高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 新人教版必修4

1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,自主预习】 主题1:平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).据此回答下列问题: (1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴,y轴的正向同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示? 提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,2)在问题(1)的基础上,计算ab,你能得到什么结论? 用文字语言描述:_ _. 用坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_,两个平面向量的数量积等于它们对应,坐标的乘积的和,x1x2+y1y2,主题2:平面向量模的坐标表示 1.若a=(x,y),怎样利用平面向量数

2、量积的坐标表示|a|? 提示:由数量积的定义及性质即可. 2.若已知向量a的起点和终点的坐标,则|a|如何表示? 提示:可先求出a的坐标然后再求|a,总结以上探究,试着写出向量模的坐标表示: 1.若a=(x,y),则|a|= 2.若向量a的起点与终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则|a|=_,主题3:平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若ab,则如何寻找x1,y1, x2,y2之间的关系? 提示:由ab得ab=0.从而得到关系,2.设ab都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与 b的夹角,那么cos如何用坐标表示?

3、 提示:由cos= ,再将模及数量积分别用坐标表示 即可,结合以上探究,试着写出向量垂直与向量夹角的余弦的 坐标表示 向量垂直的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab _.,x1x2+y1y2=0,两向量夹角的坐标表示:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1), b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cos=_,深度思考】 结合教材P107例6你认为应怎样求向量a与b的夹角? 第一步:_; 第二步:_； 第三步:_,用坐标计算ab=x1x2+y1y2,计算|a|与|b|,即|a|= ,|b,代入公式cos = 求出cos ,再求,预习小测】 1.若a=(3,4),b=(5,

4、12),则a与b夹角的余弦值为() 【解析】选A.设a与b的夹角为, 则cos,2.已知a=(x,1),b=(1,-2),若ab,则x=() A.2B.1C.3D.-2 【解析】选A.因为ab,所以x+1(-2)=0,即x=2,3.若a=(1,1),b=(-3,4).则ab=. 【解析】ab=1(-3)+14=1. 答案:1,4.已知a=(3,2),b=(5,-7),则(a+b)(a-b)=. 【解析】a+b=(8,-5),a-b=(-2,9), 所以(a+b)(a-b)=8(-2)+(-5)9=-61. 答案:-61,5.若A(4,-4),B(1,3),则| |=. 【解析】 =(-3,7)

5、,则 答案,备选训练】已知a=(4,3),b=(-1,2).求a与b的夹角的余弦值.(仿照教材P107例6的解析过程) 【解析】因为ab=4(-1)+32=2, 所以cos,互动探究】 1.向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 提示:适用.无论是零向量,还是非零向量,均可使用向量数量积的坐标公式,2.向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积的方法有什么不同? 提示:向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三种方法.几何表示法、代数表示法表示向量时,用数量积的定义计算数量积,坐标表示法表示向量时,用数量积的坐标运算求数量积,3.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),求|a+

6、b|时可用哪些方法? 提示:方法一:可先求a+b的坐标,再求|a+b|;方法二:可利用|a+b|2=a2+2ab+b2求解,4.对任意的向量a与b,向量夹角的坐标公式及垂直的坐 标公式都成立吗? 提示:不一定.当a=(0,0)时,|a|=0,此时,cos= 无意义,但夹角为0;同时,ab= x1x2+y1y2=0,但向量a与b不垂直,而是ab,故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a0且b0,5.如何利用向量数量积的坐标形式的运算,确定两个非零向量夹角的范围? 提示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为, 则:(1)当x1x2+y1y20时,0 . (2)当

7、x1x2+y1y2=0时,= . (3)当x1x2+y1y20时,探究总结】 知识归纳,方法总结:解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量 积ab以及|a|b|,再由cos= 求出cos,也可 以由坐标表示cos= 直接求出cos. 由三角函数值cos求角时,应注意角的取值范围是 0,2)由于0,利用cos= 来判断角时,要 注意cos0也有两种情况:一是为锐角,二是=0,题型探究】 类型一:平面向量数量积与模的坐标运算 【典例1】(1)(2016石家庄高一检测)设xR,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+b|=() A.B.C.

