表达式 f（X）恒等于一个常数，只要证 f （X）= 02x证明：令 f(X)=2arctanx +arcsin (x 吕1)，1 +x当 X

13、=1 时，有 2arctan1 +arcsin1 = n；当 x 1 时，有2f(xw 十2(1 + x2)-2x fx2 +2(1 + x2)212-2x21X2(1+x2)f(X)=C = f (1)=兀;2 21 +x2+(一丁)=0，1+x2X-2arctanx +arcsin2 =冗匕 1)成立。1+x 13.证明：若函数f （x）在（a, +处）内满足关系式f （X）= f（X），且f （0） =1，则f（X） =eX。知识点：f(x)=OH f(x)=C思路：因为f(X)=eX u e f (x)三1，所以当设F (x) =ef (x)时，只要证F (x) = O即可_x证明：构

14、造辅助函数F(x) =e f (x)，则 F(x)=ef(X)ef(x)=O ；- F(x) =ef(X)三C =F(O) =1- f(X)=eX。 14.设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有f (a) = f (b) =O,f (c) AO(a c cb),试证在(a,b)内至少存在一点E,使f( E) c O。知识点：拉格朗日中值定理的应用。思、路：关于导函数f (n)( E在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。证明：T f (x)在a,c、c,b上连续，在(a,c)、(c,b)内可导,由拉

15、格朗日中值定理，至少有一点E忘(a,c)、 E丘(c,b)，使得 f(E)fcf)0,以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：V f Ja) = lim f(x) -f(a)0，由极限的保号性知，X aWU+(a, )(不妨设)，对于 W X迂 Ua, )，均有 f(x)-f(a)特别地，冠亡 U+(a, 6)，使得 f 以1) f (a)0，二得 f (x1b- f(a) = A ；Xi a同理，由f：b)O,得3xJ_(b,(汀 ba)，使得 f(x2f(b)20 ,从而得 f(X2)c f (b) = A ；又：f(X)在Xi,X2上连续，二由介值定理知,至少有一点9 (Xi,X2)使得 f

16、 ( 9 = A ；T f(x)在a, E、 E ,b上连续，在(a, 9、(E ,)内可导,且 f (a) = f ( 9 = f (b)= A，由罗尔中值定理知，至少有一点9年(a, 9、 9(9，b，使得f( 9) = f( 9) = 0，结论成立。 16.设f(x)在闭区间a,b上满足f (x)aO，试证明存在唯一的c,accb，使得f(c)(b) fb -a知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证明：存在性。V f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，二由拉格朗日中值定理

17、知，至少有一点(a,b)，使得f (c)b -a唯一性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点d忘(a,b)，使得f (d) =91b a又/ f x)在c,d(或d,c)上连续，在(c,d)(或(d,c)内可导,由罗尔中值定理知，至少存在一点E亡(c,d)u(a,b)(或 代(d,c)u(a,b)，使得f”(9=0 , 这与f(X)在闭区间a,b上满足f (X)矛盾。从而结论成立。方法二：T f(x)在闭区间a,b上满足f(x)A0,. f(x)在a,b单调递增,从而存在存在唯一的 c亡(a,b)，使得f(C)= f(b) f (a)。结论成立。b-a 17.设函数y = f(x)在

18、x=0的某个邻域内具有n阶导数，且f(0)= f (0)=川=f 54(0)=0,试用柯西中值定理证明:叫 4 (0 0 1)。xn!知识点：柯西中值定理。思路：对f(x)、g(x) = xn在0,x上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。证明：T f(x)、g(x) = xn及其各阶导数在0,x上连续，在(0,x)上可导,且在(0,x)每一点处，g(n4(x) = n!xH0，又 fQ =f0=H*f0nS=,连续使用n次柯西中值定理得,f(x)_f(x)-f(0)_f 峯)_f( S-fe)n sxjn-1x -g(0) npn4-g(0)(2)2)(0)(cFf(n)( n x= 一(0c

19、 00在点x = 0处的连续性。f(x+h)-f (x) + f (x) -f (x-h)e%知识点：函数在一点连续的概念。右连续的概念。思、路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、丄1 (Hx)-y limln 解：丁吧+f(X)=limi+ A =eT恢eHm 2exT+ x=eT1又/ lim f(x)=e =f(0)，二 f (x)在 x=0 处左连续;从而可知，f(x)=*(l+x). X0 e 在点x=0处连续。e2 5.设g(x)在x=0处二阶可导，且 g(0)=0。试确定a的值使f(x)在x = 0处可导，并求f(0)，其中f(x警，-0a , X = 0知识

