有限元复习问题

1、1. 有限元程序设计的基本原理是什么？实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几 何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。2. 有限元程序的具体实现步骤？请以杆系结构为例子进行阐述说明。Ansys步骤：1进入ANSYS ； 2设置计算类型；3选择单元类型；4定义材料参数；5定义截面; 6生成几何模型；7网格划分；8模型施加约束；9分析计算；10结果显示；11退出系统。3. 你所了解的有限元软件都有哪些？An sys/abuqe/markd 等4. 计算力学涉及哪些领域？计算力学的应用范围已扩大到固体力学、岩土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域

2、。5. 解决计算固体力学的静力问题都有哪些常用方法？在固体力学领域应用最广泛的数值方法是有限元法， 其他数值方法还有有限差分法、加权残量法、 边界元法、有限条法、自由网格法等 。6. 为什么要采用有限元方法来解决工程问题？与常规解析方法有什么不同？运用有限元方法解决工程实际问题时， 不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相 同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征， 可以在计算机上进行编程而自行实现， 这是常规 解析方法无法实现的。7. 从物理模型到有限元求解结果，中间存在哪些可能误差？有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域

3、组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件 （如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单 的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复 杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。按位移法求解的有限元法中，应力解答的精度要小于位移解答精度的原因：应用位移元进行有限元分析时，未知场函数是位移，从系统平衡方程解得的是各个结点的位移值。a = fefeeHb=D& = DXBKxe而应变矩阵fe是插值函数N 对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就 降低一次。所

4、以通过导数运算得到的应变 0和应力仁精度较位移U降低了，即利用以上两式得到 的应变和应力的解答可能具有较大的误差。应力解的误差表现于：单元内部不满足平衡方程单元 与单元的交界面上应力一般不连续在力的边界上一般不满足力的边界条件用非协调单元反而比协调单元精度高的原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只 有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制， 使单元的刚度较实际 连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的 h dx fZ.vt/vT-iv-D考虑到许可位移场的性质，它事先已满足位移边界条件，因此在位移边界上

5、，它的微分增量为零,由变分方法，对泛函取极值，令6n = 0由于右u是变分增量，具有任意性，要是上式恒满足，则有:Setting tlie coeflicients of in (Of) aiid 5ii at L to zero sepeintely,J1-(EA)=0 Qx Eiilei Equation= Natural b e.2、受均布外荷载简支梁的平面弯曲问题BC(u): v|m=Me=0BC(p): MU=EIv*U=0ML严EM It F该问题的最小势能原理，其数学变分提法为：设有满足位移边界条件的许可位移场函数 中真实的一组v（使得以下泛函取极小值，即v (x)其应变能外力功

6、冷鼬诃专gm。2n = t/-F =(务y 心 Jv(X)dK1J 2 E醜尸二y =Q侶 b畑-肚（g划呦下面来证明，由（2-55）式所得到的$0）就是真实的解.領冷印严診方（雪）毎卜血以上的符号各为变分符号（即a合函数求微分），对上式右端的第一项作两次分部积分.有 門兽）风兽磁=EI（竺）还ck(2-56)(2-57)=N&黑h -M吨）1“ F九 吃九 +JEI喬）血将（2）代回（2加）中，考虑到许可位移场性质（2-48）（它满足位移边畀条件，因此在位移边界上，它 的微分增量为零），即乳5二兀爲=0,则（2-50变为P-58：領=M2（船L钦黑）1“ +JEI（兽）询Q泳由小势能原理.对

7、系统的势館n取板值，令領=0M砸）噁帕+严（挣 一気卜g vdx三04扌V由于和及叭倉）具有任意性，要使（2-60）式恒満足，贝I必有A/Lo = 0（2-61；叫M(2-62；EI（彩）-如=033：这就是力的边界条件BC0） （2-51）.（2-52）式以及平衡方程（2A9）式若再对（2-56）取一次变分，即求取第能n的二次变分，有(2-64；Eei血兽）(2-65；21. 了解一般弹性问题的最小势能原理的变分过程。P6722. 求解弹性问题，采用微分形式和积分形式有哪些不同之处？最常用的是哪种形式？求解过程、函数的要求及形式、泛函形式、技术关键、难易程度、求解精度、方程的最后形式、 方法

8、的规范性、方法的通用性、解题范围不同。由于工程问题非常复杂，要求所采用的方法具有较好 的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性。而基于最小势 能原理的积分形式求解方法具有较明显的综合优势。23. 虚功原理的概念？变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零，即PAAPbO 024. 纯弯梁的假设？当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形， 受弯杆件常简称为梁。梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。根据平截面假定，梁的横截面 在弯曲变形后仍保持为平面，且仍

9、垂直于挠曲后的梁轴线。25. 什么是铁木辛柯梁，与经典梁的区别？铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截面转角进行独立插值，并且考虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元。普通梁未考虑剪切变形的影响，而铁木辛柯梁考虑了剪切变形的影响， 并对挠度函数进行独立插 值。铁木辛柯梁的挠度值包含了弯曲和剪切引起的变形，且长细比越小，对剪切变形的影响越大。26. 什么叫做剪切闭锁，可以采用什么方法处理和避免？剪切闭锁：除非书是常数（没有弯曲变形），否则，dw/dx-t不会为零。避免产生剪切闭锁的方法： 减缩积分、假设剪切应变、替代插值函数。27. 单元的刚度存储有哪些方法？掌握半带宽的计算。

