无穷小与无穷大

1、1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1.无穷小量的定义定义：如果X 7 X0 （或X 78）时，函数f（X）的极限为零，那么把f（X）叫做当x 7X0 （或X 7 8 ）时的无穷小量，简称无穷小。例如：因为lim （x-1）= 0,所以函数X-1是X7 1时的无穷小。11因为lim 1 =0,所以函数-是当X71时的无穷小。X予XX1 1因为lim 了 = 0,所以函数飞是当X7-8时的无穷小。1 2以零为极限的数列 Xn,称为当n78时的无穷小， 丄，三都是n78时 n 3n的无穷小。注：不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数 的变化趋向。不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数

2、在 极限仍为常数本身，并不是零。常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在X7 Xo （或X78）时，极限是零。f（x）是无穷小，必须指明自变量2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。如sin X 例 1.求 limx1解： |sinx1,是有界函数， 而iim-=0x有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。sin x c-iixm=03. 函数极限与无穷小的关系定理：具

3、有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为 常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。4. 无穷小的比较例：当 x70 时，x, 3x , x2sinx.1sin丄都是无穷小。x观察各极限:lim2=03xx2比3x要快得多limsin x=1sinx与x大致相同imx30sin x2-x=iimXsin xsinx比x2慢的多ixm2 . 1x sin-X2xPm.1Sin-x不存在不可比0的“速度”是多样的。极限不同，反映了无穷小趋于得到以下结论：设a和B都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小如果如果如果如果plim = 0,则称B是比a高阶的无穷小otplim

4、=8,则称B是比a低阶的无穷小a.Plim = k （kM 0）,则称B与a是同阶的无穷小a.Plim = 1 ,则称B与a是等价无穷小，记为 aB。 a1 2例2比较当X70时，无穷小_1_x与X2阶数的高低。1 -X解：因为ixm丄-1-x1-X2XPm 口XFFlim2XX2 (1 - X)所以例3.11 -XX7 1时，无穷小1 X与1-X3是否同阶，是否等价?2一1 _xX解:1 -X.1 _ X _ _lixm1 1 -X3 呵(1 -x)(1 +x +x2)=13故同阶但不等价。 常用的等价无穷小：当X7 0时，sinxxarcsinx xtanx Xarcta nx x1-co

5、sx x2 , In(1+x)X ; eX-1 x 21.4.2无穷大1 .无穷大量的定义;(1+X)a 1-ax如果当X 7 X0 （或X 7 8）时，函数f（X）的绝对值无限增大，那么函数f（X）叫做当X 7 X0 （或x 7 8 ）时的无穷大量，简称无穷大。1注：说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。如函数1是当X 7 0时X的无穷大，当X 7 S时，它就不是无穷大，而是无穷小了。不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在X7xo（或X7m ）时极限为常数本身，并不是无穷大。2.无穷小与无穷大的关系1定理：在自变量的同一变化过程中，若f（x）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（

6、x）1f（x）为无穷小，且f（x）丰0,则为无穷大。f（X）例4.求lim 2心lixm11 X2 -5x +4解：当的极限X71时，分母x2-5x+4 70，因此不能直接使用商的极限法则，但f（x）的倒数X5=02x 3由无穷大与无穷小的关系可得lim f （x）=处1. 5函数的连续性1.5.1函数连续性的概念1 函数的增量定义：在函数y=f（X）中，当X由X0 （初值）变化到X1 （终值）时，终值与初值之差 X1-X 0叫做自变量的增量（或改变量），记为 X= X 1-X 0.相应的，函数终值f（X）与初值f（X0）之差Ay,叫做函数的增量。注意：增量 x可正、可负；增量 y可正、可负或

7、为零。2 .函数y=f （x）在X0的连续性先观察两个函数的图像的特点当 XT 0时, yT 0。当 XT0时， y不趋向于零。定义：设函数y=f(x)在点X0及其近旁有定义，如果当自变量 X在点X0处的增量 X趋近于零时,函数y=f(x)相应的增量Ay = f(x0 +Ax)- f(X)也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点xo连续。用极限表示，就是或 lim0定义2：设函数y=f(x)极限存在，且等于它在吋。f（Xo + &） - f（Xo） = 0在点xo及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当xiTxo时的Xo处的函数值f(X o),即lim f (X)= f (X0)XJX0那

8、么就称函数f(x)在点X0处连续。函数f(x)在点X0处连续必须满足三个条件：函数f(x)在点X0及其左右近旁有定义；lim f (X)存在；XJXc lim f（X）= f（X0）X3x0例5试证函数f(x)r1xsin ,x 为0,xJ ，在X = 0处连续。证明：函数f (x)在x = 0及其左右近旁有定义1lim xs in - =0 f（0）=0lim f(X)= f(0)函数f (X)在X = 0处连续。3.函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数f (X)在区间(a, b内有定义，如果左极限lim f (x)存在且等于f(b), 即lim f (x) = f (b)，就说函

9、数f (X)在点b左连续。设函数f (X)在区间a, b)内有定义，如果左极限lim f (x)存在且等于f (a),x_ja 十即lim f (x) = f (a)，就说函数f (x)在点a右连续。定理：函数f(x)在点X0处连续u f(x)在点X0处既左连续又右连续吕 f(Xo) = f (Xo 0 = f (Xo)(a,b)叫=d(Xo),在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间 做函数的连续区间。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。4.复合函数的连续性设函数y = f(u)在点uo处连续，函数u=W(x)在点Xo处连续，且uo则复合函数y = f S(x)I在

10、点Xo处连续，即f b(x 卜 f b(xo )= f lim(X)L 1勺 -求 lim10)X 1In a1ln e解：原式=liQ log a(1 + X F = log a e X 可以推出：当XT 0时，loga(1+x ) ln a函数f (X)在Xo点连续必须满足三个条件,如果这三个条件有一个不满足,则称f(x)在X0点不连续(或间断)，并称X0点为f(x)的不连续点或者间断点。间断点的分类:第一类间断点：f(x0L f (xo*)，但f (x0 j=代怡+)工f (x0 ),或者f(x0 )无 意义。不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。1.5.3闭区间上连续函数的性质性质1闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。 注意：若区间是开区间，定理不一定成立。若区间内有间断点，定理不一定成立。推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。性质2如果函数f (x)在a,b 上连续，且f(a)”f(b) 0 f (1) = 20根据性质2,至少存在一点E (0, 1)，使f (匕)=0即 3_4匕2中