高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 新人教版必修4

1、第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念,自主预习】 主题:向量的有关概念 阅读下面的物理现象,思考下面的问题,a.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移,b.汽车向东北方向行驶了60km,行驶速度的大小为 120 km/h,方向是东北. c.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用,1.上述三个实例中涉及哪些物理量? 提示:位移、速度、力. 2.这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别? 提示:这些量既有大小又有方向,而我们日常生活

2、中的面积、质量只有大小而没有方向,根据以上探究过程,试着总结向量的有关概念: 向量的概念:数学中,我们把既有_,又有_的 量叫做向量.,大小,方向,向量的表示法:(1)几何表示:用_表示,此时有 向线段的方向就是向量的方向,向量的大小就是向量的 _(或称_),如向量 的长度记作_,有向线段,长度,模,2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c, 表示向量.书写时,写成带箭头的小写字母 . 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表 示,如以A为起点,以B为终点的向量记为 .,几种特殊向量:(1)零向量:长度为_的向量叫做零向 量,记作0. (2)单位向量:长度等于_个单位的向量,

3、叫做单位向量. (3)相等向量:_且_的向量叫做相等 向量,0,1,长度相等,方向相同,4)平行向量(共线向量):方向_的_ 向量叫做平行向量,也叫共线向量. 记法:向量a平行于向量b,记作ab. 规定:零向量与_平行,相同或相反,非零,任一向量,深度思考】 结合教材P76例2你认为应怎样判断两向量是否为相等 向量. 第一步:_. 第二步:_,判断两向量方向是否相同,判断两向量的长度(模)是否相等,预习小测】 1.下列说法正确的是() A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小,解析】选D.

4、A中不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,所以A不正确;由A的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小,所以B不正确;C中向量的大小即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,所以C不正确;D中向量的模是一个数量,可以比较大小,所以D正确,2.如图,在四边形ABCD中,若 则图中相等的 向量是(,解析】选D.因为 所以四边形ABCD是平行四 边形,所以AC,BD互相平分,所以,3.下面物理量是向量的有_(填序号). 密度功率面积浮力速度 【解析】根据向量是既有大小又有方向的量可得浮力、速度为向量. 答案,4.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,则与 相等的向量有_,与 共线的向量

5、有_,解析】在平行四边形ABCD和ABDE中,因为 所以与 相等的向量为 由图知与 向量 共线的向量有 答案,5.如图,在ABC中,若DEBC,则图中所示向量中是共线向量的有_,解析】观察图形,并结合共线向量的定义可得解. 答案,备选训练】在四边形ABCD中, 且 试判断四边形ABCD的形状. 【解析】因为 且 所以ABDC,但ABDC,所以四边形ABCD是梯形,互动探究】 1.两个向量能比较大小吗? 提示:向量有方向、大小双重性,而方向是不能比较大小的,因此向量不能比较大小,2.单位向量都相等吗? 提示:不相等,单位向量只是长度为1的向量,其方向是任意的,所以单位向量只是长度相同,方向不一定

6、相同,3.若ab,则a与b的方向一定相同或相反吗? 提示:当a或b不为零向量时,若ab,则a与b的方向一定相同或相反;当a,b中至少有一个是零向量时,该说法则不成立,4.两个向量相等,则这两个向量的起点和终点一定相同吗? 提示:两个向量相等,则只需方向相同,大小相等即可,与起点和终点没有关系,5.若非零向量 那直线ABCD吗? 提示:不一定,AB与CD可能平行,也可能重合,拓展延伸】向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相等的向量. (2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不

7、同的有向线段,探究总结】 知识归纳,方法总结:用有向线段表示向量的方法 (1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点. (2)必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量,题型探究】 类型一:向量及有关概念 【典例1】(1)在下列判断中,正确的是() 长度为0的向量都是零向量;零向量没有方向;单位向量的长度都相等;单位向量都是相等向量;任意向量与零向量都共线. A.B.C.D,2)下列各组是不是向量,如果是向量,说明这些向量之间有什么关系? 两个三角形的面积S1,S2; 桌面上两个物体各自受到的重力G1

8、,G2; 小船驶向对岸的速度v1与水流速度v2,解题指南】(1)根据向量的有关概念,对每一说法进行判断. (2)抓住向量的两大特征:方向和大小来判断,解析】(1)选D.由定义知正确,零向量的方向是任意的,但不能说零向量没有方向,故不正确.显然,正确,不正确,所以答案是D. (2)面积只有大小,没有方向,故不是向量; 重力G1,G2既有大小又有方向,故是向量,并且两向量方向相同,所以为共线向量,速度既有大小,又有方向,故是向量.因为两向量方向既不相同也不相反,故不是共线向量,规律总结】解决向量有关概念问题的方法 (1)熟悉一些常见物理量是否为向量. (2)准确、全面理解向量的有关概念,明确零向量