8、2D.5 (2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则,解题指南】(1)由ab利用向量共线的坐标表示求x 的值.再利用向量模的坐标公式求|a+b|的模. (2)方法一:用 分别表示向量 用数量积的定 义计算 方法二:坐标运算.首先要建立坐标系,确 定各关键点的坐标,再求得数量积,解析】(1)选B.因为a=(x,1),b=(1,-2),且ab, 所以-2x-11=0,解得x=- . 所以a+b= |a+b,2)方法一:因为四边形ABCD是正方形, 所以 因为E为CD的中点,所以 所以 所以 答案:2,方法二:以点B为原点,以 的方向为x轴,y轴的正方 向建立平面直角坐标系,则A(0,2

9、),E(2,1),D(2,2), B(0,0),所以 所以 答案:2,延伸探究】 1.若将典例(1)中条件“ab”变为“ab”,结论如何? 【解析】因为ab,所以ab=0,即x-2=0. 所以x=2,所以a=(2,1),所以a2=5. 又因为b2=5, 所以|a+b,2.若典例(1)中条件不变,则|2a-3b|的值如何? 【解析】2a-3b= -3(1,-2) =(-1,2)-(3,-6)=(-4,8), 所以|2a-3b,规律总结】 1.数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式ab=x1x2+y1y2, 并能灵活运用以下几个关系: |a|2=aa.(a+b)(a-b)=|

10、a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2ab+|b|2,2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解,2.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算. 利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数 量积的问题. (2)坐标表示下的运算. 若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2, 于是有|a,拓展延伸】单位向量的坐标表示与投影的坐标表示 设a,b都是非零向量 (1)若a=(x,y),由于向量a0= |a|= , a0= 所以向量a=(x,y

11、)的单位向量为 a0=,2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),由于向量b在向量a方向上 的投影为|b|cos= ,从而向量b在向量a方向上的 投影的坐标表示为,补偿训练】(2016石家庄高一检测)已知点A(-1,1), B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 方向上的投影 为(,解析】选A.由条件知 则 方向上的投影为,类型二:平面向量的垂直与夹角问题 【典例2】(1)(2016全国卷)已知向量a=(1,m), b=(3,-2),且(a+b)b,则m=() A.-8B.-6C.6D.8 (2)已知a=(1,2),b=(1,),分别确定实数的取值范围, 使得:a与b的夹角为

12、直角;a与b的夹角为钝角;a与b 的夹角为锐角,解题指南】(1)先求出a+b,(a+b)b(a+b)b=0,建 立关于m的方程求解. (2)由于两个非零向量a,b的夹角满足0180, 所以用cos= 来判断,可将分五种情况:cos=1, =0;cos=0,=90;cos=-1,=180;cos0且cos1,为锐角,解析】(1)选D.a+b=(4,m-2),因为(a+b)b,所以(a+b)b=12-2(m-2)=0,解得m=8. (2)设a与b的夹角为, 则ab=(1,2)(1,)=1+2. 因为a与b的夹角为直角,所以cos=0, 所以ab=0,所以1+2=0,所以=-,因为a与b的夹角为钝角

13、,所以cos0且cos-1, 所以ab0且a与b不反向. 由ab0得1+20,故- , 由a与b共线得=2,故a与b不可能反向, 所以的取值范围为,因为a与b的夹角为锐角,所以cos0,且cos1, 所以ab0且a,b不同向. 由ab0,得- ,由a与b同向得=2. 所以的取值范围为 (2,规律总结】利用数量积求两向量夹角的步骤,巩固训练】设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b, d=a+mb,若c与d的夹角为45,求实数m的值. 【解析】因为a=(1,2),b=(-2,-3), 所以c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1), d=a+mb=(1,2)+m(-2,-

14、3)=(1-2m,2-3m), 所以cd=0(1-2m)+1(2-3m)=2-3m,又因为|c|=1,|d|= 所以cos 45= 化简得5m2-8m+3=0,解得m=1或m=,类型三:平面向量数量积的综合应用 【典例3】平面内有向量 点M为直线OP上的一个动点. (1)当 取值最小时,求 的坐标. (2)当点M满足(1)的条件和结论时,求cosAMB的值,解题指南】(1)设 的坐标为(x,y),根据向量 共线,从而得出x与y的关系,进一步表示出向量 的坐标,再根据 求解. (2)利用(1)中所求得的向量 的坐标,得出向量 的坐标,再根据夹角公式求解,解析】(1)如图, 设M(x,y),则 =(x,y), 因为点M在直线OP上,向量 共线, 又 =(2,1),所以x1-y2=0,即x=2y, 所以 所以 =(1-2y,7-y,同理 于是 =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12, 由二次函数的知识,可知当y=2时, 有最小值-8, 此时 =(4,2,2)当 =(4,2),即y=2时,有 所以cosAMB,规律总结】利用数量积求向量中参数问题的四个步骤 (1)根据题目条件,得出含参数向量所满足的等量或不等量关系. (2)写出各向量的坐标,3)利用向量数量积