10、（去年考）带宽：反应非零数据集中程度的一个指标。半带宽存贮法：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素。半宽带的计算：di =（第i个单元中节点编号的最大差值 +1Z则整体刚度矩阵的最大半宽带为d = max di （i=1,2,3,4 ”；n）i对于2D问题，几=2，对于3D问题，几=328. 平面三节点三角形单元的特性？与四边形相比，其精度如何？三节点三角形单元：是常应变单元，应变矩阵和应力矩阵为常数，对于应变梯度较大的区域，单 元划分应适当密集，否则不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的误差。而四节点矩形单元，其 应变和应力为一次线形变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节

11、点常应变单元的精度咼。29. 三角形单元刚度矩阵的性质，整体刚度矩阵的性质。单元刚度矩阵k的性质：单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如， kij表示单元第j个 自由度产生单位位移（j=1），其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力Fi；每一行或每 一列元素之和为零；对称矩阵；奇异矩阵，即 k的行列式为零；常量矩阵。Kij的物理意义是：表示仅第j个自由度发生单位广义位移时所引起的第i个自由度广义力，它反 应了单元抵抗变形的能力。由于刚体位移不引起内力，因此同一行或同一列的系数之和为零。整体刚度矩阵K的特性：对称性；Kii 0；稀疏；带状矩阵；奇异；正定；各列 相加等于零。Kij

12、的物理意义是：结构第j个自由度发生单位广义位移而其他自由度位移分量皆为零时所引起的 第i个自由度结点位移方向上结点力的大小。30. 掌握三角形单元刚度矩阵的计算，掌握三角形等效节点力的计算。31. 掌握总刚集成。32. 掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。位移函数u:是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理 进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设 定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。形函数N：是用单位结点位移分量来描述位移函数的插值函数。二者关系式：u（x）=N （x）qe33. 选择单元位移函

13、数需要满足的条件有哪些？选择单元位移函数应满足一下条件：1）反映单元的刚体位移与常量应变。2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离34. 什么是Co阶和G阶问题？Co型单元：指在泛函（势能）中位移函数出现的最高阶导数是 1阶，在单元交界面上具有0阶 的连续导数，即节点上只要求位移连续。一般的杆单元、平面问题单元、空间问题单元都是Co型单丿元。Ci型单元：指在泛函（势能）中位移函数出现的最高阶导数是 2阶，在单元交界面上具有1阶 的连续导数，即节点上除要求位移连续外，还要求 1阶导数连续。梁单元、板单元、壳单元都是 Ci 型单元。35.掌握基于自然坐标的矩形单元形函数的

14、推导。V*-V|0线性矩形单元，沿着12二厶+厶”心线性矩形单元，沿着43,财厶丿仃+厶.“3沿着y轴平行线：=厶丁 12 + i 盯强431+2tf 1+J4i=lg = kI a ij 二 ylb11、 -! ”， 亚参元“ V”）40. 掌握雅可比矩阵的计算，掌握等参单元等效节点力的计算。作业6 （去年考题）41. 掌握等参变换的条件。对于两个坐标系，即物理坐标系（X，y）和基准坐标系（E ,n ），若要进行一对一的变换，其条件 是雅可比行列式I0，等参单元的变换作为一种坐标变换也必须服从此条件。因为如果I J I =0,对应基准坐标系（E ,n ）中的面积微元将对应于物理坐标系（X，y

15、）的一个点，显然这种变换不是 的。另外因为I JI =0，J1将不成立，所以两个之间偏导数的变换式也就不可能实现。42 .如何确定高斯积分的阶数？为何高斯积分点上的精度最高？通过数值分析和测试确定合理的高斯积分的阶数。积分的阶数对精确性、计算时间和消耗具有很大影响，选取合理的高斯积分通常基于：精确性和非奇异矩阵non-si ngularK43 .为何有时采用降阶积分？掌握保证刚度矩阵为非奇异矩阵的最小高斯积分阶数的计算。在以下2种情况下，采用低阶规则（降阶积分）：1）较少的点，较少的计算消耗2）低阶规则可 以软化单元。高阶单元给应变能的贡献可以在低阶单元中消除，减轻了基于最小势能原理得到的整体 刚度（整体位移区域内） 。44.什么叫做零能模式？为什么会产生零能模式？ 在完全零位移状态下存在的附加变性能，即为零能模式。既要使得Kse具有奇异性，以解决剪切自锁问题，又要保证整体刚度矩阵K是非奇异的，以避免出现零能模式。45.常见的钢筋混凝土有限元模拟钢筋和混凝土的组合模式有哪些？各有哪些特点和适用情况？ 常用的钢筋混凝土有限元组合模式： 分离式模型、组合式模型、整体式模型。 分离式模型：分离式钢筋 混凝土组合模型是目前最常用也是最直接的实现方法。 便于考虑钢筋 与混凝土之间的粘结滑移，便于考虑非