9、和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系,巩固训练】判断下列命题是否正确,并说明理由. 若ab,则a一定不与b共线; 若 则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点; 在平行四边形ABCD中,一定有 若向量a与任一向量b平行,则a=0,若a=b,b=c,则a=c; 若ab,bc,则ac,解析】两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以 相同或相反,所以a与b有共线的可能,故不正确. A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故不 正确.在平行四边形ABCD中, 平行 且方向相同,故 正确.零向量的方向是任,意的,与任一向量平行,正确.a=b,则|a|=|b|且a与b方向相同;b=

10、c,则|b|=|c|且b与c方向相同,则a与c方向相同且模相等,故a=c,正确.若b=0,由于a的方向与c的方向都是任意的,ac可能不成立;b0时,ac成立,故不正确,类型二:共线向量与相等向量 【典例2】(1)如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点,图中所示向量中与向量 相等的向量为_; 图中所示向量中与向量 共线的向量为_,2)如图,在ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,F,G 分别是AB,AC上的点,且AFAB=14,AGGC=13,求 证:向量 共线,解题指南】(1)根据相等向量、共线向量的定义以及题设中的几何图形解答. (2)由AFAB=14,可得AFFB=13.又A

11、GGC=13,所以AFFB=AGGC,所以FGBC,解析】(1)与向量 相等的向量有: 与向量 共线的向量有: 答案,2)因为点D,E分别是边AB,AC的中点, 所以DE是ABC的中位线,从而DEBC. 又因为AFAB=14,所以AFFB=13. 又AGGC=13,所以AFFB=AGGC, 所以FGBC. 由可知,DEFG,所以向量 共线,延伸探究】 1.本例(1)条件不变试写出与向量 相等的向量. 【解析】与向量 相等的向量有,2.本例(1)中的图形若换为试写出与 相等的向量(其 中四边形BCMF为平行四边形,且D,E,F分别为ABC三边 的中点). 【解析】与 相等的向量有,规律总结】 1

12、.寻找共线向量或相等向量的方法 (1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量,2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线. 2.利用向量相等或共线证明平行、相等问题 (1)证明线段相等,只需证明相应向量的长度(模)相等. (2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线,补偿训练】如图,点O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中分别写出,1)与 相等的向量. (2)写出与 共线的向量. 【

13、解析】(1) (2)与 共线的向量为,类型三:向量的表示 【典例3】某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改 变方向按东北方向走了 米到达C点,到达C点后又 改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量 (2)求 的模,解题指南】(1)首先选定单位长度,然后根据行走的 路程和方向作出所求向量. (2)在RtBCD中,由勾股定理先求出BD,然后在RtABD 中再利用勾股定理即可求出| ,解析】(1)作出向量 如图所示,2)由题意得,BCD是直角三角形,其中BDC= 90,BC= 米,CD=10米,所以BD=10米. ABD是直角三角形,其中ABD=90,AB=5米,BD=10米, 所以AD

14、= (米).所以 米,规律总结】用有向线段表示向量的步骤及注意事项 (1)步骤: 定起点:先确定向量的起点;定方向:再确定向量的方向;定终点:根据向量的长度确定向量的终点. (2)注意事项:有向线段书写时要注意起点和终点的不同;字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头,巩固训练】已知飞机从A地按北偏东30的方向飞 行2000km到达B地,再从B地按南偏东30的方向飞行 2000km到达C地,再从C地按西南方向飞行1000 km 到达D地. (1)作出向量 (2)问D地在A地的什么方向?D地距A地多远,解题指南】(1)首先选定单位长度,然后根据飞行的距离和方向作出所求向量. (2)通过解三角形,确定

15、两地的位置和距离,解析】(1)由题意,作出向量 如图所示,2)依题意知,三角形ABC为正三角形, 所以AC=2000km. 又因为ACD=45, CD=1000 , 所以ACD为等腰直角三角形, 即AD=1000 km,CAD=45. 所以D地在A地的东南方向,距A地1000 km,拓展类型:向量在几何中的应用 【典例】(1)若 且 则四边形ABCD 的形状为() A.平行四边形B.矩形 C.菱形D.等腰梯形,2)在四边形ABCD中, N,M是AD,BC上的点,且 DN=MB.求证,解题指南】(1)根据 得邻边相等,由 得四边形为平行四边形,故可得四边形为菱形. (2)只需判断 模相等,且方向相同即可,解析】(1