无穷级数习题课资料-丁金扣

1、二章无穷级数习题课资料四、丁金扣本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法,敛与条件收敛。幕级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性） 级数，函数展开为幕级数及幕级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。本章重点用定义判别级数的收敛, 数的收敛域与收敛半径,P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法, 幕级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。绝对收，泰勒幂级本章难点用定义判别级数的收敛, 数收敛定理。例题选讲P-级数审敛法,幕级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级（用定义）W (丄-n4 Inn ln(n +1)九 l

2、n例1 :判别级数送一一耸的敛散性。n=21n nin （1 + n ）解：原式fn(FInn心 In nIn(1 +n )级数的部分和sn =丄 1n Un 2+ d-丄】丄-In3丿 lln3 In 4丿(Inn ln(n +1)丿1 1ln2 ln(n+1)T In 2所以原级数收敛，且收敛于。In 2例2：证明级数cosn-cos（n+1）收敛。（利用柯西审敛原理）证明:cosm-cos(m+1)一十)cos(m+1)n +1mn十 m m+1n+ p匕十(_! _匕)+丄n +1m m+1 n + p对任意的s 0，取N = ，则当n A N时，对所有pw N，都有也故原级数收敛。例

3、3:判别下列级数的敛散性(1)Z I n 山 nd Inn-In nXn2n+1 丿(4) 1!+2册+n!n 土(2 n!c(5)送 n 二(1+xX1+X2 汕(1+xn)解：（1）因为In(1 + n) clnn，所以丄-Inn吃二丄-In（“1）。，n nn=ln需1 n-l n n+11- nnn +1 n(n +1)由比较审敛法知，级数丄In山收敛。 心 InnJ2(2)因为 Iimn Unn=1，又h A收敛，所以原级数收敛。n# n（3）用根值法Hm你1厂1nm-=丄1，所以原级数收敛。2n+12(4) 1!+2! + 川 + n! c(n-1；(n-1 ) + n! =(2n

4、1 “-1 )!= 2n!-(n T )! v2n!2n!所以Un 3-=(2n )(n +1 x n + 2 卅|(2n -1)2n1吒 2?-!有比较法知，原级数收敛。（5）比值法：Hm普二恻*Xnr，U 丄当0xc1时，Iim=xc1,级数收敛,Un当x=1时,limn_scUUn0时，级数收敛。Un因为=sin11一，又InnInn比1，知级数Znz2 In n发散，从而S un发散，即级数非绝对收敛。n=21I!msin0，1且 sin In-在（2, +比）内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数Xc 1jcey1（6）J13xdx0尹dy.玮，所以原级数收敛。例4：判断级数sin

5、fn兀+丄】的敛散性。 In n 丿Lt?收敛。条件收敛。例 5：证明级数 Z(-1 n-1-1-rn三Ivn /丄1处r证：设f（X ） = e 1 -，则原级数为送（-1 ）n- f （n ），vnn=2又 f(xjJx 1 2 |1X2 I 丿 f （n +1 ），且lim f （n ）=0，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。 n_例6：设数列aj为单调增加的有界正数列， 证明级数n=2 IaH4 丿收敛。证明：因为数列aj为单调增加有上界，所以极限存在。设lim an =a，考虑0Un =1-旦an+ -anW an anan +an +ai而级数S (an+-ann=2)=lim (a

6、n + _ a1)=a - a1 存在,n_由比较审敛法知，原级数收敛。例7:求下列幕级数的收敛域nn2n，（2 sin 丄丫竺Xnn z2 I2n 人 2 X 丿nz24 n(x + 1)an +X = 2 时,(2)令 tanlinm 2(n+1 )1=丄，所以收敛半径为21发散；x = 2时,1 +2x2-x，原级数为zfsinnz2si nanHt因为m訂迥sinR = 2，收敛区间（2,2卜处1S （-1丄收敛。n所以收敛域为-2,2 ）。nzi1 In2nfn十1）丿=1，所以收敛半径R = 1。又t = 1时级数r 1 yZ !sin丄tn发散，t = 1时级数Zn=2 V 2n

7、(!sin-tn收敛，故其收敛域为 D =-1,1 ）：n=22n1 +2X再由一1L1,解得原级数的收敛域为2-XDp3,1。（3）lim 詈 n并 an4 f-2n 申1 + I一 (= |im=3，所以收敛半径 R=1，收敛区间为:lnm (n +1)1 1_2)n3+ I I333 丿14v ，即 一一 x -331 ,x +134当X =-时，原级数收敛，当3232x =-时，原级数发散。3得原级数的收敛域为 D =-一,-.i 3，3 丿例&求下列级数的和函数(1)xn卫n!c2n，( 2)艺 2nn 二 22n 1 2n _2x（疣 E2nan十2(n +1) + 1n!解(1