20、点：连续和可导的关系、洛必达法则。思、路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使f(X)在X = 0处可导，则必有f(X)在X = 0处连续,又 g(x)在 x=0 处 g(0) =0,二 a=IJm f(ximg-=l护汙严=9,(0)；g(X) g Y0)由导数定义，f (0) =lim x) f (0) =lim TX0T X0= ,img(x) g(0)x2x内容概要名称主要内容（3.3 ）3.3泰勒公式泰勒中值定理：如果 f（X）在含有X0的某个开区间（a,b）内具有n + 1阶的导数，则对任一x-(a,b)，有 f(x) = f(X0)+ f/(X0)(

21、x-X0)+ f (X0)(x-X0)2+ 2!-f* (n)(X0) n!（X X0）中Rn （X），此公式称为n阶泰勒公式;f （n北/巴、f （ ）n + U其中Rn（X） （X -Xo）（ n介于X0于X之间），称为拉格朗日型余项；或（n +1）!(n)+ rjov+Rnd) n!Rn（x） =O（X -X0）n，称为皮亚诺型余项。2)3)4)5)6)x2Xn常用的初等函数的麦克劳林公式：1） eX =1+x+- +o（xn）2!n!3Xsin X = X3!cosx =1ln(1 +x)15X+ .5!2n十一+（引詁52巧4+丄4!62n呛+1)n+o(XF3nH4x(-怜+厲严)

22、+ x + X2 十+ xn + o(xn)(1 +X) 1 mx + x2 + 口一1)(m n +1)Xn + o(xn)2!n!习题3-3 1.按（X -1）的幂展开多项式f（X）=x4 +3x2 +4。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求 f（x）按（Xx0）的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求 f（x）直到n + 1阶的导数在X = X0处的值，然后带代入公式即可。解：f(x)=4x3+6x，(1)=10 ； f7x)=12x2+6，f(1) = 18 ；f(x)=24x，(1) = 24 ； f(4)(x)=24 ； f (1)=24 ； f(5)(x) = 0 ；将以上结果代入泰勒

23、公式，得小计竽X-1） +号（X十专（X 一 1）3+嘗（52 34= 8+10(x1) + 9(x1)2 +4(x1)3 +(x1)4 。 2.求函数f（X）= Jx按（X 4）的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思、路：同1。解: f(x)=4，(4)=! ； f7x)=-1xP2仮441，f%4r33.八严(=8，(4)=莎；f(x) 一15 x167P;将以上结果代入泰勒公式，得f (4) f(x2f(4打导(x+导 XT3+普(XT4=2 + (x -4)-丄(X-4)2464+丄(x-4)5125 7 (x-4)4，( E介于x与4之间)。128 F 3.

24、把f(X)= 1 +X+X2在X = 0点展开到含1 -x +xx4项,并求f(0)。知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论11 -x= 1 + x + x2 +xn +o(xn)。23n411十 2x(1+x)右2 2&、1 +x+x21-x + x2 +2x ,丄 2x解：f (x) =2= 1 +21 -X +x21 -X +x21 -X +x23 3244=1 + 2x(1 +x)(1-x3 +o(x3) =1+2x + 2x-2x4 +o(x4)；f |(0)又由泰勒公式知X3前的系数一3=0，从而f”(0)=0。 4.求函数f(X)= In

25、X按(X 2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1 ；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论方法一:（直接展开）f （X）=丄，f =；f ”（x）=丄，f （2） = -X2X4超X）# f（2）冷；十1）nd ( 1)! f(n) _ (_1)n( 1)!.2n将以上结果代入泰勒公式，得In X = f (2) +f(2)(x-2) +f (n)1!2!2(x-2) +72)3!(x_2)3+fe(2)(x-2)4+|4!f (2)1+ 晋(X2)n+o(X2)Jn2+2(X2)-23(x 2)213+-2) -+ (-1

26、)21冷xn)。方法二：f(x) =1 nx=ln(2 + x-2) = ln2+ln(1 +口皿+-丄戸)22 2 2 2+ 1 号)x”+(-1)n*(宁n+o(乎)2+知 2)一弄一方法一 ：f（X）= - 2， f （一1） = -1 ；)21 1+ k(x-2)31)nr (x-2)n +o(x-2)n)。3 *2n *21 5.求函数f（X）=按（X +1）的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。x知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1 ；或者间接展开法，f（x）为有理分式时通常利用已知的结论1=1 +x x2 +111 +xf x)二，f (T) = -2 ； f (x

27、) = -2XX口-1)=七，f (x)=(-1)n n!f （_1）=（_1）nn!(-1严将以上结果代入泰勒公式，得IIPjf(_1)+g(x+1)+4(x+1)2+g(x+1)3wX iC1!2!3!(n)(E)+ 3(x+1)n+(n+1)!n!(x+1严=_1 _(X +1) -(x+1)2 -(X +1)3 一(x+1)n + (L (X +1)n屮(E介于 X与一1 之间)。方法二：1X1=-1 +(X +1) +(X +1)2 + (x+1)3 +(x+1)n 1 -(x +1)+ 上1&+1严一1-(x+1)-(x+1)2-(x+1)3 -(x + 1)n(x + 1)(E介

