昆明理工大学数值分析上机报告4

1、数值分析实验报告名： 号： 2006231006业：材料学 院：云南省新材料制备与加工重点实验室授课教师：昆明理工大学研究生院2006.12.18做等距节点，X轴，y轴分别有：mn数值分析实验报告数值积分问题问题的提出在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的，然而原函数的寻找往往比较困难,许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数。为此研究数值积分问题是非常必要的。3数值积分的至今普遍应用主要有三种：梯形公式、Simp son公式及其复化形式、Romberg算法。本实验只要选用复合梯形公式、复合Simpson公式及Romberg算法对特定某个积分,1 h(1号)进行数值计算，比较分析两种

2、算法的结果，理解数值积分法的意义，明1 +x2确数值积分精度和步长之间的关系等。目的和意义1、深刻理解数值积分的意义:f(x)是由测量或者数值计算在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的，然而原函数的寻找往往比较困难, 许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数；另外，当 给出的一张数据表时，牛一莱公式也不能直接运用，为此研究数值积分问题是非常必要的。2、明确数值积分的精度与步长的关系:复化的求积方法对提高精度是行之有效的，但是在使用求积之前必须给出合适的步长, 步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。3、根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题:在微积分中，二重

3、积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。利用二重积分的复化梯形公式设计 如下:b d；(f(x,y)dydxa,b,c,d为常数，f在D上连续。将它变为化累次积分b dbfd、dfb、a c f(x,y)dydx = lc f(x，y)dy = !a f(x, y)dx Jdyd 先计算Jc f (xyWy，将X作为常数，有dc f(X,y)dy 止(1n_i1k - f(x,yo) +送 f(x, yj) +- f (X, yn)l2j-i2丿XJ z再将y作为常数，在X方向，计算上式的每一项的积分1 1f(Xi,yn2f(Xm,yn)J1 bh

4、(12 a f(x, yn)dx wf(X0,yn)+三1 bh2 f (X, yo)dx 农一rmc - f(xo,yo)+S2 12yb 22 b2 f(X, yj)dx =2 a f(x, yj)dxj 二j irmA-f(xo, yj) +2 f (Xi, y j)+- f (Xm, yj)I2y2丿qnm2an A比hZj壬 n A =hZj壬1 、f(Xi,y0匕认巴i21 ?-f(xo, yj2 f(Xm,yj)+ 匹 S f(Xi,yj)jV i=1J2ln J m 4 +送 2 f (Xi, yj) =hk2 2 c,jf (Xi,yj)j 3 i rnj i系数，在积分区域

5、的四个角点为1/4, 4个边界为1/2，内部节点为1。1、公式1)复化梯形公式d1f f(X, y)dydx hk-(f (x。，y。)中 f (xo, yn) + f (Xm, y。)+ f (Xm, yo) 94Fm4mn4n、2 f(Xi,yo)+2 f(Xi,yn)+2 f(Xo,yj)+2 f (Xm,yj) yyj仝j吕丿nm 4二、计算公式关于复化梯形、复化Simpson公式及Romberg公式在以下给出。Tn2f(x+ f(Xk) Wf(a)+2Z f(Xk) + f(b)ki22k#2)复化Simpson公式nhhnnJSn =2 Hf(XkJ+4f(x 1)+ f(Xk)

6、=Hf(a)+42 f (x,+2 艺 f(Xk) + f(b) k 4 6kp6k为了便于编程可写成Sn 二宁f(a) - f(b)+ 2f(Xk i) + f(Xk)3n2k4kp3) Romberg 公式Romberg积分法是通过用余项公式对梯形法则的误差与步长、Simpson公式误差与步长等进行比较，逐步研究推导而得出。本程序用Romberg数值积分公式计算定积分bI = f f (x)dx的近似值，使相邻两次的近似值的绝对值或者相对误差小于给定的误差限-aRomberg 公式:Rn =(64/63)C2n -(1/63)Cn三、结构程序设计复化梯形和复化 Simpson算法#in e

7、lude #in elude double SIM P1(double,double,i nt);double FUTX(double,double,i nt);double Fun e(double);void mai n()double a1,b1,x;int n1;a1=0.0;b1=1.0;n1=20;/可设定具体的分段数n=10或者20prin tf(%.10frr,SIM P1(a1,b1, n1);prin tf(%.10frr,FUTX(a1,b1, n1);/prin tf(ntime=%fn,Atime/60);5double Func(double x)return(lo