8、Em 匸 Pm(n+1)! 2n+1= limnaC2n + 3 =0 (n +1 )(2 n+1)所以收敛半径 R =处，收敛域为：（-处，乜卜；?2n+1 2n 十 乙Xn=0n!n=0n!2n=X xx2nL n出 n!处11+Z x 1n=0 n! x2x2+ xe =x(e+ 2x2e+xex= 2xex2(1+2x2)即和函数 s(x) =2xex2(1 +2x2)。an十(2n+1 )2n-|im (2n-1 旷=，所以收敛半径R= = J2。2 翟原级数发散，所以级数的收敛域为D =（-J2, J2）。设级数的和函为s（x ），对幕级数逐项积分得,fs(x jdxfn-1n =

9、12nxJoX2n_2处x2ndx=：Zn42C 2X巳-72,血)对上式两边求导得2 + x2s(x)=尤212X 丿(2X2)X 珂72“)。(3)易求级数的收敛域为(严卜记级数的和函为s(x ),因为卄1上 心(2n +1 )!处f 1 n2n+p2nd3= x Z Xn釈 2n+3)所以处f 1Z -tx2n心(2n +3 )= x-sinx， x(Y, Pn A(1)-X (2n +3)!沁，(XHO)X对上式两端求导得:3CZn=0n2(n +11)(2n +3 )2n +1p(xcosx -sin X ) Xs(x)ll6例9把级数比+n 4故有 S(X)n(；舄)x2化(xco

10、sx-sinx M x)当x =0时，由所给级数知= -。因此61一(xcosxsin X ) xO2x3(Tn. (2n1 )!222X 的和函数展开成X 1的幂级数。解：记级数的和函为 s(x ),X=2si n ,2s(x ) = sin21 比= 2sin2 f-1)2 nO1 + fx-1 1 一丿= 2(sin 丄21fx1莎厅丿cos- +COS1 sin -)2 2 2+ 2co込C1) (2n-1八 2 丿例10求级数z 1 nz (n2-1)2-的和。 n解：设Cs(x )=z1 n Rx IIn -1 /X 一尹 H - X) -=-X In (1 -X )- 12 *

11、A3CnILX z丿2n/C1_(1+11+1=1Z2 nz2 In -11 1- 乙2X nz21 仔 1nFIZ X -X -2x 1心 n +12 丿./2 -In (1 -X )-x2x I 丿 2nH1 X n +1xT1,02+汁汙n2。故级数h斗=s卩=丄n+ln二 n2-1)2nl2 丿 4 211 +x1例11设f(X ) = In+ arctanx -x，试将f (x )展开成x的幕级数。41 X2解:1 1 1 1 1 1f 7x ) =+-1 = 41+X 41-X 21+X比4n1口一1 *C=送 x4n -1 =2 Xn Xn z1XX处所以 f（x）=f（0）+.

12、0 r（Xd；0zC d4n ._1 4n +X dx = Z Xn 二nj4 n+1X 1。COC例12设f（x） = 2；anxn，在0,1上收敛，试证：当a0-aj=0时，级数Sn z0nA收敛。证明由已知3Cf（x） = 2anXn收敛，所以liman =0，从而0，使n=0n_an =aoM歸协M1 -右端对应的级数显然收敛，所以级数 f丄】收敛，且为绝对收敛。心In丿例13求552的近似值，误差不超过10。1门/I+ 1 10+9 199 29 +川+証训4+12!12 9丿川n!0因为920止 0.002170, 丄18 憎止 0.0000192!9 9l29 丿故 V552 止

13、 2(1 +0.002170-0.000019)=2.00430。例14求函数f（X ）= sin罕 X,0兰X J2的傅立叶展开式。解:宁x0f（X ）分段连续，满足展开定理条件a。anL 22；in , posxdx =sin2兀2刊xcosTxdx Tn(1+ (-1)-2n =2k，n h1, k=1,2,|il兀(n2 1),n = 2k+1另求a-i:f2 sin cosdxV T T4兀XcosTT=0,xdx T2兀nxdx=0, nH1另求 b, :b1 =sins昇dx1Tbn =右 尽 f (x)sindxPsinsinI -T4兀nx所以函数f （X ）的傅立叶级数为:1 1 f(X ) = +-sin兀2 T2兀的周期函数, 2例15已知函数f（x）=x, 0x2兀，是周期为C 1(2) 证明送=心n6兀2（3） 求积分L1|ndx 的值。1 雹12雹解：(1) a0 =f(x)dx=f兀T；0(x)dlfx2d8|JIJ0anbn1 x2cos nxdx=-4, n2兀24兀-x sin nxdx =- nJI-1,2,111所以有x223C+ 42 cos nx-兀丄 sinnx由收敛定理