28、于X与一1之间)。 6.求函数y =xeX的带有皮亚诺型余项的 n阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。思、路:直接展开法,解法同1；间接展开法。f(X)中含有ex时，通常利用已知结论2n)。XXex =1 +x + 2!方法一：y = (x+1)eX , y(O)=1； y = (x+2)eX, y(0) =2 ；,y(n)=(x + n)eX,y(n)(0) = n，将以上结果代入麦克劳林公式，得xe f (0) + -f-(0)x(n)1!+ 血 X2 +V+lll+Zxn+oM)2!3!n!=X +x232!(n1)!+ o(xn)。方法二：X xi+x + X+(n-1)!n(n-

29、1)!+ o(xn)。1 X 2 2 Xx 7.验证当0 C X 时，按公式 eS. + 计算ex的近似值时，所产生的误差小于2 260.01，并求的近似值，使误差小于0.01。知识点：泰勒公式的应用。e41e 42 1R3(x)=xx4!4!4! 24思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。 8.用泰勒公式取n = 5,解:+ 丄止 0.646。48求ln12的近似值，并估计其误差。1知识点：泰勒公式的应用。解：设 f(x)=n 1+x)，则 f(x)止 f(0) +丄dx1!+罟X2+川+55!2x=x -一2+，从而 In 1.2 = f (0.2)23450.2 丄 0

30、20.2 丄 0.2廿+-+止0.1823 ;其345误差为:R5(X)=-6(1 + B6止 0.0000107。6(1)3 + 3x -Jx2 -x); 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:(2) lim2_T (cosx -eX )sin x2知识点：泰勒展开式的应用。X3 +3x -Jx2 -X)思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。1311宀2x1 1-(訂)X21+ 0(-2)x11 911=lim ( + +o() = x42 8xX2 Jx2 一不7=lxmo(cosx-eX )x2(2) lim2227 (cosx eX )s

31、inx1(11 +1x(1x2 +2J_2 2 22X222一1)x4 +o(x4)=lim(1+o(x ) -(1 +x +o(x )x14/4-X + o(x ) 83x / 4 -*o(x )=12x2 10.设 X0，证明：X- X23(1 + yX32X，结论成立。2（也可用 3.4函数单调性的判定定理证明之） 11.证明函数f （X）是n次多项式的充要条件是f（n中）（x）三0 知识点：麦克劳林公式。思、路：将f（X）按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。解：必要性。易知，若 f （X）是n次多项式，则有 八十）么）三0 充分性。T f （n）（X0，二f（x）的n阶麦克

32、劳林公式为：f（x）= f(0) + f(0)x+曾r iiF/c 3r (n) /c n (n / $*、n+ f (0)x +| + f(gx +f(3!n!(n +1)!= f(0) + f(0)x+皿2!+ f (0)x +0)，即f (X)是n次多项式，结论成立。3!n! 12.若 f(x)在a,b上有 n 阶导数，且 f (a) = f (b) = f (b) = f (b)= f Wb) =0证明在(a,b)内至少存在一点 n使f(n = 0(a nb)。知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。(n4(x)在a,b上满足思路：证明f(9 =0(a c n b)，可连续使用拉格朗日

33、中值定理，验证罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理， 根据f(X)在X = b处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一 ：T f(X)在a,b上可导，且 f (a) = f (b),二由罗尔中值定理知，在 (a,b)内至少存在一点 &，使得f( &)=0 ；- f x)在Ei,bua,b上可导，且 f(b)=O,二由罗尔中值定理知，在(1,b (a,b)内至少存在一点三2，使得f(&)=0 ;依次类推可知，f(n4(x)在nb ua,b上可导，且f(n4(fder。，二由罗尔中值定理知，在(nj,b)u(a,b)内至少存在一点 9使得f(n)( 9=0。方法二：根据已知条件，f (X)在X = b

34、处的泰勒展开式为:(nJ)(n)f(Xf(b)+f(b)(X 一b)+堺(X b)2W+Sf(X 一 b)nS 专(x b)n(n-1)!f(n)( nn!(X-b)n(X c E0，贝U y = f（X）在a,b上单调增加;若在（a,b）内f （X） 0，则y = f （x）在a,b上单调减少。1）曲线凹凸性的概念：设 f （X）在区间I内连续，如果对I上任意两点Xl, X2，恒有f（ f（X1）+ f（X2），则称2f（X）在I上的图形是凹的；如果恒有忤），9，则称f （x）在I上的图形是凸的。2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。 3.求下列函数的单调区间：（1）yWX3X23X+1 ；8 2,(2)y=2x+(x0) ； (3)y= xx2 ；(4) y =1 n(X +X2);(5)y =(1 +