8、g(1+x)/(1+x*x);double SIMP1(double a1,double b1,int n1)int i;double h,s;h=(b1-a1)/(2*n1);s=0.5*(Func(a1)-Func(b1);for(i=1;i=n1;i+)s+=2*Func(a1+(2*i-1)*h)+Func(a1+2*i*h);return(b1-a1)*s/(3*n1);double FUTX(double a1,double b1,int n1)int i;double t,h;h=(b1-a1)/n1;t=Func(a1)+Func(b1);for (i=1;i=n1;i+)t+

9、=2*Func(a1+i*h);return(t*h/2);/龙贝格数值积分算法 #include #include #include double ROMBG(double,double,double,double,double,double);double Func(double);void main()double a,b,eps,al,ma,mi;/int n1;/a=0.0;b=1.0;eps=1e-5;al=10;ma=10;mi=3;printf(%.10fn,ROMBG(a,b,eps,al,ma,mi);printf(%.10fn,FUTX(a1,b1,n1);printf(

10、ntime=%fn,Atime/60);double Func(double x)return(log(1+x)/(1+x*x);double ROMBG(double a,double b,double eps,double al,double ma,double mi)int j,q;double l,h,r,s,k,l0,m,n;double *t;t=(double *)calloc(11,sizeof(double);if(t=NULL)exit(1);l=b-a;h=l;t0=(Func(a)+Func(b)*l*0.5;for(q=0;q=ma-1;q+)r=h;h*=0.5;k

11、=h;s=Func(a+k);dok+=r;if(fabs(k)fabs(1)s+=Func(a+k);while (fabs(k)=0;j-)l0*=0.25;m=(tj+1-tj)/(1-l0);tj+=m;n=t0;if(fabs(n)=al)m/=n;if(fabs(m)mi)r=t0;free(t);return(r);r=tO;free(t);return(r);四、结果讨论和分析0.30594107850.2721984446Press any keg to continue庶 *F ；neezjjcfe值分析jQg0.28929844230.27219SZ72TPress an

12、y key to continue.卜匚 *数值分析买验DebugTeit4.BQlQ|0.2721982613Press any keg to continue1in=10时的计算结果n=20时的计算结果Romberg计算结果以上两个计算结果分别是n=10和n=20时复化梯形和复化Simpson数值积分算法所得到的结果，从以上结果分析可得到以下结论:1、两者虽然都需要调用f相同的次数，工作量基本相同，但是精度却差别很大，复化Simpson明显高于复化梯形算法，故复化Simpson公式是一种精度较高的求积公式;2、从n的不同设定值，我们可以看出细分求积分区间可以提高该两类算法的计算精度，由于S

13、impson算法在n=10时就有较高的精度，故对其影响并不是很大，复化梯形精度的提高比较明显;3、Romberg算法的计算精度明显高于上述两类算法，它的基本方法就是运用在变步长求积的过程中运用加速公式，将梯形法则的积分值逐步加工成为精度较高的结果，是利用外推法构造出一种计算积分的方法，适用于求积分而很难求出其精确表达式的那些复杂函数。综上所述，上述三种方法都是数值积分问题行之有效的办法。复化梯形和复化Simpson必须给出合适的步长；步长过大精度难保，步长过小计算量增加。要想事先给出一个合适的步长却是非常困难的。 在实际计算中通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半 （步长9当符合为止。Si

14、mpson在梯形面积近似积分值的基础上，增加中点构造出三点公式，又不断二分思想构造出复化 Simpson和变步长Simpson的数值积分。Romberg算法运用在变步长求积的过程中运用加速公式， 采取事后估计法,将梯形法则的积分值逐步加工成为精度较高的11结果。附变步长Simpson数值算法程序:/Simpson变步长算法 #in elude 朴入F: MEEZJSiiiipEon5歩长葬-0.27219S2892Press any key to continue#in elude 变步长Simpson计算结果double SIM P2(double,double,double);/double FUTX(double,double, in t);double Fun e(double);void mai n()double a,b,e ps;/int n1;a=0.0;b=1.0;ep s=1e-6;/prin tf(%.10fn,FUTX(a1,b1, n1);/prin tf(%.10fn,SIM P2(a,b,e ps);prin tf(ntime=%fn,Atime/60);double Fun